彈性力學(xué)第七章空間問(wèn)題基本理論

彈性力學(xué)課件第七章空間問(wèn)題基本理論第1頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月目錄一、應(yīng)力與應(yīng)力張量二、二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程三、應(yīng)力狀態(tài)的描述四、邊界條件五、主應(yīng)力與應(yīng)力主方向六、應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量七、位移與應(yīng)變的基本關(guān)系－幾何方程八、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程九、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系十、彈性力學(xué)邊值問(wèn)題第2頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、應(yīng)力與應(yīng)力張量?jī)?nèi)力——外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間的相互作用力。附加內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力矢量pn隨截面的法線方向n的方向改變而變化第3頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力狀態(tài)——一點(diǎn)所有截面應(yīng)力矢量的集合。顯然，彈性體內(nèi)某確定點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力——應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)分析——討論一點(diǎn)截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢(shì)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì)，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。第4頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)分解——沒(méi)有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn

與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量——應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第5頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力張量應(yīng)該注意——應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是說(shuō)明方向第6頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、平衡微分方程平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對(duì)于彈性體，必須討論一點(diǎn)的平衡。微分平行六面體單元第7頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程切應(yīng)力互等定理

第8頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、應(yīng)力狀態(tài)如果應(yīng)力張量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)；坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系；最大應(yīng)力及其方位的確定。第9頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月公式表明：已知應(yīng)力張量，可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量。當(dāng)然可以確定正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn。應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系第10頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時(shí)的變化規(guī)律。第11頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月任意斜截面的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式——應(yīng)力分量滿足張量變化規(guī)則應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過(guò)原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。應(yīng)力張量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒(méi)有變化。第12頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式——彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量；材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。 正應(yīng)力二者定義沒(méi)有差異 而切應(yīng)力定義方向不同第13頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、邊界條件彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知——面力邊界Ss

面力邊界條件——確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。第14頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。第15頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移邊界條件邊界位移已知——位移邊界Su

位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等

第16頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月混合邊界條件彈性體邊界

S＝Ss＋Su部分邊界位移已知——位移邊界Su

部分邊界面力已知——面力邊界Ss不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于3個(gè)。第17頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、主應(yīng)力與應(yīng)力主方向轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡(jiǎn)化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)第18頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力和主平面主應(yīng)力分析關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即展開(kāi)第19頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中：主元之和代數(shù)主子式之和應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主應(yīng)力特征方程第20頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3

分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。第21頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個(gè)根，代表某點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入和

l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力主方向。第22頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。因此特征方程的三個(gè)根是確定的。特征方程的三個(gè)根，即一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點(diǎn)三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個(gè)應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。不變性實(shí)數(shù)性正交性第23頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力正交性證明：下面證明下述結(jié)論：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程無(wú)重根；

應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有兩重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸。第24頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分別乘以l2，m2，n2

分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得設(shè)s1，s2，s3

的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則

第25頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果

s1≠s2≠s33個(gè)應(yīng)力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3與s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的應(yīng)力主向。第26頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果

s1=s2=s3則

l1l2+m1m2+n1n2

l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3

均可為零或者不為零。任何方向都是應(yīng)力主方向。

因此問(wèn)題可證。1.若s1≠s2≠s3，應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，任何方向都是應(yīng)力主軸。第27頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力。主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位；最大切應(yīng)力的確定。討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨勢(shì)——應(yīng)力圓。最大切應(yīng)力以及方位的確定。第28頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正應(yīng)力和切應(yīng)力分析123應(yīng)力圓最大切應(yīng)力方位第29頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月六、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解應(yīng)力球量改變單元體體積，應(yīng)力偏量改變單元體形狀。

第30頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月八面體單元第31頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月七、幾何方程1、變形與應(yīng)變概念由于外部因素——載荷或溫度變化或基礎(chǔ)沉降位移——物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生變化位移形式剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對(duì)位置不變。變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。第32頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移u，v，w是單值連續(xù)函數(shù)進(jìn)一步分析位移函數(shù)具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)一點(diǎn)的變形通過(guò)微分六面體單元描述微分單元體的變形，分為兩部分討論正應(yīng)變——棱邊的伸長(zhǎng)和縮短

切應(yīng)變——棱邊之間夾角（直角）改變第33頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾何方程又稱柯西方程微分線段伸長(zhǎng)——正應(yīng)變大于零微分線段夾角縮小——切應(yīng)變分量大于零2、幾何方程

