小學數學-數學廣角-鴿巢問題教學設計學情分析教材分析課后反思

人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》教學設計教學內容：人教版小學數學六年級下冊教材第68～69頁。教材分析：鴿巢問題又稱抽屜原理或鞋盒原理，它是組合數學中最簡單也是最基本的原理之一，從這個原理出發(fā)，可以得出許多有趣的結果。這部分教材通過幾個直觀的例子，借助實際操作，向學生介紹了“鴿巢問題”。學生在理解這一數學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題“模型化”，會用“鴿巢問題”解決問題，促進邏輯推理能力的發(fā)展。學情分析：“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，對于學生來說是很容易的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的，尤其是“鴿巢問題”的逆用，學生對進行逆向思維的思考可能會感到困難，也缺乏思考的方向，很難找到切入點。設計理念：在教學中，讓學生經歷將具體問題“數學化”的過程，初步形成模型思想，體會和理解數學與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應用能力，這是《標準》的重要要求，也是本課的編排意圖和價值取向。教學目標：1、知識與技能：通過操作、觀察、比較、推理等活動，初步了解鴿巢原理，學會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題。2、過程與方法：在鴿巢原理的探究過程中，使學生逐步理解和掌握鴿巢原理，經歷將具體問題數學化的過程，培養(yǎng)學生的模型思想。3、情感態(tài)度：通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數學的魅力，體會數學的價值，提高學生解決問題的能力和興趣。教學重點：理解鴿巢原理，掌握先“平均分”，再調整的方法。教學難點：理解“總有”“至少”的意義，理解“至少數=商數＋1”。教學準備：多媒體課件、小棒、塑料杯、撲克牌教學過程：一、游戲引入向學生出示“劉謙表演撲克牌魔術”的圖片，激發(fā)學生學習興趣；出示撲克牌，從里面拿出大小王，先后各請5名同學到講臺上隨意抽一張，老師就知道至少有2張牌是同樣花色的。師問：老師是怎么知道這5位同學每人隨意抽一張，至少有2張牌是同樣花色的呢？為本節(jié)課的學習做好鋪墊。（板書課題）二、合作探究：1、利用多媒體課件出示例1例1：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆.為什么呢？請同學們動手放一放，有幾種放法？請1名同學讀題（1）放一放師：我們用小棒代替鉛筆，每個小組都放一放，由組長負責記錄。學生合作探究，老師巡視指導。請1名組長說出本組的擺放結果，學生說師板書。師生共同總結：一共有4中擺放方法，分別是：400310220211（板書）不管怎么放，總有一個杯子至少有兩只小棒。（2）算一算我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺放一種情況，也能得到上面的結論呢？想一想，可以小組內交流一下.小組討論交流，請一名同學上講臺演示。引導學生運用平均分法。師生共同總結：運用平均分法，可以得出算算式：4÷3=1……11+1=2（板書）；不管怎么放，總有一個杯子至少有兩只小棒。2、課件出示例2：把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有3本書。為什么呢？請1名同學讀題請同學們思考：這樣分實際上是怎樣在分？請1名同學回答：平均分；7÷3=2……12+1=3（板書）讓學生思考：把8本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放幾本？把10本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放幾本？請學生回答計算方法。8÷3=2……22+1=3（板書）師：請同學們思考為什么是2+1而不是2+2呢？引導學生總結得出：2+2=4表示剩余的2本書全分到一個抽屜里面了，這樣分不準確，需要繼續(xù)把余數2在平均分到2個抽屜里，應該是2+1=3而不應該是2+2=4，請學生回答計算方法。10÷3=3……13+1=4（板書）啟發(fā)引導學生總結得出：物體數÷鴿巢數=商數……余數商數+1=至少數（板書）請全班同學閱讀：“你知道嗎？”：最先發(fā)現這些規(guī)律的人是誰呢？他就是德國數學家“狄里克雷”，后來人們?yōu)榱思o念他從這么平凡的事情中發(fā)現的規(guī)律，就把這個規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做“抽屜原理”。三、游戲揭秘由于撲克牌共有4種花色，5名同學每人抽一張，同學們思考一下，物體數是幾？抽屜數是幾？請全班同學回答。5÷4=1……11+1=2（板書）四、知識運用課件出示：（一）11只鴿子飛進了4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了3只鴿子。為什么？先讓學生們自己看題，老師巡視中給學生讀題。小組討論交流，請1名同學回答問題。得出：11÷4=2……32+1=3（板書）（二）5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。為什么？請1名同學讀題。小組討論交流，請1名同學回答問題。得出：5÷4=1……11+1=2（板書）（三）隨意找13位老師，他們中至少有2個人的屬相相同。為什么？請1名同學讀題。小組討論交流，請1名同學回答問題。得出：13÷12=1……11+1=2（板書）四、分享收獲：1、鴿巢原理也叫作抽屜原理；2、列舉法；平均分法；3、物體數÷抽屜數=商數……余數至少數=商數+1五、布置作業(yè)：第71頁練習十三，第2題、第3題。