初三數學幾何綜合題及答案

.在△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME（1）如圖1所示，若AB=AC，則MD和ME的數量關系是（2）如圖2所示，若AB≠AC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；（3）在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，請在圖3中補全圖形，并直接判斷△MED的形狀．圖1圖圖1圖3圖2（1）MD=ME．解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵M是BC的中點，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．（2）如圖，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F、G．因為DF、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜邊上的高，所以F、G分別是AB、AC的中點．又∵M是BC的中點，所以MF、MG是△ABC的中位線．∴，，MF∥AC，MG∥AB．∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．∵DF、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，∴，．∴MF=EG，DF=MG．在△DFM與△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS）．∴DM=ME．∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME∵EG⊥AC∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90°∴DM⊥EM．（3）如圖所示：△MDE是等腰直角三角形．2．如圖1，在中，，，∠A=30°，點E，F分別是線段BC，AC的中點，連結EF．（1）線段與的位置關系是________，________．（2）如圖2，當繞點順時針旋轉時（），連結AF，BE，（1）中的結論是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．圖3圖2（3）如圖3，當繞點順時針旋轉時（），延長交于點，如果，求旋轉角的度數．圖3圖2圖圖1∴△AEF≌△FCD（AAS）．∴E．……………6分（3）解：△EF∵，∴．∴EG．∵，，∴．∵E，∴．∴．∴G為的中點．∴EG為的垂直平分線．∴EF．∴．∴△EF…………8分5．將△繞點順時針旋轉得到△，的延長線與相交于點，連接．（1）如圖1，若==，，請直接寫出與的數量關系；（2）如圖2，若＜=，，猜想線段與的數量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若＜，（為常數），請直接寫出的值（用含、的式子表示）．圖1圖1圖1圖1圖1圖圖1圖2圖3解：（1）AF=BF．理由如下：在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖1），由旋轉得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF是等邊三角形，又∵DF=2BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF．證明：在DF上截取DG=BF，連接AG（如圖2）．由旋轉得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，∴△GAF是等邊三角形，又∵DF=3BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，連接AG，（如圖3），由旋轉得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF是等腰三角形，∵DF=mBF，∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，過點A作AH⊥DF于H，則FH=GF=（m﹣1）BF，∠FAH=∠GAF=α，∵sin∠FAH=，∴sin=，∴=．6．已知：△ABD和△CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C），點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．（1）如圖l，求證：∠EAF＝∠ABD；（2）如圖2，當AB＝AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，請你判斷線段FM和FN之間的數量關系，并證明你的判斷是正確的．圖1圖1圖2證明：（1）如圖1，連接FE、FC∵點F在線段EC的垂直平分線上∴FE=FC∴∠FEC=∠FCE∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C）∴AB=CB，∠ABD=∠CBD∵在△ABF與△CBF中AB＝CB∠ABD＝∠CBDBF＝BF∴△ABF≌△CBF（SAS）∴∠BAF=∠FCE，FA=FC∴FE=FA，∠FEC=∠BAF∴∠EAF=∠AEF∵∠FEC+∠BEF=180°∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°∴∠AFE+∠ABE=∠AFE+∠ABD+∠CBD=180°又∵∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°∴∠EAF+∠AEF=∠ABD+∠CBD∵∠ABD＝∠CBD,∠EAF=∠AEF∴∠EAF=∠ABD（2）FM=FN證明：由(1)可知∠EAF=∠ABD又∵∠AFB=∠GFA∴△AFG∽△BFA∴∠AGF=∠BAF又∵∠MBF=∠BAF．∴∠MBF=∠AGF又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG∴BG=MG∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=∠EAF又∵∠FGA=∠AGD∴△AGF∽△DGA∵AF=AD設GF=2aAG=3a．∴GD=a∴FD=a∵∠CBD=∠ABD∠ABD=∠ADB∴∠CBD=∠ADB∴BE//AD∴設EG=2k∴BG=MG=3k過點F作FQ//ED交AE于Q∴∴∴GQ=EG=，MQ=3k+=∵FQ//ED∴FM=FN7．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由；（3）在整個運動過程中，設AP為x，BD為y，求y關于x的函數關系式，并求出當△BDQ為等腰三角形時BD的值．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，設AP為x，∴PC=4﹣x，CQ=4+x．∵∠BQD=30°，∴CQ=PC．∴4+x=（4﹣x）．解得x=8﹣4．（2）當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵點P，Q做勻速運動且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等腰直角三角形，∴可證PE=QF=AE=BF．在△PDE和△QDF中，，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE=DF．∴DE=AB．又∵AC=BC=4，∴AB=4，∴DE=2，∴當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．（3）∵AP=x，BD=y，∴AE=x，∵AB=AE+DE+BD，∵4=x+2+y，即y=﹣x+2（0＜x＜4），當△BDQ為等腰三角形時，x=y，∴x=4﹣4，即BD的值為4﹣4．8．已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．（1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上的一點，直線AE、CD相交于點P，且∠APD=45°，求證BD=CE．圖2圖2圖1證明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC．∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC．∴FD=DC．…………2分∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．……3分∴△CDF是等腰直角三角形．（2）過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DF、CF．…………4分∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC．∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC．∴FD=DC，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．∴△CDF是等腰直角三角形．………5分∴∠FCD=∠APD=45°．∴FC∥AE．∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴AF∥CE．∴四邊形AFCE是平行四邊形．…………………6分∴AF=CE．∴BD=CE．……………7分9．已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點，F是BC邊延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．（1）如圖1，若E是AC邊的中點，猜想BE與EF的數量關系為.