8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊(cè)）（解析版）

8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用TOC\o"1-3"\h\u題型1半角公式的應(yīng)用 ④cosαsinβ=和差化積：=1\?GB3\?MERGEFORMAT①cosα+cosβ=2cos=2\?GB3\?MERGEFORMAT②cosα?cosβ=?2sin=3\?GB3\?MERGEFORMAT③sinα+sinβ=2sin=4\?GB3\?MERGEFORMAT④sinα?sinβ=2cos題型1半角公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】當(dāng)給出角α的范圍（某一區(qū)間）時(shí)，可先確定角eq\f(α,2)的范圍，再確定各函數(shù)值的符號(hào)。若沒(méi)有給出確定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前保留正負(fù)兩個(gè)符號(hào)。（3）對(duì)于Sα2，Cα2，α∈R，而對(duì)于【例題1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）利用半角公式，求sin5π【答案】2【分析】首先判斷sin5π12>0【詳解】解：因?yàn)?<5π12<π2，所以【變式1-1】1．(多選)（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）tan75°＝（

）A．2+3 B．1+cos150°1?cos150° C．sin150°1+cos150°【答案】ACD【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及特殊角的三角函數(shù)值判斷A，由正切半角公式判斷BC，由tan60°?αtan【詳解】tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°由正切的半角公式知tan75°=1?cos150°tan75°=sin75°∵tan60°?αtan60°+αtanα故選：ACD.【變式1-1】2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α∈(?π2,0)，A．3 B．?3 C．13 D．【答案】D【分析】由角的范圍及平方關(guān)系求得cosα【詳解】由tanα2=sinα1+cosα所以tanα故選：D【變式1-1】3．（2022春·甘肅酒泉·高一?？计谥校┮阎痢?π2A．?1010 B．1010 C．?【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及半角的余弦公式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由α∈(cosα∵π2<cosα所以cos(π?α2)=?cos故選：A.【變式1-1】4．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？计谥校┤籀痢?,π2，A．33 B．3 C．34 【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系，半角公式化簡(jiǎn)得到cosα=1【詳解】因?yàn)閠anα2=又因?yàn)棣痢?,π所以2?cosα=2cos所以cosα又因?yàn)棣痢?,π2，所以故選：B．【變式1-1】5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若tanπ+α=?4A．35 B．3 C．5 D．【答案】C【分析】由題知sinα【詳解】解：因?yàn)閠anπ+α所以sinα所以1sin故選：C【變式1-1】6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：cos3【答案】?2【分析】由誘導(dǎo)公式與三角恒變換公式求解即可【詳解】∵0<α∴tanα2=∴1+cosα又∵cos3π2∴cos=?sin∵0<α∴0<α∴sinα∴cos32π?故答案為：?2題型2積化和差公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】積化和差公式的巧記口訣余余相乘余和加，正正相乘余減反，正余相乘正相加，余正相乘正相減。注意前提是（α+β）在前面，【例題2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）利用積化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15°cos75°；(2)sin20°sin40°sin80°．【答案】(1)1(2)3【分析】利用積化和差公式求解.(1)解：由積化和差公式得：cos15°cos75°，=1=12cos(2)由積化和差公式得：sin20°sin40°sin80°，=?1=?14sin80°+=?14sin80°+【例題2-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1?sinα【答案】0【解析】原式展開(kāi)后，利用積化和差和二倍角公式化簡(jiǎn)整理即可得到結(jié)果.【詳解】原式=1?=1?2sinα+β2【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了積化和差和二倍角公式的應(yīng)用問(wèn)題.【變式2-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）sin(πA．12sin(αC．12sin(α【答案】B【分析】利用積化和差公式sinα【詳解】解：原式=12[sin(故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查積化和差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【例題2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α，β為銳角，且α?β=A．0,32 B．1,32 C．【答案】A【分析】由積化和差公式可得sinα【詳解】因?yàn)閟inαsin所以sinαsinβ∵α，β為銳角，且α?β=π6∴π6∴?32<cos∴sinαsinβ故選：A【變式2-3】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）△ABC中，sinA．3+234 B．4+34 C．