高中高考數(shù)學所有二級結(jié)論《完整版》

高中高考數(shù)學所有二級結(jié)論《完整版》

1.簡單n面體內(nèi)切球的半徑為3V/S表，其中V為簡單n面體的體積，S表為簡單n面體的表面積。2.在任意三角形ABC內(nèi)，有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC。如果tanA+tanB+tanC<0，則三角形ABC為鈍角三角形。3.斜二測畫法直觀圖面積是原圖形面積的2倍。4.過橢圓準線上一點作橢圓的兩條切線，兩切點連線所在直線必經(jīng)過橢圓相應的焦點。5.導數(shù)題常用放縮e≤x+1、-x≤1/(1-x)≤lnx≤x-1、ex>ex(x>1)、x/(x^2+y^2)≤1/sqrt(2)。6.橢圓2/a^2+2/b^2=1的面積為πab。7.圓錐曲線的切線方程求法是隱函數(shù)求導。過圓(x-a)^2+(y-b)^2=r上任意一點P(x,y)的切線方程為(x-a)(x-x)+(y-b)(y-y)=r，過橢圓2/a^2+2/b^2=1上任意一點P(x,y)的切線方程為2x/a^2+2y/b^2=1，過雙曲線2/a^2-2/b^2=1上任意一點P(x,y)的切線方程為2x/a^2-2y/b^2=1。8.平面內(nèi)一點引曲線的兩條切線，兩切點所在直線的方程叫做曲線的切點弦方程。圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切點弦方程為xx+y^2+2x^2y^2/(x^2+y^2)=D+E+F，橢圓2/a^2+2/b^2=1的切點弦方程為x^2/a^2+y^2/b^2=2，雙曲線2/a^2-2/b^2=1的切點弦方程為x^2/a^2-y^2/b^2=2，拋物線y=2px(p>0)的切點弦方程為yy=p(x+x)，二次曲線的切點弦方程為Ax^2+Bxy+Cx^2+Dy+Ey^2+F=0，其中B≠0。9.橢圓2/a^2+2/b^2=1與直線Ax+By+C=0（AB≠0）相切的條件是A^2a^2-B^2b^2=C^2，雙曲線2/a^2-2/b^2=1與直線Ax+By+C=0（AB≠0）相切的條件是A^2a^2-B^2b^2=C^2。10.如果A、B、C、D是圓錐曲線上順次四點，則四點共圓的一個充要條件是直線AC、BD的斜率存在且不等于零，且k_AC+k_BD=0，其中k_AC和k_BD分別為直線AC和BD的斜率。11.已知橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，兩焦點分別為$F_1$，$F_2$，設焦點三角形$PF_1F_2$中$\anglePF_1F_2=\theta$，則$ab\cos\theta\geqslant1-2e^2(\cos\theta_{\max}=1-2e^2)$。12.橢圓的焦半徑公式為$r_{1,2}=a\pme\sqrt{x^2-b^2}$。13.已知$k_1$，$k_2$，$k_3$為過原點的直線$l_1$，$l_2$，$l_3$的斜率，其中$l_2$是$l_1$和$l_3$的角平分線，則$k_1$，$k_2$，$k_3$滿足下述轉(zhuǎn)化關(guān)系：$$\begin{aligned}&2k_1k_3-1\pm\sqrt{(1-k_1k_3)^2+(k_1+k_3)^2}\\&\qquad=2k_2-k_3+k_3k_2\\&\qquad=2k_2-k_1+k_1k_2\end{aligned}$$14.任意滿足$ax+by=r$的二次方程，過函數(shù)上一點$(x_1,y_1)$的切線方程為$ax+x_1y_1=r$。15.已知$f(x)$的漸近線方程為$y=ax+b$，則$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$，$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-ax]=b$。16.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$繞$Ox$坐標軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為$V=\frac{4}{3}\piab^2$。17.平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和。18.在銳角三角形中，$\sinA+\sinB+\sinC>\cosA+\cosB+\cosC$。19.函數(shù)$f(x)$具有對稱軸$x=a$，$x=b$（$a\neqb$），則$f(x)$為周期函數(shù)，且一個正周期為$|2a-2b|$。20.直線$y=kx+m$與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$相交于兩點，則縱坐標之和為$\frac{2abk+b^2}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}$。21.已知三角形三邊$x$，$y$，$z$，求面積可用下述方法（一些情況下比海倫公式更實用，如$27$，$28$，$29$）：$$\begin{aligned}&A+B=x^2\\&B+C=y^2\\&C+A=z^2\\&2S=A\cdotB+B\cdotC+C\cdotA\end{aligned}$$22.