平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。表示數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)有多個(gè)，如平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)，使用最多的是算術(shù)平均數(shù)。表示數(shù)據(jù)離散趨勢的指標(biāo)有多個(gè)，如極差、平均離差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，使用最多的是方差與標(biāo)準(zhǔn)差。第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月資料中各觀察值的總和除以觀察值的個(gè)數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。用符號表示。平均數(shù)的意義：平均數(shù)用來描述資料的集中性，即指出資料中數(shù)據(jù)集中較多的中心位置,常用于同類性質(zhì)資料間的相互比較。一、集中趨勢第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算方法1.直接法適用于樣本含量較小的非頻數(shù)資料如果一個(gè)含量為n的樣本，其n個(gè)觀察值分別用x1、x2……xn表示，則它們的平均數(shù)為其中，（Sigma）為總和符號，表示從第一個(gè)觀察值x1累加到第n個(gè)觀察值xn，若在意義上已明確時(shí)，簡記為x。第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月常數(shù)的總和等于該常數(shù)的n倍，即代數(shù)和的總和等于總和的代數(shù)和，即總和符號內(nèi)的常數(shù)因子可以提取到總和符號之外，即其中C為常數(shù)（a為常數(shù)）關(guān)于總和符號的幾個(gè)性質(zhì)第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.加權(quán)法如果樣本中有n1個(gè)x1，有n2個(gè)x2，那么，n1+n2個(gè)數(shù)的平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)。同理：各組的次數(shù)fi

是權(quán)衡各組中值

xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此f被稱為是x的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的平均數(shù)時(shí)，式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（∑f），k為組數(shù)。第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月表3-1

50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的平均數(shù)時(shí)，式中m為組中值，f、N和k同上式。第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月組別組中值m頻數(shù)（f）fm44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計(jì)20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表

=10695/200=53.475第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月平均數(shù)有以下幾個(gè)基本特性：（1）平均數(shù)的計(jì)算與樣本內(nèi)每個(gè)值都有關(guān)，它的大小受每個(gè)值的影響。（2）若每個(gè)xi都乘以相同的數(shù)k，則平均數(shù)亦應(yīng)乘以k。（3）若每個(gè)xi都加上（或減去）相同的數(shù)A，則平均數(shù)亦應(yīng)加上（或減去）A。第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月中位數(shù)(median)將資料中所有觀察值從小到大依次排列，處于中間位置的數(shù)。以Md表示。適用條件資料呈偏態(tài)分布或頻數(shù)分布類型不明，以及一端或兩端無確定數(shù)值,這種資料用中位數(shù)作為代表值比用算術(shù)平均數(shù)為好。非頻數(shù)資料，先將各觀察值由小到大排列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數(shù)，即：Md=x(n+1)/2第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月其中：L—中位數(shù)所在組的下限；i—組距；f—中位數(shù)所在組的頻數(shù)；n—總頻數(shù)；c—小于中數(shù)所在組的累積頻數(shù)。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，和位置的兩個(gè)觀察值之和的二分之一即為中位數(shù)，即：若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)分布表計(jì)算中數(shù)。第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月潛伏期（小時(shí)）病例數(shù)f累計(jì)例數(shù)0——252512——588324——4012336——2314648——1215860——516372——1164[例]某地區(qū)有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經(jīng)整理如下表，試計(jì)算中位數(shù)。第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月眾數(shù)（Mode）資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)或頻數(shù)最多一組的組中值，記為Mo。第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

fmax=24,Mo=22

50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表Md=22第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月組別組中值m頻數(shù)（f）fx44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計(jì)20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表

=10695/200=53.475fmax=44,Mo=52.5Md=53.35第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何平均數(shù)(Geometricmean)定義

指n個(gè)觀察值乘積的n次方根。即適用條件

主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)呈倍數(shù)關(guān)系或不對稱分布的資料，算術(shù)平均數(shù)對這類資料的代表性差。如抗體效價(jià)（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動(dòng)態(tài)發(fā)展速度等。第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算1、應(yīng)用公式計(jì)算（實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取對數(shù)）第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例海蝦養(yǎng)殖試驗(yàn)，各旬的生長速度3.0，1.51.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長速度。解：即海蝦平均生長速度為1.38。其算術(shù)平均數(shù)為第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)資料編成頻數(shù)分布表時(shí)，

—各組組中值；

—各組次數(shù)；第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如：

A組資料：3、4、5、6、7平均數(shù)為：5

B組資料：1、3、5、7、9平均數(shù)為：5

這里的平均數(shù)5對于A組資料的代表性好？還是對于B組資料的代表性好？

可見，只表明了數(shù)據(jù)的集中程度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要進(jìn)一步說明數(shù)據(jù)的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數(shù)據(jù)變異特征的數(shù)值叫變異數(shù)。常用的變異數(shù)有：極差、平均離差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月極差（全距）極差=最大值-最小值只利用了資料中最大值和最小值，不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各個(gè)觀察值的變異程度。平均離差

第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月它不能表示整個(gè)資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用消除離均差的負(fù)號離均差的平方之和（簡稱平方和，記為SS）稱為均方（縮寫為MS），又稱為樣本方差，記為S2標(biāo)準(zhǔn)差S離均差第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月首先求出離均差，即每個(gè)數(shù)與它們的平均數(shù)之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。方差s2是離均差平方的平均數(shù)。雖然方差在實(shí)際應(yīng)用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以它不能直接地指出某個(gè)數(shù)x與平均數(shù)之間的偏離究竟達(dá)到什么程度。為此，采用標(biāo)準(zhǔn)差s做標(biāo)準(zhǔn)，衡量x與平均數(shù)之間的離散程度。第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月自由度(degreeoffreedom)：統(tǒng)計(jì)學(xué)借此來反映一批變量的約束條件。例如一個(gè)有5個(gè)觀察值的樣本，因?yàn)槭艿浇y(tǒng)計(jì)數(shù)的約束，在5個(gè)離均差中，只有4個(gè)數(shù)值可以在一定范圍內(nèi)自由變動(dòng)取值，而第五個(gè)離均差必須滿足這一限制條件。自由度記作DF，一般樣本自由度等于觀察值個(gè)數(shù)(n)減去約束條件的個(gè)數(shù)(k)，即DF＝n－k。

第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月為了方便計(jì)算，將離均差平方和轉(zhuǎn)化為另一種形式，同時(shí)略去下標(biāo)，上式可表示為：第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（∑f），k為組數(shù)。第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，式中m為組中值，f、N和k同上式。第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則?。唬ǘ┯?jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，各觀測值加上或減去一個(gè)常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的值不變；

(三)當(dāng)每個(gè)觀察值都乘以一個(gè)常數(shù)a時(shí)，所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍．第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本的方差為總體的方差為第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月變異系數(shù)Coeffcientofvariation資料的單位不同或平均數(shù)相差很大時(shí)，直接利用標(biāo)準(zhǔn)差比較資料間變異程度是不妥的，需用變異系數(shù)。變異系數(shù)同標(biāo)準(zhǔn)差一樣是衡量資料變異程度的統(tǒng)計(jì)量。變異系數(shù)消除了不同單位和平均數(shù)的影響，可以用來比較不同資料的相對變異程度。第33頁，課件共35頁，創(chuàng)作