板書設計：人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》學情分析“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，對于學生來說是很容易的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的，尤其是“鴿巢問題”的逆用，學生對進行逆向思維的思考可能會感到困難，也缺乏思考的方向，很難找到切入點。所以，在教學中，讓學生經歷將具體問題“數學化”的過程，初步形成模型思想，體會和理解數學與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應用能力，這是本課的編排意圖和價值取向。人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》效果分析本節(jié)課，我按照教學設計，通過猜?lián)淇伺苹ㄉ螒驅?，吸引了同學們的眼球，激發(fā)了學生的學習興趣，引發(fā)了學生的探究激情。在教學過程中，根據新課改的要求充分發(fā)揮學生的主觀能動性，放手學生又有效調控課堂。例如：利用小棒代替鉛筆，杯子代替筆筒，讓學生小組合作動手操作把4根小棒鉛筆放進3個杯子里，使學生經歷了一個初步的數學證明過程，培養(yǎng)了學生的推理能力和初步的邏輯思維能力，讓孩子們討論：“還有沒有更簡便的方法？”并邀請學生上臺演示，引導學生總結出“平均分”的方法，繼而讓學生在探究例2的過程中，最大限度的調動了學生學習的積極性，總結出了“物體數÷抽屜數=商數……余數，至少數=商數+1”。通過“游戲揭秘”和“知識應用”的環(huán)節(jié)，進一步活躍了課堂氣氛，開拓了學生思維，有效的滲透“數學來源于生活，又還原于生活”的理念，是全班同學掌握本節(jié)課的教學重點，突破了教學難點，實現了本節(jié)課的教學目標。人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》教材分析“鴿巢原理”又稱為“抽屜原理”，它來源于一個基本的數學事實，是組合數學中最簡單也是最基本的原理之一，從這個原理出發(fā)，可以得出許多有趣的結果。它也被廣泛地應用于現實生活中，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經常會看到隱含在其中的“抽屜原理”。可以表述為：把多于(是正整數)個元素按任一確定的方式分成個集合，那么一定有一個集合中至少含有（+1）個元素?！俺閷显怼笔菙祵W的重要原理之一，在數論、集合論和組合論中有很多應用。它也被廣泛地應用于現實生活中，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經常會看到隱含在其中的“抽屜原理”。由此可見，所謂“抽屜原理”，實際上是一種解決某種特定結構的數學或生活問題的模型，體現了一種數學的思想方法。讓學生經歷將具體問題數學化的過程，初步形成模型思想，體會和理解數學與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應用能力，這是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的重要要求，也是本單元的編排意圖和價值取向。教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。那么，這里的“一定有一個抽屜”是什么意思？“至少兩個物體”是什么意思？“一定有一個抽屜”是存在性；“至少兩個物體”是可以多于兩個物體，可以是兩個，也可以是三個、四個甚至更多。第二種，即是“把多于kn（k是正整數）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1，就是第一種情況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至少2個同色的球）。在例題的教學前，編排了一個給學生表現“魔術”的主題情境，使學生產生探究魔術背后的數學原理的強烈欲望。本課時帶領學生們探究例1和例2：例1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結論是成立的。教材呈現了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放1支，這時剩下1支，剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。通過本例的教學，使學生感知這類問題的基本結構，掌握兩種思考的方法──列舉法和平均分法，理解問題中關鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認識。例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于（是正整數）個物體任意分放進個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體”。教材首先探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當數據變得越來越大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學生來說是有困難的。這時需要學生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學生明白只要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學生是在經歷“反證法”的這樣一個過程。在具體編排這道例題的時候，在數據上進行了一個很細微的調整。在過去，由于數據的問題，學生會得到不太正確的推論，比如說如果是兩個抽屜的話，最后得到的余數總是1，那么學生很容易得到一個錯誤的結論：總有一個抽屜里放進“商+余數”本書（因為余數正好是1）。