圓錐曲線的第二定義：-橢圓的第二定義：平面上到定點$F$距離與到定直線間距離之比為常數(shù)$e$（即橢圓的偏心率，$e=\frac{c}{a}$）的點的集合（定點$F$不在定直線上，該常數(shù)為小于$1$的正數(shù)）。-雙曲線第二定義：平面內(nèi)，到給定一點及一直線的距離之比大于$1$且為常數(shù)的點的軌跡稱為雙曲線。-拋物線第二定義：平面上到定點$F$的距離與到定直線的距離相等的點的集合。-橢圓拋物線第二定義：平面上到定點$F$的距離與到定直線間距離之和為常數(shù)的點的集合。-雙曲線拋物線第二定義：平面上到定點$F$的距離與到定直線間距離之差為常數(shù)的點的集合。-漸開線第二定義：平面上一點到定點$F$的距離與該點到直線$l$的距離之比為常數(shù)。1.依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l2第一次重合時所轉(zhuǎn)的角是θ，則tanθ=24。2.A、B、C三點共線的充分必要條件是OD=mOA+nOC,OB=k1/k2(同時除以m+n)。3.過雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b)上任意一點作兩條漸近線的平行線，與漸近線圍成的四邊形面積為ab^2。4.反比例函數(shù)y=k/x(k>0)為雙曲線，其焦點為(2k,2k)和(-2k,-2k)，k<0。5.面積射影定理：如圖，設平面α外的三角形ABC在平面α內(nèi)的射影為ABO，分別記三角形ABC的面積和ABO的面積為S和S'，記三角形ABC所在平面和平面α所成的二面角為θ，則cosθ=S':S。6.角平分線定理：三角形一個角的平分線分其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。角平分線定理的逆定理是：如果三角形一邊上的某個點分這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。7.數(shù)列不動點：方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點。利用遞推數(shù)列f(x)的不動點，可將某些遞推關(guān)系an=f(an-1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法。8.定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的不動點，an滿足遞推關(guān)系an=f(an-1),(n>1)，則an-p=a(an-1-p)，即{an-p}是公比為a的等比數(shù)列。9.定理2：設f(x)=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,ad-bc≠0)，{an}滿足遞推關(guān)系an=f(an-1),n>1，初值條件a1≠f(a1)。若f(x)有兩個相異的不動點p,q，則112c/(a-b)(p-q)+k，其中k為常數(shù)。10.若f(x)只有唯一不動點p，則an-p=a^n(a1-p)-a(p+d)/(c(p+d))(1)。11.設函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c(a≠0,e≠0)有兩個不同的不動點x1,x2，并且由un+1=f(un)確定著數(shù)列{un}。則(n+1)u(n+1)-2(n+1)(x1+x2)un+n(x1^2+x2^2)=0。12.AnBnC為三角形ABC的內(nèi)切圓，設其半徑為r，則a+b+c=2p,其中a,b,c為三角形ABC的三條邊長，p為其半周長。又有r=p-(a+b+c)/2。(1)對于任意銳角三角形ABC，有以下公式：當n為4k時，sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)=4sin(nA)sin(nB)sin(nC)當n為4k+1時，sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)=0當n為4k+2時，sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)=0當n為4k+3時，cos(nA)+cos(nB)+cos(nC)=-4cos(nA)cos(nB)cos(nC)(2)若A+B+C=π，則：sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosAcosBcosCcosA+cosB+cosC=1+4sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC=4sinAsinBsinCcotA+cotB+cotC=cotAcotBcotCtanA+tanB+tanC=1(3)對于任意銳角三角形ABC，有以下不等式：sinA*sinB*sinC<=(sinA+sinB+sinC)/8cosA*cosB*cosC<=1/8cosA+cosB+cosC<=2sinA*sinB*sinC>=3sqrt(3)/(8*(cosA+cosB+cosC))sinA+sinB+sinC<=3sqrt(3)/2tanA+tanB+tanC>=3tan(A/3)tan(B/3)tan(C/3)cotA+cotB+cotC>=3sqrt(3)31.