【答案】C【分析】根據(jù)積化和差公式得sinA【詳解】解：sin=sinC+≤sinC+1當(dāng)且僅當(dāng)A=B，所以sinA+故選：C【變式2-3】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)=cosA．π,14 B．π,12【答案】B【分析】積化和差與二倍角公式化簡(jiǎn)即可得解；【詳解】解：f=12cos2x故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，屬于中檔題【變式2-3】3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若cos2α?A．?m B．m C．?m2【答案】A【解析】利用積化和差和二倍角公式可將所求式子化為cos2【詳解】sinα+故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用積化和差和二倍角公式化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)公式的掌握和應(yīng)用情況.題型3和差化積公式的應(yīng)用【方法總結(jié)】和差化積公式的特點(diǎn)①同名函數(shù)的和或差才可化積。②余弦函數(shù)的和或差化為同名函數(shù)之積。③正弦函數(shù)的和或差化為異名函數(shù)之積。④等式左邊為單角α和β，等式右邊為α+β2⑤只有余弦函數(shù)的差化成積式后的符號(hào)為負(fù)，其余均為正?！纠}3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）利用和差化積公式，求下列各式的值：(1)sin15°+sin105°；(2)sin20°+sin40°?sin80°；(3)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°．【答案】(1)62(2)0；(3)12【分析】(1)利用和差化積公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算得解.(2)利用和差化積公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.(3)利用和差化積公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式求解作答.(1)sin15°+sin105°=2sin15(2)sin20°+sin40°?sin80°=2sin30(3)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=(cos40°+cos80°)+=2cos60°cos20°+1【變式3-1】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）把下列各式化為積的形式：(1)sin18(2)sin50(3)cosπ(4)sinx【答案】(1)2sin(2)2cos(3)2cos(4)2sin【分析】（1）轉(zhuǎn)化sin18（2）轉(zhuǎn)化sin50（3）利用余弦的和差化積公式，即得解；（4）轉(zhuǎn)化sinx(1)sin(2)sin(3)cos(4)sin【變式3-1】2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）把下列各式化成積的形式：(1)sin24°+sin36°；(2)sin15°+(3)cosx(4)cosα【答案】(1)cos6°(2)6(3)2cos2(4)?2sin【分析】（1）根據(jù)和差化積公式即可得解；（2）根據(jù)和差化積公式及兩角差的余弦公式即可得解；（3）根據(jù)和差化積公式即可得解；（4）根據(jù)和差化積公式即可得解.(1)解：sin24°+sin36°=2sin(2)解：sin=2cos15°sinα(3)解：cosx(4)解：cos=?2sinα【例題3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α?β=2πA．79 B．?79 C．1【答案】B【分析】由α=α+β2【詳解】因?yàn)閏osα+cosβ因?yàn)棣?β=2π所以cos(α故選：B【變式3-2】1．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）若cos2sin(α【答案】?【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式將原式化為12cos2α【詳解】由m=所以sinα故答案為：?m【變式3-2】2．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列等式中錯(cuò)誤的是（

）A．sin5θ+sin3θC．sin3θ?sin5θ【答案】ABC【分析】先證明和差化積公式，然后驗(yàn)證各選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)閟inαcosα從而有sinα?sinβ對(duì)于A，sin5θ對(duì)于B，cos3θ對(duì)于C，sin3θ對(duì)于D．cos3θ故選：ABC．【變式3-2】3．（2022春·上海虹口·高一華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀├煤筒罨e和積化和差公式完成下面的問(wèn)題：已知sinω1+sinω2【答案】?【分析】由和差化積和積化和差公式求得sinω1+ω2【詳解】sinω1+sinω2=sinω則sinω1+ω2故答案為：?5題型4湊角求值【方法總結(jié)】（1）解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．常見(jiàn)的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等湊角基本思路◆類型1給值求值型【例題4-1】（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）若α∈0,π2，A．29 B．23 C．42【答案】C【分析】確定α+π6∈π【詳解】α∈0,π2，故α+sin2故選：C【變式4-1】1．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知sinα?πA．?716 B．716 C．?【答案】C【分析】利用換元法和二倍角公式求解即可.【詳解】令t=α?π5所以sin(2α故選：C．【變式4-1】2．（2022春·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）已知sinα+π【答案】?