高等傳熱學作業(yè)()

第一章1-4、試寫出各向異性介質在球坐標系中的非穩(wěn)態(tài)導熱方程，已知坐標為導熱系數(shù)主軸。解：球坐標微元控制體如圖所示：熱流密度矢量和傅里葉定律通用表達式為：（1-1）根據(jù)能量守恒：（1-2）導熱速率可根據(jù)傅里葉定律計算：（1-3）將上述式子代入（1-4-3）可得到對于各向異性材料，化簡整理后可得到：（1-6）第二章2-3、一長方柱體的上下表面(x=0，x=δ)的溫度分別保持為和，兩側面()向溫度為的周圍介質散熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為。試用分離變量法求解長方柱體中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖：設，根據(jù)題意寫出下列方程組（2-1）解上述方程可以把θ分解成兩部分和兩部分分別求解，然后運用疊加原理得出最終溫度場，一下為分解的和兩部分：首先求解溫度場用分離變量法假設所求的溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積，即（2-2）將上式代入的導熱微分方程中，得到，即，上式等號左邊是x的函數(shù)，右邊是y的函數(shù)，只有他們都等于一個常數(shù)時才可能成立，記這個常數(shù)為。由此得到一個待定常數(shù)的兩個常微分方程（2-3）解得（2-4）（2-5）把邊界條件代入（2-3-4）得到A=0，所以有（2-6）把邊界條件代入（2-3-5）得到D=0，所以有（2-7）把邊界條件聯(lián)立（2-3-7）得到（2-8）設，則有，這個方程有無窮多個解，即常數(shù)β有無窮多個值，即，所以對應無窮多個，即，所以有（2-9）聯(lián)立（2-3-6）可得（2-10）把邊界條件代入上式可得（2-11）解得（2-12）其中（2-13）求解溫度場與解一樣用分離變量法，假設所求溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積（2-14）將該式子代入的導熱微分方程中得到，即，由此可得到兩個常微分方程（2-15）（2-16）解式（2-3-15）時根據(jù)x的邊界條件可以把解的形式寫為（2-17）把邊界條件代入上式，得到A=0，所以有（2-18）其中（2-19）把邊界條件代入上式可得（2-20）（2-21）（2-22）最終求得穩(wěn)態(tài)溫度場2-5、地熱換熱器是管中流動的流體與周圍土地之間的換熱，可應用于熱能的儲存、地源熱泵等工程實際。一種布置方式是把管子埋設在垂直于地面的鉆孔中。由于管子的長度遠大于鉆孔的直徑，可把管子的散熱簡化為一個有限長度的線熱源。當運行的時間足夠長以后，系統(tǒng)可以達到基本穩(wěn)定的狀態(tài)。設土地是均勻的半無限大介質，線熱源單位長度的發(fā)熱量為ql，地表面的溫度均勻，維持為t0。使用虛擬熱源法求解土地中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖如下：設有限長熱源長度為H，單位長度熱源發(fā)熱量為，電源強度為，設地面溫度維持恒定溫度。求解點熱源dz0產生的溫度場有限長線熱源在某點產生的溫度可以看做是許多點源在該點產生的溫度場的疊加，因此我們先來看下無限大介質中點源產生的溫度場，這是一個球坐標系中的無內熱源的穩(wěn)態(tài)導熱問題，其導熱微分方程為：（3-1）解微分方程可得（3-2）把邊界條件代入上式得到，所以有（3-3）在球坐標系點熱源單位時間內的發(fā)熱量等于它在任意球面上產生的熱流量Q，即（3-4）所以得到由此可得到球坐標系中點熱源產生的溫度場為（3-5）分別求出兩個線熱源產生的溫度場線熱源產生的溫度場可以看作是點熱源產生的溫度場的疊加，因此有地下有限長線熱源產生的溫度場（3-6）對稱的虛擬熱源產生的溫度場為（3-7）虛擬熱源法求解的地熱換熱器產生的溫度場（3-8）第三章3-1、用熱電偶測量呈簡諧波周期變化的氣流溫度，熱電偶的感溫節(jié)點可看作直徑為1mm的圓球，其材料的密度為8900kg/m3，比熱容為390J/(Kg?K)，測溫記錄最高和最低溫度分別為130℃和124℃，周期為20s。若已知氣流與熱電偶間的對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為20W/(m2?K)，試確定氣流的真實溫度變化范圍。