統(tǒng)計(jì)線性代數(shù)課件第三章

第三章 向量及向量空間1第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念定義1n維向量行向量2列向量3注意列向量定義2向量相等α=β對(duì)應(yīng)分量都相等45α與β的和α與數(shù)k的乘積線性運(yùn)算.二、向量的線性運(yùn)算6負(fù)向量減法定義37八條8例1解注意9系數(shù)矩陣10m

n行向量組n

m列向量組x1a1

+

x2a

2

+

+

xna

n

=

b11第二節(jié) 向量的線性關(guān)系一、向量組的線性組合定義4A的一個(gè)線性組合12定義5線性組合β能由向量組A線性表示(或線性表出13，線性方程組是否有解，就等價(jià)于β

是否可由向量組A

:a1

,a2

,,as

,

線性表示注能由唯一不能由能由且表示式不唯一有無窮多個(gè)解.無解.有唯一解.14稱向量組e1

,e2

,,en

為n維基本單位向量組.a

=

a1e1

+

a2e2

+

anen15161解172解有非零解只有零解18二、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義6向量組A線性相關(guān)向量組A線性無關(guān).注關(guān)相無a11

a12a21

a2219a1na2nan1

an

2=

0

(?

0);ann

線性相(無)關(guān)20α

=0

(α≠0);線性相(無)關(guān)對(duì)應(yīng)分量成(不成)比例含零向量的比如線性相關(guān)線性相(無)關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)e1

,e2

,,en21例3，只有零解22三、向量組線性相關(guān)性的判定定理1證明 必要性充分性23推論24定理2證明

先證β可由a

,a

2

,...,a

s

線性表示.125再證表示式的唯一性推論26定理3部分相關(guān)，則整體相關(guān).例如推論整體無關(guān)，則部分無關(guān).定理4低維無關(guān)，則高維無關(guān).推論高維相關(guān)，則低維相關(guān)27定義7向量組B能由向量組A

線性表示互相等價(jià)四.向量組間的線性表示28根據(jù)定義，不難驗(yàn)證向量組的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)：(1)(2)(3)29定理5推論1推論2線性無關(guān)向量組證明30推論3證明31定義8(1)(2)極大無關(guān)組.極大線性無關(guān)部分組，第三節(jié)一、極大無關(guān)向量組向量組的秩32例133注

(1)(2)(3)(4)34定理6推論1推論235二、向量組的秩定義9向量組的秩滿秩向量組 降秩向量組若向量組的秩=它所含向量的個(gè)數(shù)，則這個(gè)向量組線性無關(guān)。36定理7推論37三、矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系秩 列向量組的秩向量組的秩.行定理838列向量組的秩行向量組的秩 行秩列秩，列秩等于 行秩等于A的秩.392403僅

施行初等行變換解行向量組,414243例4解Tbi

=

ai

(i

=1,2,5)444546定理行初等變換列向量組充要條件47（1）（2）（3）例5解4849500

4

3

0

1

510

1

-

0

-5253545.證證無法顯示該圖片。555657證58證59證60證61證

必要性62(錯(cuò))（錯(cuò)）（錯(cuò)）（錯(cuò)）63（錯(cuò)）（錯(cuò)）（對(duì)）.(對(duì))64第四節(jié)一.

線性空間的定義定義1數(shù)域。向量空間65定義2加法運(yùn)算α+β∈V,

kα∈V，數(shù)乘運(yùn)算66線性空間.67例1線性空間向量空間例2例3例4零線性空間68線性空間V又稱向量空間。線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)69基二、線性空間的基與維數(shù)定義370維數(shù)無限維的注

(1)71(2)(3)72（4）(5)73定義3三、元素在給定基下的坐標(biāo)74例5解75定理176四、基變換公式與過渡矩陣定義4，77ξ1,

ξ2,

…,

ξn

η1,

η2,

…,

ηn(h1

,h2

,,hn

)

=

(x1

,x2

,,xn

)

Ax1

,x2

,,xn到基h1，h2，，hn的基變換.78定理279定理3過渡矩陣A可逆80解81證明定理3828384五、坐標(biāo)變換公式定理4(

b1

,

b2

,...,

bn)=(

a1

,a

2

,...,a

n

)A,1

2n(y

,

y

，，y

)

A1

2

nx

,

x

,,

x

)=坐標(biāo)變換公式T(y1

,

y2，，yn

)=x1

,

x2

,,

xn

)T-1(

A

)85證明，，，86，87注(b1

,

b2

,...,

bn

)=(

a1

,a

2

,...,a

n)A,1

2

n1

2

nx

,

x

,,

x

)=

(y

,

y

，，y

)

AT

n

x

x

n

y

y

x1

y1

2

= A

2

n

x

x

2

x1

n

y

y