位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系第34頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾何方程——位移導(dǎo)數(shù)表示的應(yīng)變應(yīng)變描述一點(diǎn)的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形原因是沒(méi)有考慮單元體位置的改變——單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

剛性位移可以分解為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)——變形位移的一部分，但是不產(chǎn)生變形。第35頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)與協(xié)調(diào)相關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)分量

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移增量變形位移增量位移增量是由兩部分組成的第36頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、主應(yīng)變與主應(yīng)變方向變形通過(guò)應(yīng)變描述應(yīng)變狀態(tài)——坐標(biāo)變換時(shí)，應(yīng)變分量是隨之坐標(biāo)改變而變化。應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式應(yīng)變張量第37頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個(gè)整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。主應(yīng)變與應(yīng)變主軸應(yīng)變主軸——切應(yīng)變?yōu)?的方向主應(yīng)變——應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變第38頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)變狀態(tài)特征方程l，m，n齊次線性方程組非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零

展開(kāi)主應(yīng)變確定 ——應(yīng)變主軸方向變形第39頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、應(yīng)變不變量第一，第二和第三應(yīng)變不變量一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)，因此坐標(biāo)變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。應(yīng)變不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn)第40頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力張量——應(yīng)變張量應(yīng)力不變量——應(yīng)變不變量主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性類(lèi)似各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的公式比較第41頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5、體積應(yīng)變——彈性體一點(diǎn)體積的改變量引入體積應(yīng)變有助于簡(jiǎn)化公式解釋第42頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月八、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程數(shù)學(xué)意義：使3個(gè)位移為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾。幾何方程——6個(gè)應(yīng)變分量通過(guò)3個(gè)位移分量描述力學(xué)意義——變形連續(xù)彈性體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束第43頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-1設(shè)ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：顯然該應(yīng)變分量沒(méi)有對(duì)應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。

第44頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將幾何方程的四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則要使幾何方程求解位移時(shí)方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對(duì)y和

x求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可得第45頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則

分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式

將幾何方程的四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則第46頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)變協(xié)調(diào)方程——圣維南（SaintVenant）方程

第47頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義使3個(gè)位移為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系。

第48頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明——應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)。目標(biāo)——如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連通域，就可以通過(guò)幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。利用位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量的全微分，則輪換x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

第49頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如通過(guò)積分，計(jì)算出

是單值連續(xù)的，則問(wèn)題可證。

保證單值連續(xù)的條件是積分與積分路徑無(wú)關(guān)第50頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)格林公式回代第51頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月回代到第四式

wx單值連續(xù)的必要與充分條件是

同理討論wy，wz的單值連續(xù)條件，可得其它4式——變形協(xié)調(diào)方程。由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。

第52頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變形協(xié)調(diào)方程——單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件多連通域位移單值連續(xù)的必要條件充分條件是位移的連續(xù)補(bǔ)充條件第53頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移邊界條件應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。位移邊界條件——臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。第54頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用Su表示。如果物體表面的位移已知邊界條件為稱為位移邊界條件第55頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)物體表面為S位移已知邊界Su面力已知邊界Ss則S＝Su＋Ss彈性體的整個(gè)邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問(wèn)題。第56頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月某某些問(wèn)題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數(shù)目不能超過(guò)或者少于3個(gè)，必須等于3個(gè)。第57頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月九、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系靜力平衡和幾何變形通過(guò)具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系材料的應(yīng)力應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系材料固有特性，因此稱為物理方程或者本構(gòu)關(guān)系第58頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、廣義胡克定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于材料性能稱為物理方程或者本構(gòu)方程單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定第59頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月廣義胡克定理——材料應(yīng)力應(yīng)變一般關(guān)系工程材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受到一定的限制一般金屬材料為各向同性材料復(fù)合材料在工程中的應(yīng)用日益廣泛第60頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月彈性體變形過(guò)程的功與能外力作用——彈性體變形——變形過(guò)程外力作功——彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化能量守恒是一個(gè)物理學(xué)重要原理利用能量原理可以使得問(wèn)題分析簡(jiǎn)化能量原理的推導(dǎo)是多樣的，本節(jié)使用熱力學(xué)原理推導(dǎo)。第61頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)熱力學(xué)概念絕熱過(guò)程格林公式等溫過(guò)程彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式內(nèi)能等于應(yīng)變能第62頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——金屬材料完全各向異性彈性對(duì)稱面一個(gè)彈性對(duì)稱面21個(gè)彈性常數(shù)13個(gè)彈性常數(shù)工程材料各向同性材料各向異性材料第63頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面拉壓與剪切變形不同平面內(nèi)的剪切之間沒(méi)有耦合作用稱為正交各向異性

