江蘇省南京市求真中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

江蘇省南京市求真中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直三棱錐的底面是等腰三角形，，是的中點，設(shè)三棱柱的外接球球心為，則點到面的距離等于A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：A2.若，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.若直線與圓相交于兩點，且，則的值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設(shè)E,F,G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點,則二面角C—FG—E的大小是(

)

(A)arcsin

(B)+arccos

(C)－arctan

(D)π－arccot

參考答案：D解：取AD、BD中點H、M，則EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．設(shè)CM∩FG=P，AM∩EH=Q，則P、Q分別為CM、AM中點，PQ∥AC．∵AC⊥BD，TPQ⊥FG，CP⊥FG，T∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角．設(shè)AC=2，則MC=MA=，cos∠ACM==．∴選D．5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)A（a1009，1），B（2，﹣1），C（2，2）為坐標平面上三點，O為坐標原點，若向量與在向量方向上的投影相同，則S2017為（）A．﹣2016 B．﹣2017 C．2017 D．0參考答案：D【分析】向量與在向量方向上的投影相同可得?=?，可得a1009=0，再利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵A（a1009，1），B（2，﹣1），C（2，2），向量與在向量方向上的投影相同，∴?=?，∴2a1009+2=2×2﹣1×2，即a1009=0，∴a1+a2017=2a1009=0，∴S2017=（a1+a2017）=0，故選：D．6.若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，則A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．參考答案：C考點：交集及其運算．分析：考查集合的性質(zhì)與交集以及絕對值不等式運算．常見的解法為計算出集合A、B的最簡單形式再運算．解答：解：由題得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故選C．點評：在應(yīng)試中可采用特值檢驗完成．7.函數(shù)(＞0)的最小正周期為,則的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：

C8.記集合P={0，2，4，6，8}，Q={m|m=100a1+10a2+a3，a1，a2，a3∈P}，將集合Q中的所有元素排成一個遞增數(shù)列，則此數(shù)列第68項是（）A．68B．464C．468D．666參考答案：B考點：數(shù)列的概念及簡單表示法．專題：計算題；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：通過分析集合Q中的元素特點，總結(jié)出數(shù)列中的第68項a1，a2，a3所取得的值，代入|m=100a1+10a2+a3可得答案．解答：解：當a1=0時，a2，a3各有5種取法，得到數(shù)列中的項共5×5=25項，當a1=2時，a2，a3各有5種取法，得到數(shù)列中的項共5×5=25項，當a1=4，a2=0時，a3有5種取法，a1=4，a2=2時，a3有5種取法，a1=4，a2=4時，有5種取法，a1=4，a2=6時，a3取得的第三小的數(shù)是4．故集合Q中的所有元素排成一個遞增數(shù)列，則此數(shù)列第68項是100×4+6×10+4=464．故選B．點評：本題考查了數(shù)列的概念及簡單表示法，考查了學(xué)生分析問題和歸納結(jié)論的能力，是基礎(chǔ)的運算題．9.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B10.命題“對任意的，都有”的否定是A．不存在，使得

B．存在，使得C．存在，使得

D．對任意的，都有參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有一底面半徑為l，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心．在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為

.參考答案：12.在等式中，x＞0，y＞0，若x+y的最小值為，則m的值為

．參考答案：30【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+y===，當且僅當＞0時取等號．∴，解得m=30．故答案為30．13.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為

參考答案：14.設(shè)點A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，T(x0,f(x0))在函數(shù)f(x)=x3?ax(a>0)的圖象上，其中x1，x2是f(x)的兩個極值點，x0(x0≠0)是f(x)的一個零點，若函數(shù)f(x)的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=

．參考答案：15.若實數(shù)x,y滿足不等式組(其中k為常

數(shù)),且z=x+3y的最大值為12,則k的值等于

.參考答案：16.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2a，b＝3，cosC，則a＝_____．參考答案：2【分析】由已知利用余弦定理即可求解a的值．【詳解】∵c＝2a，b＝3，cosC，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得（2a）2＝a2+9﹣2×a×3×（），即2a2﹣a﹣6＝0，∴解得a＝2，或（舍去）．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．17.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N分別在線段AB1、BC1上運動（不包括線段端點），且AM=BN.以下結(jié)論：①；②若點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD-A1B1C1D1上的截面為等邊三角形；③四面體MBCN的體積的最大值為；④直線D1M與直線A1N的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為______.（填序號）參考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得結(jié)論成立；②截面為△AB1C，為等邊三角形，故正確．③設(shè)，則＝dM﹣BCN=，故③成立；④設(shè)，當接近于0時，直線與直線的夾角接近于，當接近于1時，夾角接近于，故④不正確；【詳解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正確；②點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上的截面為△AB1C，為等邊三角形，故②正確．③設(shè)，則＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，當且僅當時取得最大值，故③成立；④設(shè)，當接近于0時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當接近于1時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故④不正確；綜上可知，正確的結(jié)論為①②③故答案為：①②③【點睛】本題考查線面平行、垂直，考查點到面的距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，滿足（I）證明數(shù)列是等差數(shù)列；（II）若，當時，不等式對的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍.參考答案：（II）由（Ⅰ）設(shè)的公差為，知，，，令，則，．…（8分）∴函數(shù)單調(diào)遞增，當時，．∴

，即，

…………（10分），，．而，∴的取值范圍是．

………（12分）19.如圖的莖葉圖記錄了甲、乙兩代表隊各10名同學(xué)在一次英語聽力比賽中的成績（單位：分），已知甲代表隊數(shù)據(jù)的中位數(shù)為76，乙代表隊數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75．（1）求x，y的值；（2）判斷甲、乙兩隊誰的成績更穩(wěn)定，并說明理由（方差較小者穩(wěn)定）．參考答案：【考點】極差、方差與標準差；莖葉圖．【分析】（1）甲代表隊的中位數(shù)為76，結(jié)合莖葉圖能求出x的值；乙代表隊的平均數(shù)為75，結(jié)合莖葉圖能求出y的值．（2）分別求出甲、乙的平均數(shù)和方差，由此得到甲隊成績較為穩(wěn)定．【解答】解：（1）因為甲代表隊的中位數(shù)為76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，…因為乙代表隊的平均數(shù)為75，其中超過75的差值為5，11，13，14，和為43，少于75的差值為3，5，7，7，19，和為41，所以y=3．…（2）∵（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，…乙代表隊數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75．∴[（64﹣75）2+（65﹣75）2+…+（88﹣75）2]=50.2…又S2乙=[（56﹣75）2+（68﹣75）2+…+（89﹣75）2]=70.3…∴，∴甲隊成績較為穩(wěn)定．…20.在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求點到平面的距離．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．試題分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得，由此可推出，然后利用勾股定理推出，從而使問題得證；（Ⅱ）利用等積法將問題轉(zhuǎn)化為求解即可．試題解析：（Ⅰ）證明：在中，，由已知，，，解得，所以，即，可求得．在中，∵,,,∴,∴,∵平面,,∴平面．（Ⅱ）由題意可知，平面，則到面的距離等于到面的距離，在中，易求，，且，面，則，即，則，即點到平面的距離為．考點：1、面垂直的判定定理；2、點到平面的距離；3、棱錐的體積．【思路點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型，（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．21.（本小題滿分13分）某地