多元函數(shù)的極限與連續(xù)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§10.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)

10.1.1多元函數(shù)的概念

內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)10.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點集的基本知識10.1.1多元函數(shù)的概念定義10.1.1

設(shè)x0是空間n中的一點,>0,稱n中的點集為點x0的鄰域.其中點x0稱為鄰域的中心,為半徑.即點x0的鄰域是n中距離x0不超過的點的集合.點x0

的去心鄰域記為說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,則用和表示點x0

的鄰域和去心鄰域.第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)經(jīng)常用點P0

表示點x0,點P

表示點x.

(方鄰域)。方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有點集E

及一點P

:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點

;則稱P為E的

邊界點

.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E

.第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月D若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域

;。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E

;。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月整個平面是最大的開區(qū)域,點集是開集，也是最大的閉區(qū)域；但非區(qū)域.o對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點PD與某定點A

的距離APK,則稱

D

為有界域

,否則稱為無界域.例如是有界閉區(qū)域;是無界開區(qū)域.第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式2.多元函數(shù)第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月火箭在空中飛行的速度與其在空間中的位置、時間及發(fā)動機的運行情況等多種因素有關(guān)衛(wèi)星發(fā)射第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義10.1.2

設(shè)非空點集點集D稱為函數(shù)的定義域

;

數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù)

,記作二元和二元以上的函數(shù)都稱為多元函數(shù)．第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月平面點集到實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系二元函數(shù)第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

寫出下列函數(shù)的定義域解(1):(2):由所求函數(shù)的定義域為第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

設(shè)求解法1

令第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

設(shè)求解法2

令即第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,二元函數(shù)一般地,二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)D空間的一張曲面.圖形如圖所示.圖形為上半球面,的圖形一般為3.二元函數(shù)的幾何意義第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月截痕方程為用截痕法研究曲面的形狀：用平面去截割曲面，或曲線在xoy面上的投影曲線的方程是曲線稱為已知函數(shù)的等值線或等高線．第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月對于三元函數(shù)也有等值面或等位面等概念.圖形為空間中的超曲面.三元函數(shù)定義域為單位閉球第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月10.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)定義10.1.3

設(shè)n

元函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量x

無限趨于x0時,函數(shù)f(x)的值無限接近于某個常數(shù)a,則稱a

為當(dāng)x

x0時函數(shù)f(x)的極限,記作當(dāng)時,恒有即稱上述極限為n重極限.第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n=2時,極限定義可敘述為當(dāng)n=1時,上述定義與一元函數(shù)極限定義一致.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,恒有則稱a

為當(dāng)(x,y)(x0,y0)

時函數(shù)f(x,y)的極限,記作或第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

設(shè)求證：證故總有要證

第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

設(shè)求證：證故總有要證第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在

.以不同方式趨于不存在.例5

討論函數(shù)函數(shù)第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.討論是否存在？解：所以極限不存在.第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在

.以不同方式趨于不存在.例5

討論函數(shù)函數(shù)第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.討論是否存在？解：所以極限不存在.第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月求多元函數(shù)極限的常用方法：1.利用函數(shù)極限的運算性質(zhì)；2.利用不等式縮放或使用夾逼定理；3.利用變量替換化簡或化為已知極限，對含有三角函數(shù)或冪指函數(shù)的二重極限可考慮它是否能通過變形或變量代換化為一元函數(shù)中的重要極限；4.利用初等變形，如分母有理化、對指數(shù)函數(shù)取對數(shù)等.第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.計算解：例8.求解：第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.計算解：所以故第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.求解：由于故第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例11

求解

因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

二重極限不同.

1.

當(dāng)重極限存在時，累次極限可能都不存在，可能一個存在而另一個不存在.

與累次極限例如,顯然它在(0,0)點累次極限不存在

.第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,此時但不存在.2.當(dāng)重極限不存在時，累次極限可能都存在且相等,也可能都存在但不相等，還可能一個存在而另一個不存在

.

第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,顯然它在(0,0)點二重極限不存在.例如,此時但與都不存在.第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月3.設(shè)重極限存在且當(dāng)時,存在,則當(dāng)時,存在,則例如,顯然不存在.第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義10.1.4

設(shè)n

元函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果則稱f(x)在x0處連續(xù).否則稱為不連續(xù),此時稱x0為間斷點.當(dāng)n=2時,二元函數(shù)連續(xù)的定義可敘述為設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,如果或則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第38頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

例