2022年-2023年新課標(biāo)全國卷1文科數(shù)學(xué)分類匯編-3．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

新課標(biāo)全國卷I文科數(shù)學(xué)分類匯編

3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

一、選擇題

［2023,12］若函數(shù)/（不）=%-35也21+。5皿］在（-00,+00）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

［2023,12］已知函數(shù)/。）=以3-3/+1,若/（幻存在唯一的零點(diǎn)七,且%>0,則。的取值范圍是

A.（2,4-00）B.（l,4-oo）C.（—oo,-2）D.（-8,—1）

二、填空題

【2023,14］曲線廣必+:在（I：）處的切線方程為.

【2023,13】13.曲線y=x（31nx+l）在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為.

三、解答題

［2023,21］已知函數(shù)/］）=6%*-。）一小.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；（2）若/（x）20,求。的取值范圍.

【2023,21]已知函數(shù)"X)=(x—2)e*+a(x—I)].

（1）討論的單調(diào)性；（2）若“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【2023,21］設(shè)函數(shù)/（尤）=e"—alnx.

⑴討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)求證：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>2?+aln-.

a

【2023,21】設(shè)函數(shù)/(%)="1以+”^，一二(”]),曲線y=/(尤)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線斜率

為0.

(1)求〃；(II)若存在x021,使得f(xo)<，一,求。的取值范圍.

a-\

[2023,20]已知函數(shù)次x)=e'(ar+〃)一f—4x,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,人0))處的切線方程為y=4x+4.

(1)求處6的值；(2)討論人幻的單調(diào)性，并求/U)的極大值.

[2023,21]21.設(shè)函數(shù)/(%)="-分一2.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=l,攵為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x—6/'(x)+x+l>0,求攵的最大值.

41nxh

[2023,21]已知函數(shù)/1)=——+—,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為x+2y—3=0.

x+1x

Inx

(1)求a,b的值；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，/(%)>—

x-1

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3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(解析版)

一、選擇題

［2023,12］若函數(shù)/(不)=%-35也21+。5皿］在(-00,+8)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

/2

解析：選C.問題轉(zhuǎn)化為/'(尤)=l-§cos2x+acosx..0對xwR恒成立，

245

故1——(2COS?%—l)+acosx..O,即acosx——cos2x+§?.0恒成立.

4c5

令8sx=，，得―耳,+以+§?.0對/￡［-1,1］怛成立.

45

解法一：構(gòu)造g(。二——/+"+,,開口向下的二次函數(shù)g(。的最小值的可能值為端點(diǎn)值，

g(T)=；_。…。11

故只需保證《/,解得一一軟h故選c.

小1八33

解法二:①當(dāng)r=0時(shí)，不等式恒成立;②當(dāng)0<f,,1時(shí)，a..恒成立，由y=：(書—在0<f”1

上單調(diào)遞增，所以—g(4—5)=—故a..—；；③當(dāng)—L,r<0時(shí)，4,恒成立.由

y=在一1,"<0上單調(diào)遞增，^4z-||..|(-4+5)=1,所以

綜上可得，—1領(lǐng)b故選C.

33

［2023,12］已知函數(shù)/(x)=a?—3/+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)七,且與〉。，則。的取值范圍是

()

A.(2,4-00)B.(1,4-00)C.(—oo,—2)D.(-8,-1)

2

解：依題存o,廣a)=3涼?6心令/a)=o,解得40或后一，

22

當(dāng)a＞0時(shí)，在（?8,0）與（一,+oo）上,尸（乃＞0,段）是增函數(shù).在（0,一）上,尸（幻＜0,危）是減函數(shù).且人0）=1＞0,

aa

人無）有小于零的零點(diǎn)，不符合題意.

22

當(dāng)。＜0時(shí)，在（?叫一）與（o,+8）上，廣a）＜o(jì),於）是減函數(shù).在（一,0）上，/q）＞o,大幻是增函數(shù).要使yu）

aa

2

有唯一的零點(diǎn)xo，且沏＞0,只要/（一）＞0,即〃2＞%所以。＜?2.故選C

a

另解：依題存0,火X）存在唯一的正零點(diǎn)，等價(jià)于。=3,-二有唯一的正零根，令/=,，則問題又

XX'X

等價(jià)于a=d+3f有唯一的正零根，即尸。與尸尸+3r有唯一的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在），軸右側(cè)，記g⑺=4+3f,g

'⑺=-3尸+3,由g"）=0,解得U±l,在（-8,-1）與（1,+8）上，gV）＜0,g⑺是減函數(shù).在（-1,1）上，gV）＞0.g⑺

是增函數(shù).要使a=/+3r有唯一的正零根，只要"g（-l）=-2,故選C

二、填空題

[2023,14]曲線y=d+1在（1,2）處的切線方程為.