帕斯卡定理表明，如果一個六邊形內(nèi)接于一條二次曲線（如橢圓、雙曲線、拋物線），那么它的三對對邊的交點在同一條直線上。32.擬柱體是指所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體。擬柱體的底面是在這兩個平面內(nèi)的面，其余各面是擬柱體的側(cè)面。擬柱體的高是指兩底面之間的垂直距離。擬柱體體積的辛普森公式是：設擬柱體的高為H，如果用平行于底面的平面γ去截該圖形，所得到的截面面積是平面γ與一個底面之間距離h的不超過3次的函數(shù)，那么該擬柱體的體積V為V=(S1+4S+S2)H，其中S1和S2是兩底面的面積，S是中截面的面積（即平面γ與底面之間距離h=H/2時得到的截面的面積）。該公式同樣適用于其他符合條件的立體圖形。33.三余弦定理表明，在平面上，設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，則①OAC,①BAC,①OAB三角的余弦關(guān)系為：cos①OAC=cos①BAC·cos①OAB（其中①BAC和①OAB只能是銳角）。34.在Rt△ABC中，C為直角，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=(a+b-c)/2。35.立方差公式是a-b=(a-b)(a+ab+b)，立方和公式是a+b=(a+b)(a2-ab+b2)。同時，a+b-c的平方可以展開為a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc。36.已知△ABC，O為其外心，H為其垂心，則OH=OA+OB+OC。37.過原點的直線與橢圓的兩個交點和橢圓上不與左右頂點重合的任一點構(gòu)成的直線斜率乘積為定值a2/(b2-a2)（其中a>b>0）。推論為：橢圓上不與左右頂點重合的任一點與左右頂點構(gòu)成的直線斜率乘積為定值-b2/a2。38.歐拉公式是e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中i為虛數(shù)單位。推論為：e^(x1+x2+...+xn)=e^x1*e^x2*...*e^xn。39.根據(jù)不等式性質(zhì)，有推論①t-2ln(t)>1/t（其中t>0），推論②ln(x)>=ax/(x+a)（其中x>0，且a<=2）。40.拋物線焦點弦的中點，在準線上的射影與焦點F的連線垂直于該焦點弦。41.雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心的橫坐標為定值a（長半軸長）。42.向量與三角形四心的關(guān)系是：三角形的重心是三條中線的交點，垂心是三條高線的交點，外心是三條垂直平分線的交點，內(nèi)心是三條角平分線的交點。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c。若點O滿足以下條件，則有特殊的幾何意義：(1)OA+OB+OC=△ABC的重心；(2)OA·OB=OB·OC=OC·OA，O為△ABC的垂心；(3)a·OA+b·OB+c·OC=△ABC的內(nèi)心；(4)OA=OB=OC，O為△ABC的外心。正弦平方差公式：sinα-sinβ=sin(α-β)·sin(α+β)。對于任意圓錐曲線，過其上任意一點作兩直線，若兩射線斜率之積為定值，則兩交點連線所在直線過定點。點(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點坐標為(x',y')，其中x'=x-2A(Ax+By+C)/(A^2+B^2)，y'=y-2B(Ax+By+C)/(A^2+B^2)。圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為ρ=(1-e^2)/(1+e·cosθ)，其中e為圓錐曲線的離心率。三角函數(shù)數(shù)列求和裂項相消：sinx=1/(2cos(x/2))。若圓的直徑端點為A(x1,y1)和B(x2,y2)，則圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。過橢圓上一點做斜率互為相反數(shù)的兩條直線交橢圓于A、B兩點，則直線AB的斜率為定值。二項式定理的計算中不定系數(shù)變?yōu)槎ㄏ禂?shù)的公式：kC(n,k)=nC(n-1)。三角形有五個特殊的點，分別為重心、垂心、內(nèi)心、外心和旁心。它們有一些性質(zhì)：(1)三角形的重心與三頂點的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等；(2)三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構(gòu)成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)