而實際上，這里的結論應該是“商+1”本書，所以教材在這里呈現了8除以3余2的情況，這時候余數是2，可是最后的結論還是“把8本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜至少放進了3本書”。通過這樣的數據方面的調整，可以讓學生得到一個更加正確的推論。在教學中要注意的問題：第一，要讓學生經歷數學證明的過程，在這里不是讓學生計算抽屜原理，去應用，而更多的是給出一個結論，讓學生去證明這種結論的正確性，這就是一種數學證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，比如讓學生判斷13個老師中一定有兩個人的生日在同一個月份……在解決這些問題的過程中，教師要引導學生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學生把這些具體問題模型化成一個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助學生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學生在探究的過程中，逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當保持教學要求，因為數學廣角內容只是讓學生經歷這樣的數學思想的感悟，在評價上不做特別高的要求。教材例1和例2的教學重點是：理解鴿巢原理，掌握先“平均分”，再調整的方法；教學難點是：理解“總有”“至少”的意義，理解“至少數=商數＋1”。人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》評測練習一、游戲揭秘由于撲克牌共有4種花色，5名同學每人抽一張，同學們思考一下，物體數是幾？抽屜數是幾？二、知識運用課件出示：（一）11只鴿子飛進了4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了3只鴿子。為什么？（二）5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。為什么？（三）隨意找13位老師，他們中至少有2個人的屬相相同。為什么？人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》課后反思鴿巢原理是一個重要而又基本的數學原理，通過本課教學向學生介紹了鴿巢原理的由來，并通過對一些簡單實際問題進行模型化地研究，使學生理解鴿巢原理。掌握一些研究問題的方法，達到會證明生活中的某些現象，會解決生活中的某些問題的目的。我在本節(jié)課教學時主要分以下幾個層次：一、游戲引入，巧設懸念課的開始我通過課件出示了1張魔術師劉謙表演撲克牌的照片，繼而我又為孩子們表演了魔術：用一副牌，從中取出大小王，分兩次共請了十名“小嘉賓”上臺配合表演，兩次表演，我都猜測“這5名同學中至少有2名同學手中的牌的花色是相同的”，讓學生思考為什么老師兩次都能猜對呢？這一層次的設計主要作用有三點：一是使教師和學生進行自然的溝通交流；二是調動和激發(fā)學生學習的主動性和探究欲望；三是為今天的探究埋下伏筆，初步理解“至少”的含義。二、合作探究，建立模型引導學生從簡單的情況開始研究，滲透“建?！彼枷搿Ｍㄟ^學生獨立證明、小組交流、匯報展示，使學生相互學習解決問題的不同方法。通過說理，溝通比較不同的方法，讓學生理解：為什么只研究一種方法（平均分的思路）就能斷定一定有“至少2只筆放進同一個筆筒中”這個過程主要解決對“至少”、“總有”“平均分”這些詞的理解。再通過學習例2，利用平均分法法繼續(xù)發(fā)現規(guī)律，在這個過程中抽象出算式，并在觀察比較中全面概括、總結抽屜原理，建立起此類問題的模型。三、鴿巢原理的由來數學小知識鴿巢原理、抽屜原理的由來，利用課間呈現“你知道嗎”的方式，向學生介紹了德國數學家——“狄里克雷”和他的“抽屜原理”。使學生感受到我們本課所發(fā)現的規(guī)律和150多年前科學家發(fā)現的一模一樣，增加探究的成就感。同時了解到鴿巢原理最初的模型和在生活中的廣泛應用，增加一些數學文化氣息。四、解決問題通過對本節(jié)課開始時的“游戲揭秘”和“知識應用”，開闊學生視野，回歸自然，回歸生活，通過不同類型題的設計，讓學生靈活運用此原理解釋生活中的鴿巢問題。人教版六年級數學下冊《數學廣角—鴿巢問題（一）》課標分析一、課標要求《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出：“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”“經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“課程內容”的“第二學段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”“結合實際情境，體驗發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數學活動經驗”。二、單元課標解讀（一）讓學生初步經歷“數學證明”的過程在數學上，一般是用反證法對“抽屜原理”進行嚴格證明。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及“抽屜原理”的相關現象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可引導學生用直觀的方式對某一具體現象進行“就事論事”式的解釋。例如在教學例3時，教師在呈現問題后，可以讓學生猜一猜，有學生會猜2個球，有學生會猜5個球，也有學生會猜對。此時教師可以提出讓學生自己用畫一畫、寫一寫等方法來說明理由。結合學生個性化的表達，教師可展示分析解答過程，通過分析逐步消除學生的各種錯誤認識，讓學生形成對這類問題中抽屜的模型結構的初步感知。在得出答案后，應向學生提出運用“抽屜原理”來思考這個問題的要求，并根據學生學習的具體情況引導學生進行如下思考：把兩種顏色看成兩個抽屜，要保證有一個抽屜至少有2個同色球，分的物體個數至少要比抽屜數