2022-2023學年江蘇省無錫市高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．2．若不等式對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知向量，，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．4．已知，，則等于（）A． B． C． D．5．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．46．經過原點且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．7．同時拋擲兩枚骰子，朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．對一切，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．向正方形ABCD內任投一點P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期___________.12．設x、y滿足約束條件，則的取值范圍是______.13．函數(shù)的最大值為______.14．在一個不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個數(shù)可能是_________個.15．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．16．已知，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的首項.（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項和.18．已知，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的值域.19．已知是復數(shù)，與均為實數(shù)，且復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．20．某家具廠有方木料90，五合板600，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產第張書桌需要方木料O.l，五合板2，生產每個書櫥而要方木料0.2，五合板1，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.（1）如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？（2）怎樣安排生產可使所得利潤最大？21．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化簡f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由同角三角函數(shù)關系式,先求得.再結合正弦定理即可求得的外接圓半徑.【詳解】中,由同角三角函數(shù)關系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圓半徑為1故選:A【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關系式的應用,正弦定理求三角形外接圓半徑,屬于基礎題.2、B【解析】∵不等式對任意，恒成立，∴，∵，當且僅當，即時取等號，∴，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍是，故選B.3、D【解析】

直接利用向量的數(shù)量積和向量的投影的定義，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，向量，，則在方向上的投影為：．故選D．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的應用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、D【解析】

通過化簡可得，再根據，可得，利用同角三角函數(shù)可得，則答案可得.【詳解】解：，又，得，即，又，且，解得，，故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變形的化簡和求值，是中檔題.5、C【解析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．6、A【解析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查扇形面積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

分別求出基本事件的總數(shù)和點數(shù)之和為奇數(shù)的事件總數(shù),再由古典概型的概率計算公式求解.【詳解】同時拋擲兩枚骰子,總共有種情況,朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)的情況有種,則所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率的求法,屬于基礎題.8、D【解析】

化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據題意，利用正弦函數(shù)的圖象與性質求得的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)則函數(shù)在上是含原點的遞增區(qū)間；又因為函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增，則，得不等式組又因為，所以解得.又因為函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖像和性質應用問題，也考查了三角函數(shù)的靈活應用，屬于中檔題.9、B【解析】

先求得的取值范圍，根據恒成立問題的求解策略，將原不等式轉化為，再解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】解：對一切，恒成立，轉化為：的最大值，又知，的最大值為；所以，解得或.故選B.【點睛】本小題主要考查恒成立問題的求解策略，考查三角函數(shù)求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10、C【解析】

由題意，求出滿足題意的點所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【詳解】由題意，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【點睛】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關鍵是明確概率模型，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)表達式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【點睛】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎題.12、【解析】

由約束條件可得可行域，將問題轉化為在軸截距取值范圍的求解；通過直線平移可確定的最值點，代入點的坐標可求得最值，進而得到取值范圍.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將的取值范圍轉化為在軸截距的取值范圍問題由平移可知，當過圖中兩點時，在軸截距取得最大和最小值，，的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的取值范圍問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化成直線在軸截距的取值范圍的求解問題，通過數(shù)形結合的方式可求得結果.13、【解析】

設，，，則，，可得，再根據正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．【詳解】解：函數(shù)，設，，則，，，，故當，即時，函數(shù)，故故答案為：；【點睛】本題主要考查求函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．14、16【解析】

根據紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計算紅色球和黑色球的個數(shù)，從而得到白色球的個數(shù).【詳解】根據概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個數(shù)為個；黑色球的個數(shù)為個；故白色球的個數(shù)為4個.故答案為：16.【點睛】本題考查概率和頻率之間的關系：概率是頻率的穩(wěn)定值.15、【解析】

過B作，且，則或其補角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【詳解】過B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補角即為異面直線PB與AC所成角．設.，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，齊次式的計算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）對兩邊取倒數(shù)得，化簡得，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）是等比數(shù)列.，求得，利用錯位相減法和分組求和法求得前項和.試題解析：（1），又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，即，設，①則，②由①-②得，.又.數(shù)列的前項和.考點：配湊法求通項，錯位相減法.18、（1）；.（2）.【解析】

（1）根據平面向量數(shù)量積的坐標運算、三角恒等變換先求出函數(shù)的解析式即可由三角函數(shù)的性質求出函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（2）對于形如的值域問題，要先求出的范圍，再根據正弦函數(shù)的性質逐步求解即可.【詳解】（1）由已知可得，，，令，解之得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（2）因為，當時，，此時，，所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算、三角恒等變換及三角函數(shù)的周期、單調區(qū)間、值域的求法，試題綜合性強，屬中等難度題.19、【解析】試題分析：解：設，為實數(shù)，．為實數(shù)，，則．在第一象限，解得．考點：本題主要考查復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)代數(shù)形式的運算，不等式組解法．點評：主要運用復數(shù)的基礎知識，具有一定綜合性，中檔題．20、(1)只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元；(2)生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大【解析】

（1）設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，則，由此可得最大值；（2）設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．則，，由線性規(guī)劃知識可求得的最大值．即作可行域，作直線，平移此直線得最優(yōu)解．【詳解】由題意可畫表格如下：方木料（）五合板（）利潤（元）書桌（個）0.1280書櫥（個）0.21120(1)設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，則，∴∴所以當時，(元)，即如果只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元(2)設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．則，∴在直角坐標平面內作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作直線，即直線．把直線l向右上方平移至的位置時，直線經過可行域上的點M，此時取得最大值由解得點M的坐標為.∴當，時，(元)．因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大所以當，時，．因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃的實際應用，解題時需根據已知條件設出變量，列出二元一次不等式組表示的約束條件，列出目標函數(shù)，然后由解決線性規(guī)劃的方法求最優(yōu)解．21