正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。第64頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各向同性彈性體物理意義——物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對(duì)稱。數(shù)學(xué)反映——應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。金屬材料——各向同性彈性體，是最常見(jiàn)的工程材料。彈性力學(xué)主要討論各向同性材料。第65頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)正交各向異性本構(gòu)關(guān)系1）各向同性材料沿x，y和z座標(biāo)軸的的彈性性質(zhì)相同；2）彈性性質(zhì)與座標(biāo)軸的任意變換方位也無(wú)關(guān)

各向同性材料廣義胡克（Hooke）定理l,m稱為拉梅（Lame）彈性常數(shù)第66頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力表示本構(gòu)方程E為彈性模量G為剪切彈性模量v為橫向變形系數(shù)——泊松比2、拉梅常量與工程彈性常數(shù)第67頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月楊泊松第68頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定：?jiǎn)蜗蚶鞂?shí)驗(yàn)可以測(cè)出彈性模量E薄壁管扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)定剪切彈性模量G第69頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各向同性材料主應(yīng)力狀態(tài)——對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分量均為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。所以，各向同性彈性體

應(yīng)力主軸同時(shí)又是應(yīng)變主軸 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的

以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，則對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分量均應(yīng)為零。第70頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、彈性體的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變表示的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變能第71頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)泊松比n恒小于1，所以U0恒大于零。單位體積的應(yīng)變能總是正的。

第72頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第五章彈性力學(xué)邊值問(wèn)題本章任務(wù)總結(jié)對(duì)彈性力學(xué)基本方程討論求解彈性力學(xué)問(wèn)題的方法第73頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月目錄§10.1彈性力學(xué)基本方程§10.2問(wèn)題的提法§10.3彈性力學(xué)問(wèn)題的基本解法解的唯一性§10.4圣維南局部影響原理§10.5疊加原理第74頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§10.1

彈性力學(xué)基本方程總結(jié)彈性力學(xué)基本理論；討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系——基本方程和邊界條件。第75頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)基本方程1.平衡微分方程2.幾何方程

第76頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.變形協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時(shí)，變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。第77頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本構(gòu)方程——廣義胡克定律 應(yīng)力表示

應(yīng)變表示

基本方程：平衡微分方程；幾何方程和本構(gòu)方程以及變形協(xié)調(diào)方程。第78頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件若物體表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知?jiǎng)t面力邊界條件為：若物體表面的位移已知，則位移邊界條件為

若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件第79頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

總結(jié)：彈性力學(xué)基本方程和邊界條件第80頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量，可以做必要的簡(jiǎn)化。為簡(jiǎn)化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量?！?0.2

問(wèn)題的提法第81頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問(wèn)題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類(lèi)邊值問(wèn)題。第一類(lèi)邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界條件。第二類(lèi)邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。第82頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三類(lèi)邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類(lèi)邊值問(wèn)題，代表了一些簡(jiǎn)化的實(shí)際工程問(wèn)題。若不考慮物體的剛體位移，則三類(lèi)邊值問(wèn)題的解是唯一的。第83頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移解法

——以位移函數(shù)作為基本未知量應(yīng)力解法

——以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量混合解法

——以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量第84頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§10.3

彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法解的唯一性選取位移函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為位移解法。主要工作：利用位移函數(shù)u,v,w表達(dá)其他未知量；推導(dǎo)位移函數(shù)描述的基本方程——位移表達(dá)的平衡微分方程第85頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移解法的基本未知量為3個(gè)位移函數(shù)基本方程為3個(gè)拉梅方程對(duì)于位移邊界條件，位移解法是十分的合適的。第86頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但是位移函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件十分繁雜這一邊界條件幾乎不可能實(shí)現(xiàn)

第87頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通過(guò)幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。

第88頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為應(yīng)力解法應(yīng)力解法的基本方程

1.平衡微分方程

2.變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力解法綜述第89頁(yè)，課件共99頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力解法的基本未知量為6個(gè)應(yīng)力分量；基本方程為3個(gè)平衡微分方程和6個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力解