物理北理工y第7章3電學

7-4

靜電場的環(huán)路定理 電勢靜電場力所作的功.如圖q0

由a點fi

b點，q的電場力的所做的功2q4pe0

rE=靜電場力移動單位正電荷對q0

做功與路徑無關，僅與q0

的始末位置有關或者：場源點電荷q的電場強度的線積分與路徑無關，僅與q0的始末位置有關rbra

A

=

F

dl

=

rbra

q0

E

dlEabdl

rra=

qbE

dl

cosq0arbrq=

q004pe

r

2b0

adr

=

qq0

(

1

-

1

)4pe

r

rdl

cosq

=

drrq

1

1q0AbraE

dl

=

(

-

)=4pe0

ra

rb

若點電荷系

q1,q2,…qn

激發(fā)場q0

從afi

b電場力作功為以上每一項為點電荷的電場力作功，均與積分路徑無關所以對任意靜電場，靜電場力移動

q0

做功與路徑無關，僅與

q0

的始末位置有關所以，靜電力是保守力。baq

E

dlA

=0ban=

q210banbabaE=

q

(E

+

E

++

E

)

dldl

dl

++

q

E

dl

+

q

E2

01

007.4.1

靜電場環(huán)路定理.在靜電場中,場強沿任意閉合路徑的線積分等于零,稱為靜電場的環(huán)路定理據(jù)矢量的斯托克斯公式\

·

E

=

0結(jié)論:靜電場是有源無旋場.對任意靜電場，電場強度的線積分與路徑無關，僅與q0

的始末位置有關bararLrbrL

E

dl

E

dl

+

q2100

q0

L

E

dl

=

qL

E

dl

=

0

L

S說明靜電場是無旋場（保守場）

·

E

)

dS

E

dl

=

(aarbrLrbrLdl

=

0EE

dl

-

q=

q2100靜電場是保守場一般7.4.2靜電勢能靜電場是保守場，靜電力是保守力,靜電場力做功與路徑無關

可以引入電勢能WpAab

=

Wa

-Wbb

Aab

=

q0

E

dla電勢能bWa

=

q0

Eadl

(規(guī)定Wb

=

0)意路徑移到零勢點電場力所做的功各點位置所決定的標量函數(shù)此函數(shù)在a和b兩點的數(shù)值差等于從a到b電場強度沿任意路徑的線積分，也等于從a到b移動單位正電荷靜電場力所做的功。叫電場的電勢如果指定b為電勢零點，則a點電勢對有限大帶電系統(tǒng)

零勢點常選

遠處a與b兩點的電勢差qaj0

0qb=

Wa

=

Wbjq0a

b

=

abW

-W

AU

=

ja

-jb

=b=

E dla

q0b

ja

=

E

dla即在靜電場中某點電勢等于將單位正電荷由該點沿任￥

ja

=

E

dlabaabE

dl

j

=7.4.3

電勢和電勢差一、靜電場的保守性意味著，對靜電場來說，存在一個由電場中已知靜電場的電勢分布，可以方便的計算出點電荷在靜電場中移動時電場力所做的功.一個帶電系統(tǒng)的電場中任一點的電勢等于每一個點電荷（或帶電體）單獨存在時在該點所產(chǎn)生電勢的代數(shù)和電勢的疊加原理ba二場源點電荷的電勢Aab

=

q0

E

dl

=

q0U

=

q0

(ja

-

jb

)

qqa

ra0204pe

r4pe

rdr

=E

dl

=j

=￥￥

￥￥aE

dl

=

三電勢的疊加原理(

E1

+

E2

+

+

En

)

dl￥￥a￥ja

==aaa

E2

dl

+

+

En

dl

E1

dl

+nnaii

=10

ii

=11

qi4pe

rj

=ja

=2.點電荷系的電勢：(q1,q2,…qn)3.電荷連續(xù)分布帶電體,場中P點電勢：線電荷分布面電荷分布體電荷分布1.點電荷的電勢：q4p

e0

rj

=nnqii

=10 ii

=14pe

rj

=

ji

=dqp0

4pe

rj

=7.4.4

電勢的計算—場強線積分法：b（電勢0點)ja

=

E

dla處電勢為0）二電勢疊加法：（使用條件：規(guī)定￥dq

=

ldldq

=

sdsdq=

rdV求半徑為R的均勻球面電荷q的場強和電勢分布？S外內(nèi)SqRrr內(nèi)4pr

2

E

=

04pr

2

E

=外內(nèi)\

E

=

00

0q

qe

4pe

r

2\

E

=外E

={00

q

(0<r<R)(r>R)rE0Rq04pe

R=0q4pe

r

2E

=r0

E?∞例：點電荷￥rE

dl4pe

r

2內(nèi)j

=￥=rE外外jqr004pe

r4pe

r

2dr

=￥￥Rdrq204pe

r￥

R

=

r

E內(nèi)

dr

+

R

E外

dr

=

d

ql

=rOR2rbra例.