【解】y=x+l.求導(dǎo)得y'=2x--U故切線的斜率％=y'li=l,所以切線方程為y—2=x-l,即

x-

y=x+l.

【2023,13113.曲線y=x（31nx+l）在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為.

【解析】4x-y-3=0.由已知y'=31nx+4,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知切線斜率上=＞'|曰=4,

因此切線方程為丁一1=4。-1),即4x-y-3=0.

三、解答題

【2023,21］已知函數(shù),，(力=6"("-。)一/》.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)若/(x)NO,求4的取值范圍.

【解析】(1)=2(e')2~aex-a1={lex+a)(ex-a)

①當(dāng)。>0時(shí)，2e*+a>0，令/'(x)>0，即e*-a>0，解得尤>Ina,

令/'(x)<0,即e*-a<0，解得xclna,

所以當(dāng)a>0,/(x)在(Ina,+8)上遞增，在(-oo,Ina)上遞減.

②當(dāng)三=0時(shí),r(x)=2(e，y>0,〃x)在R上遞增.

③當(dāng)a<0時(shí)，e'-a>0，令/'(x)>0=2"+a>0=e*>-￡=x>In

令<0=2/+a<0=，<一■!=x<ln|

所以當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在［in(-?|J,+8)上遞增，在卜8,In上遞減.

綜上所述：當(dāng)a>0,/(X)在(-8,Ina)上遞減，在(Ina,”)上遞增；

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)在/?上遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，/(x)在(-oo,ln-?上遞減，在［in］?,+8)上遞增.

(2)由(1)得當(dāng)”>0時(shí)，/(x)mhi=.f(lna)=em"(*"—a)—a21na=一。2［naNO,

Ina<0,得()<a<l.當(dāng)a=O時(shí)，f(x)=(e"J>0滿足條件.

/Q、33

,,ln/2Ja>-2e^,又因?yàn)樗砸?e”a<().

3~

綜上所述，a的取值范圍是—2611.

［2023,21］已知函數(shù)〃x)=(x—2)e*+a(x—1)二

(I)討論〃x)的單調(diào)性；(2)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：(1)由題意/'(x)=(x-l)e*+2a(x-l)=(x-l乂e*+2a).

①當(dāng)2a.O,即a.O時(shí)，e*+2a>0恒成立.令/'(x)>0,則x>l,

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8).同理可得/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一8,1).

②當(dāng)2a<0,即a<0時(shí)，令/'(x)=0,則x=1或ln(-2a).

0

(i)當(dāng)ln(-2〃)>l,即。<一］時(shí)，令/'(尤)>0,則xvl或無>ln(-2a),

所以“X)的單調(diào)增區(qū)間為(-co/)和(ln(—2a),zo).同理/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(l』n(-2叫;

(ii)當(dāng)ln(-2a)=l,即a=-|時(shí)，

當(dāng)x,,l時(shí)，x-L,O，ev+2^,,e1-e=(),所以/'(力..0.同理工>1時(shí)、/'(x)>0.

故〃X)的單調(diào)增區(qū)間為(-00,+8)；

(iii)當(dāng)即一^cacO時(shí).令/則xvln(-2〃)或%>1,

所以“X)的單調(diào)增區(qū)間為(—8/n(—2a))和(1,+8),同理“X)的單調(diào)減區(qū)間為(ln(—2a),l).

綜上所述，當(dāng)。<一]時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為(一8,1)和(ln(—2a),+oo),單調(diào)減區(qū)間為(l』n(—2。))；

A

當(dāng)”=一5時(shí)，/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(一CO,+8);

當(dāng)一■|<a<0時(shí)，“X)的單調(diào)增區(qū)間為(-oo,ln(—2a))和(l,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(ln(—2a),l)；

當(dāng)a.O時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(一8,1).

(2)解法一(直接討論法)：易見/(l)=-e<0,如(1)中討論，下面先研究(i)(ii)(適)三種情

況.