【分析】先由和角公式得sinα【詳解】由sinα+π4=13即1+sin2α=29，解得故答案為：?7【變式4-1】3．（2022秋·上海寶山·高一校考期末）已知sinπ(1)求：cosπ(2)求sin2x【答案】(1)2(2)5【分析】（1）由誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.（2）由差角公式、完全平方公式可得結(jié)果.【詳解】（1）cos(∴cos(π4+（2）∵sin(∴cos又∵(cos∴sin2◆類型2給值求角型【例題4-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知0<β<π4<α<【答案】π3##【分析】求得cosα+β【詳解】依題意0<β<π4π所以π4所以sin2所以cos=cos=?11由于π4<α故答案為：π【變式4-2】1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若角α,β滿足2cosA．?5π12 B．?7π12 C．【答案】B【分析】先利用三角恒等變換將方程化簡(jiǎn)得2sin2α=1，從而得到α=【詳解】因?yàn)?=2(cos=2cos(=2[sin(=2sin(α+β所以sin2α=12，故2α=π依次檢驗(yàn)?5π12、?7π12、π6、π故選：B.【變式4-2】2．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知0<α(1)求tanα(2)求角β的值.【答案】(1)tanα(2)β=【分析】（1）由tan2023π+α=43求得tan（2）由α，β的范圍求出β?α的范圍，分別求出sinβ?α，cosα的值，利用【詳解】（1）∵tan2023π+解得tanα2=∵0<α（2）∵0<由sin2α+∵0<∴β∴cosβ∵0<β<π，【變式4-2】3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）回答下面兩題(1)已知sinα+cosα=2(2)已知tanα=43，且sinα?【答案】(1)30(2)π【分析】（1）利用平方關(guān)系，先求2sinαcosα（2）利用角的變換求sinβ【詳解】（1）因?yàn)閟inα1+2sinαcosα=1所以α∈π2因?yàn)閟inα?cos所以sinα（2）因?yàn)?<β<αsinα?βtanα=43，得sinαcossin=437所以β=【變式4-2】4．（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┗?jiǎn)求值(1)已知cosx+π(2)已知α∈0,π2【答案】(1)42(2)π4【分析】（1）先求得tanx=1（2）先求得sin(α?β),cosβ【詳解】（1）由cosx+π因?yàn)閤∈0,π2，所以故tan2x（2）因?yàn)棣痢?,π所以sin(α所以sinα=sin因?yàn)棣痢?,π【變式4-2】5．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谀┮阎猼anα(1)tan2α(2)若α,β∈(0,【答案】(1)4(2)π【分析】（1）直接根據(jù)二倍角的正切公式即可得解；（2）利用兩角和的正切公式求出tanα【詳解】（1）因?yàn)閠anα=1（2）因?yàn)閠anα=1又因?yàn)棣?β∈(0,故α+題型5恒等式證明【例題5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知3tanα?π【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由已知條件化簡(jiǎn)得出3sinα【詳解】證明：因?yàn)?tanα?π于是3sinα因?yàn)閟in2==2cosα所以，cosα同理可得sinα所以32sin2α?sinπ【變式5-1】1．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知2tan2β【答案】證明見(jiàn)解析【分析】化簡(jiǎn)得到sin2αcos【詳解】因?yàn)?tan2β即sin2去分母，得sin2又2=2=2cos2α?cos所以sin2即sin2所以sin2于是sin2故sin2【變式5-1】2．（2022·高一單元測(cè)試）定義：μ=1nsin2（1）若θ1=π3,θ2=2（2）若θ1=π4,θ2=α,θ【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）α=11π【分析】（1）直接由公式計(jì)算可得解；（2）將條件代入公式可得μ==12?(sin2α+sin2β+1)sin2θ0+(cos2α+cos2β)cos2θ【詳解】（1）因?yàn)棣?所以μ=1所以正弦方差”μ的值是與θ0無(wú)關(guān)的定值1（2）因?yàn)棣?所以μ===1因?yàn)閷?shí)數(shù)θ1,θ2,θ3所以cos2α因?yàn)棣痢师?由cos2α+cos2β=0，得即α+β由(cos2α+cos2β又因?yàn)?β?2α∈(0,3π)，所以即β?α=π3當(dāng)α+β=當(dāng)α+β=當(dāng)α+β=綜上可知：α=11【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在第二問(wèn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中公式得到μ==12【變式5-1】3．（2022春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知α,β∈（1）求證：tan（2）求tanβ的最大值，并求當(dāng)tanβ取得最大值時(shí)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）tanβ的最大值為24，當(dāng)tanβ【分析】（1）由sinβsinα（2）由（1）中結(jié)論弦化切后，可將tanβ表示成tanα的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式得到tanβ【詳解】（1）∵sin∴sinβ∴sinβ∴tan∴sin∴tanβ（2）由（1）得：tanβ∵α，β∴tanα由tanβ可得：當(dāng)tanα=22時(shí)，∵sin∴sin[(∴sin[(∴sin(∴sin(即tan(α所以tan(α【變式5-1】4．