解：氣流溫度按簡諧波變化時，熱電偶的溫度響應為（4-1）式中按題目要求，，，根據(jù)題目提供的熱電偶測量的最高溫度、最低溫度，求出熱電偶測量的溫度變化的振幅如下式（4-2）把的數(shù)據(jù)代入上式中得到氣流溫度變化的振幅，所以真實氣體溫度變化的最大值、最小值為（4-3）（4-4）3-6、已知初始溫度均勻的無限大介質中由連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源所引起的溫度場由式子確定。若線熱源的加熱不是連續(xù)的而是間歇的，即從的時刻起，線熱源進行周期性的間歇加熱，周期為T，其中加熱的時段為T1，其余的T-T1時間不加熱。試利用線性疊加原理確定介質中的溫度響應。解：無限大介質連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源引起的溫度場：（5-1）其中：對于隨時間變化的熱流可以用一系列連續(xù)的矩形脈沖熱流來近似如圖所示：由疊加原理得到時刻的溫度變化為：（5-2）對于間歇性的脈沖，令為運行份額，如果在整個運行期間的平均熱負荷為，則脈沖加熱的強度為，具體見下圖：由疊加原理得到：（5-3）即溫度響應為（5-4）第四章4-1、處在x>0的半無限大空間內的一固體，初始溫度為溶解溫度tm。當時間時，在x=0的邊界上受到一個恒定的熱流q0的作用。使用積分近似解得方法確定固液界面位置隨時間變化的關系式。溫度分布按二次多項式近似。解：設過余溫度，邊界條件為（6-1）（6-2）熱平衡方程為（6-3）其中L是潛熱，用二次多項式近似固相區(qū)中的溫度分布，設（6-4）由邊界條件（6-1）可知，，則（6-5）由邊界條件（6-2）變形，，代入（6-3）式可得（6-6）將（6-4）代入上式得到（6-7）聯(lián)立（6-5）和（6-7）兩個式子，可解得（6-8）將（6-4）代入（6-3）得到（6-9）其中，所以有，代入A的值即得（6-10）變形可得到（6-11）積分可得到（6-12）化簡整理可得界面隨時間的變化方程為（6-13）第六章6-4、常物性流體在兩無限大平板之間作穩(wěn)態(tài)層流運動，下板靜止不動，上板在外力作用下以恒定速度U運動，試推導連續(xù)性方程和動量方程。解：按照題意可以寫出（7-1）故連續(xù)性方程為（7-2）可以簡化為（7-3）因流體是常物性，不可壓縮，N—S方程為X方向上：（7-4）簡化為（7-5）Y方向上：（7-6）可簡化為（7-7）第七章7-3、試證明：當時流體外掠平板層流動邊界層換熱的局部努塞爾數(shù)為證明：適用于外掠平板的層流邊界層的能量方程為（8-1）常壁溫的邊界條件為（8-2）（8-3）引入一量綱溫度，則上述能量方程變?yōu)椋?-4）引入相似變量，得到（8-5）（8-6）（8-7）將上面的三個式子代入（8-4）可得到（8-8）當時，速度邊界層厚度遠小于溫度邊界層厚度，可近似認為溫度邊界層內速度為主流速度，即，由此可得（8-9）求解得到則（8-10）第八章8-2、常物性不可壓縮流體在兩平行平板之間作層流流動，下板靜止，上板以勻速U運動，板間距為2b，證明充分發(fā)展流動的速度分布為解：二維流體質量、動量方程為（9-1）（9-2）（9-3）在充分發(fā)展區(qū)，截面上只有沿流動方向上的速度u在斷面上變化，法向速度v可以忽略不計，因此可由（9-1）得到（9-4）將（9-4）式代入（9-3）得到，表明壓力P只是流動方向x的函數(shù)，即流道斷面上壓力是均勻一致的進一步由（9-2）可得（9-5）相應的邊界條件為（9-6）（9-7）對（9-5）積分可得到（9-8）（9-9）代入邊界條件得到，因此有（9-10）第九章9-3、流體流過平壁作湍流邊界層流動，試比較粘性底層、過渡區(qū)和湍流核心區(qū)的大小。解：流體流過平壁作湍流邊界層流動時，一般將邊界層分為3個區(qū)域：粘性底層：緩沖層：湍流核心：其中因此可以得出，湍流核心區(qū)最大，緩沖層其次，粘性底層最小。粘性底層是靠近壁面處極薄的一層，速度耗損大。過渡區(qū)處于粘性底層與湍流核心區(qū)之間，范圍很小。第十章10-3、一塊平板，高0.5m，寬0.5m，壁溫保持在30℃，豎直放入120℃的油池中，求冷卻熱流。解：物性取膜溫（11-1）查油的物性表得到：瑞利數(shù)為（11-2）平均努塞爾數(shù)為(11-3)因此(11-4)得到(11-5)第十一章11-3、有一漫輻射表面，單色吸收比如下圖所示。在太空中，正面受到太陽輻射，輻射力為1394w/㎡，背面絕熱。試求表面的平衡溫度。解：假定太陽輻射相當于5800K的黑體輻射全波長半球向吸收率為（12-1）利用，得到（12-2）由得到，因此（12-3）由于漫射性質，，因此