①當(dāng)a<—時(shí)，由"力單調(diào)性可知，/(ln(-2a))</(l)<0,故不滿足題意；

②當(dāng)。=—2時(shí)，〃力在(-oo,”)上單調(diào)遞增，顯然不滿足題意；

③當(dāng)一■!<”()時(shí)，由/(x)的單調(diào)性，可知〃l)</(ln(—2a)),

且〃ln(-2a))=(ln(-2a)—2)(-2a)+a(ln(-2a)—l)-=a[ln(-2a)-2]-+a<0,故不滿足題意；

下面研究a.O,

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)e',令/(x)=0,則x=2,因此/(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，故舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，/(l)=-e<0,f(2)=a>0,所以/(無)在(1,+⑹上有1個(gè)零點(diǎn)；

(i)當(dāng)0<a”l時(shí)，由1吟<0,而/(ing)=(ln]-2)]+aIn]—1)>0,

所以/(x)在(-oo,l)上有1個(gè)零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)a>l時(shí)，由一2<(),而/(-2)=(-4)e-2+9a=9a—4*〉0,

所以/(X)在(-00,1)上有1個(gè)零點(diǎn);

可見當(dāng)。>0時(shí)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn).所以所求a的取值范圍為(0,+8).

解法二(分離參數(shù)法)：顯然％=1不是/(X)的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)、由/(x)=0,得4=，-e'(xwl).

(x-1)-

設(shè)g(x)=/(xH1),則問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與g(X)圖像有兩個(gè)交點(diǎn),

(1)一

—e'(%—IjFfx—2)"+1

對g(尤)求導(dǎo)得g'(x)=-------L4-------,

(尤T)

所以g(x)在(Y0,l)單調(diào)遞增，在(1,抬0)單調(diào)遞減.

①當(dāng)q,0時(shí)，若xe(-oo,l),g(x)>0,直線y=a與g(x)圖像沒有交點(diǎn)，

若xw(l,+。。)，g(x)單調(diào)遞減，直線y=a與g(x)圖像不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，

故q,0不滿足條件;

H3，則(，］)2”

②若a>0時(shí)，取玉=min〈1+g(X)>

a2

而g(2)=0<a,結(jié)合g(x)在(1,+co)單調(diào)遞減,

可知在區(qū)間(不2)上直線y=。與g(x)圖像有一個(gè)交點(diǎn),

取々=min2,o|,七

a1

則g⑸案〉…㈤〈等〈亳"

結(jié)合g(x)在(一8,1)單調(diào)遞增，可知在區(qū)間(演馬)上直線y=a與g(X)圖像有一個(gè)交點(diǎn),

綜上所述，a>0時(shí)直線y=a與g(x)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

［2023,21］設(shè)函數(shù)/(x)=e2jr-alnx.

2

(I)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；⑵求證：當(dāng)a〉0時(shí)，f(x)...2a+a\n~.

解：(I)/"(x)=2eZ，—巴，x>0...2分

x

⑴若go時(shí)，八x)>0在(0,+8)恒成立，所以廣㈤沒有零點(diǎn)；...3分

(2)若?>0時(shí)，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x->OJ'(x)->-oo；當(dāng)x-?+8/3f+8,

所以「㈤存在一個(gè)零點(diǎn).…6分

(II)設(shè)了'(X)的唯一零點(diǎn)為由(I)知(0,?上，/U)<0./(X)單調(diào)遞減；

在化+8)上，尸(x)>0,_/(x)單調(diào)遞增.所以犬x)取最小值/(&).…8分

2

所以?r)/Z)二e2aH心，又f'(k)=2e2k---=0,所以e2k=—，2k-In—In%,

k2ka

〃八2…、a,a、c,a

所以K&)=---tz(ln—2k)----F2kci+ciIn—22。+〃In—,

2ka2k22

2

所以70后2a+Qln—.…12分

a

21.解析⑴/(x)=e2jr-czlnx(x>0),/z(x)=2e2x--.

顯然當(dāng)a”0時(shí),/'(x)>0恒成立，/'(x)無零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，取g(x)=/'(x)=2e2，—f,則g<x)=4e?'+/>0,即_f(x)單調(diào)遞增.

令g(x)=/(尤)=2e2(--=0,即Ze?'=-.

畫出y=2e2,.與>=區(qū)的圖像，如圖所示.

x

由圖可知，r(x)必有零點(diǎn)，所以導(dǎo)函數(shù)/‘(X)存在唯一零點(diǎn).

(2)由(1)可知/'(x)有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為司，

由圖可知，當(dāng)xw(O,/)時(shí)，/'(x)<0,即/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)X?%,T8)時(shí)，/'(X)＞O,即單調(diào)遞增.

所以/(x)在X=/處取得極小值，即/(x)niin="/)=e2~—aInx0.