圖3（2）如圖2，若E是線段AC上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE圖3圖2圖2圖1（1）答：猜想BE與EF的數量關系為：BE=EF；證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是線段AC的中點，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）答：猜想BE=EF．證明如下：如圖2，過點E作EG∥BC，交AB于點G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE與△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；（3）BE=EF．證明如下：如圖3，過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等邊三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△BGE與△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．10．如圖1，已知是等腰直角三角形，,點是的中點．作正方形，使點、分別在和上，連接，．（1）試猜想線段和的數量關系是；（2）將正方形繞點逆時針方向旋轉，①判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；②若，當取最大值時，求的值．圖1圖2（1）BG=AE．理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=DG．在△ADE和△BDG中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE．故答案為：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如圖2，連接AD，∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四邊形EFGD為正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴DG=AE；②∵BG=AE，∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．如圖3，當旋轉角為270°時，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．11．在△ABC中，CA＝CB，在△AED中，DA＝DE，點D、E分別在CA、AB上，（1）如圖①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，則CD與BE的數量關系是；（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點A旋轉至如圖②所示的位置，則CD與BE的數量關系是；，（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°<α<90°），將△AED繞點A旋轉至如圖③所示的位置，探圖②究線段CD與BE的數量關系，并加以證明(用含α圖②圖圖③圖圖①解：（1）如圖①，作DM∥AB，交BC于點M，∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，∴DE∥BC，∴四邊形EBMD是平行四邊形，∴DM=BE，∵DM∥AB，∴∠CDM=45°，∴DM=CD，∴BE=CD；故答案為：BE=CD；（2）如圖②，∵CA=CB，∠ACB=120°∴∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=AC，同理AE=AD，∴==，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，∴△CAD∽△BAE，==∴BE=CD；故答案為：BE=CD；（3）BE=2CD?sinα，證明：如圖③，分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=AB，AN=AE．∴∠CAD=∠BAE，Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，∴，∴，又∵∠CAD=∠BAE，∴△BAE∽△CAD，∴∴BE=2DC?sinα．12．如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點．點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止．連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG．（1）設AE=x時，△EGF的面積為y．求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點，求點P運動路線的長．解：（1）當點E與點A重合時，x=0，y=×2×2=2當點E與點A不重合時，0＜x≤2在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF 在△AME和△DMF中，∴△AME≌△DMF（ASA）∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=∴EF=2ME=2過M作MN⊥BC，垂足為N（如圖）則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt△AME∽Rt△NMG∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（2）如圖，PP′即為P點運動的距離；在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；∴tan∠MBG==2，∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P、P′分別是MG、MG′的中點，∴PP′是△MGG′的中位線；∴PP′=GG′=2；即：點P運動路線的長為2．13．將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°，AD邊與AB邊重合，AB＝2AD＝4．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉一個角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點P.（1）如圖2，BD與CE的數量關系是,位置關系是；（2）在旋轉的過程中，當AD⊥BD時，求出CP的長；（3）在此旋轉過程中，求點P運動的路線長.圖1備用圖圖2圖1備用圖圖2解：

（1）BD=EC，BD⊥CE；理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°，AD邊與AB邊重合，AB=2AD=4，∴D，E分別是AB和AC的中點，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；故答案為：BD=EC，BD⊥CE；（2）如圖3所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠1=∠2，∴BP⊥CE，∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形，∴AD=PE=2，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∴BD=CE=2，∴CP=CE﹣PE=2﹣2；（3）如圖4，取BC的中點O，連接OP、OA，∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=2，在此旋轉過程中（0°≤α≤180°），由（2）知，當α=60°時，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時∠AOP=60°，∴點P運動的路線是以O為圓心，OA長為半徑的+，∴點P運動的路線長為：L=+=2=×2=π．14．如圖1，正方形與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為.在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG.（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；（2）當點C在直線上時，連接FC，直接寫出∠FCD的度數；（3）如圖3，如果=45°，AB=2，AE=，求點G到BE的距離.（1）證明：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG.∴△≌△.∴BE=DG.（2）解：45°或135°.（3）解：如圖3，連接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE為正方形AEFG的對角線，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵,∴GE=8，.過點B作BH⊥AE于點H.∵AB=2，∴.∴.∴.設點G到BE的距離為h.∴.∴.即點G到BE的距離為.15．問題：在中，SKIPIF1<0，∠A=100°，BD為∠B的平分線，探究AD、BD、BC之間的數量關系.請你完成下列探究過程：（1）觀察圖形，猜想AD、BD、BC之間的數量關系為.（2）在對（1）中的猜想進行證明時，當推出∠ABC=∠C=40°后，可進一步推出∠ABD=∠DBC=度.（3）為了使同學們順利地解答本題（1）中的猜想，小強同學提供了一種探究的思路：在BC上截取BE=BD，連接DE,在此基礎上繼續(xù)推理可使問題得到解決.你可以參考小強的思路，畫出圖形，在此基礎上對（1）中的猜想加以證明.也可以選用其它的方法證明你的猜想.（1）AD+BD=BC；（2）∵AB=AC，∠A=100°∴∠ABC=∠C=40°∵BD為∠B的平分線，∴∠ABD=∠DBC=20°；（