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求證：1+sin2θ【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】由二倍角公式，可得左邊=sin【詳解】證明：因cos2θ則1+sin2θ1+sin2θ故左邊==sin【變式5-1】5．（2022春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中．銳角α,β的終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，角α+β的終邊與單位圓交于C點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B、(1)如果|AM|=35，(2)求證：‖MA【答案】(1)56(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義得到sinα=3（2）表達(dá)出MA=sinα,NB=sinβ，PC=sin(【詳解】（1）由題意得：sinα=3由于α、β均為銳角，所以sinβ=1?所以cos(α（2）MA=sinPC=sin(所以MA+MA=sinα=sin[(所以NB+同理MA+所以線段‖MA【變式5-1】6．（2021·高一課前預(yù)習(xí)）求證：(1+cos2α【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明即可；【詳解】證明：(1+cos2所以原等式成立．【變式5-1】7．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）證明：sinα【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角恒等變換得到sinα【詳解】sinα同理可得：sinβ+γ故sin=sin題型6實(shí)際應(yīng)用【例題6】（2023秋·浙江寧波·高一校聯(lián)考期末）近期，寧波市多家醫(yī)院發(fā)熱門(mén)診日接診量顯著上升，為了應(yīng)對(duì)即將到來(lái)的新冠病毒就診高峰，某醫(yī)院計(jì)劃對(duì)原有的發(fā)熱門(mén)診進(jìn)行改造，如圖所示，原發(fā)熱門(mén)診是區(qū)域ODBC（陰影部分），以及可利用部分為區(qū)域OAD，其中∠OCB=∠COA=π2，OC=303米，BC=30(1)為保證發(fā)熱門(mén)診與普通診室的隔離，需在區(qū)域OABC外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長(zhǎng)度；(2)在可利用區(qū)域OAD中，設(shè)置一塊矩形HGIF作為發(fā)熱門(mén)診的補(bǔ)充門(mén)診，求補(bǔ)充門(mén)診面積最大值.【答案】(1)90+303(2)3600?18003【分析】（1）在直角三角形OBC中由已知條件可求出∠BOC和OB，則可求得∠BOA，從而可求出（2）連接OF，設(shè)∠FOA=θ0<θ【詳解】（1）因?yàn)镺C=303，BC=30所以tan∠BOC=BC因?yàn)椤螧OC為銳角，所以∠因?yàn)椤螩OA=π所以AB的長(zhǎng)為π3所以隔離帶的總長(zhǎng)度為303（2）連接OF，設(shè)∠FOA因?yàn)镺F=60，所以FI=60sinθ因?yàn)椤螦OD=π所以GI=60cos所以S=3600sin=1800[sin2=18002sin因?yàn)?θ所以S≤1800(2?3)=3600?1800所以補(bǔ)充門(mén)診面積最大值為3600?18003【變式6-1】1．（2023秋·北京通州·高一統(tǒng)考期末）某一扇形鐵皮，半徑長(zhǎng)為1，圓心角為π4．工人師傅想從中剪下一個(gè)矩形ABCD(1)若矩形ABCD為正方形，求正方形ABCD的面積；(2)求矩形ABCD面積的最大值．【答案】(1)1(2)2【分析】（1）連OC，則OC=1，設(shè)∠COP=θ，則0<θ<π4，（2）設(shè)矩形ABCD面積為S，則S=AB?【詳解】（1）連OC，因?yàn)樯刃伟霃介L(zhǎng)為1，則OC=1設(shè)∠COP=θ∴OB=OC∵AD=BC∴OA=∵矩形ABCD為正方形，∴AB即cosθ?sinθ∵sin2θ+cos∵0<θ<π∴正方形ABCD的面積為AB?（2）設(shè)矩形ABCD面積為S，則S=sin===2∴當(dāng)2θ+π4=此時(shí)，S最大值為2?1即矩形ABCD面積的最大值為2?1【變式6-1】2．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為1、中心角為2θ（其中tanθ=2）的扇形OPQ，且AD//PQ【答案】矩形ABCD面積的最大值為5?12，此時(shí)AD的長(zhǎng)為【分析】利用題目條件,解直角三角形得矩形ABCD的面積S,再利用二倍角正弦,余弦公式和輔助角公式得S=【詳解】如圖:設(shè)∠POQ的角平分線OH分別交AD,BC于E則∠AOE因此矩形ABCD的面積S為矩形ABFE面積的2倍.因?yàn)樯刃蜲PQ的半徑為1，所以在Rt△OBF中,BF=sinα,即BF因?yàn)樵赗t△OAE中,OE所以EF=而tanθ=2,因此所以S=sin2α其中φ為銳角，且tanφ因?yàn)?<α<θ<π因此當(dāng)2α+φ=π2時(shí),因?yàn)閠anφ=12,所以當(dāng)因此2tanα1?tan2α因此sinα所以AD=2sin【變式6-1】3．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD，AB=43，AD=8，Rt△(1)當(dāng)tanθ(2)求△MPN的周長(zhǎng)l的最小值，并求此時(shí)角θ【答案】(1)40(2)當(dāng)θ=π4【分析】（1）在△DPN,△APM（2）由直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理得出l=4【詳解】（1）DN∵∠DPN=∠PMA=（2）由（1）可知，PNsinθ+cosθ=令sinθ+cosθ=當(dāng)t=2，即θ=【變式6-1】4．（2022秋·廣東廣州·高一廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>(1)將十字形的面積S表示成θ的函數(shù)；(2)求十字形面積S的最大值，并求出此時(shí)yx【答案】(1)S(2)Smax=【分析】（1）設(shè)十字形面積為S，易知S=xy+（2）由（1）的結(jié)論，利用二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合輔助角公式得到S=【詳解】（1）解：如圖所示：x=cosθ,因?yàn)閥>x