又/'(x0)=2e2%-q=0,解得e2%=f.①

為2x0

①兩邊分別取自然對數(shù)，得2%=Ina-In2%,即lnx0=心|一2%.

所以/(%)=9

ciIIn——2xn=——F2aMi-ciIn-...

40l2°2x0°2

2a-a\n-=2a+a\n-(當(dāng)且僅當(dāng)/-=2以0，即與=工時(shí)取等號).

2a2x02

【2023,21】設(shè)函數(shù)/(%)=alnx+^^x2-bx(a1),曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線斜率

為0.

(I)求》；(H)若存在xo21,使得/(%)<與，求a的取值范圍.

a-\

解：(I)f'(x)=-+(l-a)x-b(x>0),依題尸⑴=0,解得6=1,...3分

X

(H)由(I)知f(x)^a\nx+^^-x2-x,八勸=(?*=(匕1)[(?吆旬,

2xx

因?yàn)?1,所以f(x)=0有兩根：x=l或》=旦。...4分

\-a

⑴若agL則上?力,在(1,+8)上，尸區(qū)＞0,f(x)單調(diào)遞增.

2l-a

所以存在XoNl,使得/(x0)＜，一,的充要條件為了⑴4旦，即與一1＜旦

a-\l-a2\-a

解得一—1vav\/2—1o...6分W

(2)若，＜a＜l,則一生＞1,在(1,，一)上，尸(x)＜0J(x)單調(diào)遞減，

2\-al-a

在,+8)時(shí)，尸(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增.

l-a

所以存在Xo21,使得/(x0)＜，，的充要條件為了(，_)＜，_,

a-\1一。1一。

2

而/?(旦)=aln'一+—^+—L＞—L,所以不合題意....9分

\-al-a2(l-a)l-al-a

⑶若a＞l,則/⑴=三―1=士^＜，一。存在xo”，符合條件?！?1分

22a-l

綜上，a的取值范圍為：(-血-1,3-1)51,+8)?！芊?/p>

【2023,20］已知函數(shù)＜x)=e，(ar+b)—/一4x,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,10))處的切線方程為y=4x+4.

(1)求a,匕的值：(2)討論40的單調(diào)性，并求兀0的極大值.

解：(1)f(x)=e\ax+a+b)-2x-4,由已知得10)=4,/(0)=4,故b=4,a+h=S,

從而”=4,b=4.

(2)由(1)知，fix)=4er(x+l)-x2-4x,/(x)=4ev(A：+2)-2x-4=4(x+2)^ev.

令/(x)=。得，x=—也2或元=-2.

從而當(dāng)(—8,-2)U(-ln2,+oo)時(shí)，/(x)>0；當(dāng)］￡(-2,一In2)時(shí)，/(x)<0.

故./U)在(一8,-2),(-In2,+8)上單調(diào)遞增，在(一2,—In2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)工=一2時(shí)，函數(shù)人x)取得極大值，極大值為X—2)=4(l—e—2).

[2023,21]21.設(shè)函數(shù)/(x)="—以一2.

(1)求/(處的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,%為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x—旬1(x)+x+l>0,求人的最大值.

【解析】(1)函數(shù)/*)的定義域?yàn)?一處+8),且,(光)=產(chǎn)一。.

當(dāng)時(shí)，f*(x)>0,/(X)在(-8,+oo)上是增函數(shù)；

當(dāng)。>0時(shí)，令/(x)=ex—a=0,得x=In。.

令/'(x)="-。>。，得x>ln〃，所以/(x)在(Ina,+0。)上是增函數(shù),

令尸(x)=e*-〃<0,得x<lna，所以/(x)在(-oo』na)上是減函數(shù),

⑵若a=l,則/(%)=爐一人一2,f\x)=ex-l.

所以(x—2)/'(])+%+1=(九一?)(一—1)+x+1,

故當(dāng)x>0時(shí)，(x-Z)/'(x)+x+l>0等價(jià)于

x(er-l)+x+lx+1

=x-\——；——

ex—1

x+1

即當(dāng)x>0時(shí)，k<-----+x(x>0).①

ex-l

r4-1—xex—1e'(ex-x-2)

令g(x)=V+x，則g'(x)--------T+1

d)2(e'-l)2

由(1)知，函數(shù)/z(x)=e*-x-2在(0,+oo)單調(diào)遞增,而版l)=e—3<0,h(2)=e2-4>0,

所以〃(x)在(0,+oo)存在唯一的零點(diǎn).

故g'(x)在(0,+8)存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為a