均勻帶電球?qū)?，?nèi)半徑為R1，外半徑為R2，體電荷密度為r

。求圖中a點和b點電勢。2a

bR1

rdr解：取薄球殼，半徑為r，厚為

dr，可視為均勻帶電球面，其帶電量為dq

=

r4pr

dr對a點，此帶電球面產(chǎn)生的電勢為dq0004pe

rr4pr

2dr

r=

rdredj

=

4pe

r

=2122021(

RRRa-

R

)rdr

=

r2e0erdj

=j

=對b點，當球殼半徑r<rb時，其產(chǎn)生的電勢為20

b0

b0

bdq

r4pr

2dr

r=

r

dr4pe

r

e

r=dj

=

4pe

r)3122bb1rbR(r

-r

dr

=

R

r3e01

e0

rbrb

rj

=

dj

=當球殼半徑r>rb時，其產(chǎn)生的電勢為dq0004pe

rr4pr

2dr

r=

rdredj

=

4pe

r

=222

bR2rb

2(

Rb-

r

)rdr

=

r2e0dj

=j

=rb2R3-

1

)(3R2

-

r

22

b6e0r

e0rjb

=

jb1

+

jb

2

=rOR2rbraa

bR1

rdrDSEabDScDl證明：平行電場線的電場一定是勻強場。

Ea

=

Eb

E dS

=

-Ea

DS

+

Eb

DS

=

0

E

dl

=

-Ea

Dl

+

Ec

Dl

=

0Ea

=

Ec高斯定理：環(huán)路定理：例ORr例.

均勻帶電球體，半徑為R,

體電荷密度為r

。求內(nèi)外場強分布。解0e

34pr

2

E

=

1

4

pr

3

r內(nèi)03erE

=

r內(nèi)2Q4p

e0

rE

=外244p

e0

rpR3

r=

303r

2?3eR

r

rE

=外例.

均勻帶電球體，

體電荷密度為r

。內(nèi)部挖一個球形空腔，球體和空腔的球心距離為a,求空腔內(nèi)場強分布。解填補法1O2O1

a

Pr0

r3eE

=內(nèi)1013erE

=

rE12023e-

r

E

=

r2Er1O

r2

201021r3er3er-

r210

-

r

）=

（r3er3e0r

E

=

E

+

E

=E

=

aE7.4.5

等勢面1.等勢面電場中電勢相等的點組成的面叫等勢面常數(shù).相鄰等勢面間電勢差為如圖1)

等勢面與電場線垂直2)E指向電勢降落方向7.4.6電勢梯度kyx

j

+

E

k\

E

=

E

i

+

E方向?qū)?shù)梯度E

dl

cosq

=

-djlE

dl

=

-djdllE

=

-

djbabE

dl

jab

=

ja

-j

=

-

dj

=

E

dlE

cosq

=

Elmaxdl=

-

dj

|E

=

E

|當q

=0時，El

最大，

E

=

-

jl

maxEx

=

-?x?jEy?y=

-

?jEz?z=

-

?jdn=

-

dja··

b￠dnn·bdllj

+

djjEq例=014pe

r

Q04pe

rdq

=RQPxdqrdqp0

4pe

rj

=0Qp4pe

(

x

2

+

R2

)1

/

2j

=x0Qx?x

4pe

(

x

2

+

R2

)3

/

2?yyE

=

-

?j

=

0?zzE

=

-

?j

=

0pE

=E

=

-

?j

=7-5

靜電場中的電偶極子qr0+q-

-qF+FEM

=

qr0

E

sinq

M

=

p

·

E—外電場對電偶極子的力矩和取向作用勻強電場中p

轉(zhuǎn)向E方向

非勻強電場

中F合

=

F+

+

F-

=

qE+

-

qE-

?

0

發(fā)生轉(zhuǎn)動和移動二電偶極子在電場中的電勢能和平衡位置-+W

=

qj

-

qj0)r

cosqr

cosq+

-j

-j=

-q(-0=

-qr

E