2021年中考壓軸題從全等圖形到相似圖形

個(gè)性化教學(xué)計(jì)劃

學(xué)生姓名年級輔導(dǎo)教師輔導(dǎo)科目輔導(dǎo)日期

九年級劉老師數(shù)學(xué)同步

教學(xué)內(nèi)容從全等圖形到相似圖形

相似三角形的知識應(yīng)用廣泛，可以證明角的相等、線段成比例等問題.通過

教學(xué)目標(biāo)尋找（或構(gòu)造）相似三角形獲得比例線段或等角，用以論證或計(jì)算的方法

教學(xué)過程

一、課堂回顧

上節(jié)課復(fù)習(xí)的是三角函數(shù)的有關(guān)知識，這節(jié)課開始復(fù)習(xí)全等圖形，相似圖形。

二、錯(cuò)題重現(xiàn)

（2020?淮安）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C,測得NC4B=3O。，ZABC=45°,AC=8

千米，求A、8兩點(diǎn)間的距離.（參考數(shù)據(jù)：夜”1.4,豆。1.7,結(jié)果精確到1千米）.

三、知識詳解

一、平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，是研究比例線段及相似形

的最基本、最重要的理論.運(yùn)用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵是尋找題中的平行線.若

無平行線，需作平行線，而作平行線要考慮好過哪一個(gè)點(diǎn)作平行線，一般是由成比例的兩條線

段啟發(fā)而得.此外，還要熟悉并善于從復(fù)雜的圖形中分解出如下的基本圖形：

二、相似三角形的知識應(yīng)用廣泛，可以證明角的相等、線段成比例等問題.通過尋找（或

構(gòu)造）相似三角形獲得比例線段或等角，用以論證或計(jì)算的方法，我們稱為相似三角形法，這

是幾何學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法之一.

全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情況，相等是它的主旋律，從全等到相似的

過程，不僅是認(rèn)識形式上的變化，而且在思維方法上也是一個(gè)飛躍，在相似形的問題中出現(xiàn)的

線段間的關(guān)系比全等形中的等量形式更為復(fù)雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式，甚至是

線段乘積的和差、線段比的和差.證明這類問題，常常要通過命題的轉(zhuǎn)換或中間量的過渡.

熟悉下面這些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.

三、相似三角形的性質(zhì)有:

1.對應(yīng)角相等；

2.對應(yīng)邊成比例；

3.對應(yīng)線段（中線、高、角平分線）之比等于相似比；

4.周長之比等于相似比；

5.面積之比等于相似比的平方.

性質(zhì)3主要應(yīng)用于三角形內(nèi)接特殊平行四邊形的問題，性質(zhì)5進(jìn)一步豐富了面積的有關(guān)知識，拓展了我

們研究面積問題的視角

四、真題再現(xiàn)

1.（2020?成都）如圖，直線直線AC和。F被/1，l2,b所截，AB=5,8c=6,EF=4,

則DE的長為

2.（2020?牡丹江）如圖，在矩形A8CD中，AB=3,8c=10,點(diǎn)E在8C邊上，垂足為

F.若。F=6,則線段EF的長為

3.如圖，DABCD+,直線PS分別交AB,CD的延長線于P,S,交,BC,AC,AD于Q,E,R,圖

中相似三角形的對數(shù)（不含全等三角形）共有對.（武漢市競賽試題）

解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的傳遞性.

P

4.如圖，在△A8C中，AB=AC,A。是中線，P是4D上一點(diǎn)，過C作CF〃A8,延長8P交AC于

E,交CF于F.求證：BP2=PEPF.（吉林省中考試題）

解題思路：由于8P,PE,PF在一條直線上，所以必須通過等線段的代換促使問題的轉(zhuǎn)化.

證明比例式或等積式是幾何問題中的常見題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點(diǎn)定

形法；②作平行：根據(jù)要證明的式子，找到一個(gè)分點(diǎn)，過此點(diǎn)作平行線，能寫出要證式子中的

一個(gè)比或與其相關(guān)的比；③變原式：包括等量代換、等積代換和等比代換.

五、舉一反三

1.(2020?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,2),B(1,1),

C(3,1),以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF,使ADEF與△A8C成位似圖形，且

2.如圖1,P為△48C內(nèi)一點(diǎn)，連接力,PB,PC.在△以8,△PBC和△%(：中，如果存在一個(gè)

三角形與△A8C相似，那么就稱P為AABC的自相似點(diǎn).

(1)如圖2,已知RtZ\A8C中，ZACB=90°,ZABC>ZA,CO是48上的中線，過點(diǎn)8作

BE1CD,垂足為E,試說明E是△48C的自相似點(diǎn)；

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖3,利用尺規(guī)作出AABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

②若^ABC的內(nèi)心(NA,ZB,NC角平分線的交點(diǎn))P是該三角形的自相似點(diǎn)，求

該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).(南京市中考試題)

解題思路：本例設(shè)問形式多樣，從概念的判斷說理到作圖求解，由淺入深，而認(rèn)識并深刻

理解“自相似點(diǎn)”的概念，是解題的關(guān)鍵.

圖1圖2圖3

3.如圖，在矩形ABC。中，A8=12cm,BC=6cm.點(diǎn)P沿A8邊從點(diǎn)A開始向8以2cm/s的速度

移動(dòng)，點(diǎn)Q沿0人邊從點(diǎn)。開始向點(diǎn)A以lcm/s的速度移動(dòng).如果P,Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）

表示移動(dòng)時(shí)間（0W6）,那么：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰三角形？

（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q,4P為頂點(diǎn)的三角形與△八8c相似？

（河北省中考試題）

解題思路：對于（3）,借助三角形相似的判定方法，由于未指明對應(yīng)關(guān)系，探求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間應(yīng)注意分類討論.

六、課堂檢測

1.(2020?上海)《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法.如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木

桿BD,從木桿的頂端D觀察井水水岸C,視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E,如果測得AB=1.6米，BD

=1米，BE=0.2米，那么井深A(yù)C為米.

2.（2020?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F