斯托克斯公式環(huán)流量與旋度

Stokes

formulaCirculate

and

Rotation編高等數(shù)學(xué)電子教案二、簡單應(yīng)用三、環(huán)流量與旋度四、小結(jié)思考題一、斯托克斯(stokes)公式高

等數(shù)學(xué)課前練習(xí)一、斯托克斯公式、同格林公式的比較、斯托克斯及公式二、簡單應(yīng)用(Application)三、環(huán)流量與旋度、Stokes公式另外形式、旋度(Rotation)3.3、Stokes公式向量形式

3.4、環(huán)流量(Circulate)四、小結(jié)斯托克斯公式SG=

Pdx

+

Qdy

+

Rdzdydz

dzdx

dxdy

?

?

??x

?y

?zP

Q

R思考S

判斷題G=

rotA ndS

=

A

t

ds

下列結(jié)論是

否正確div(rot(

A))

=

0;div(

grad(

A))

=

0.五、作業(yè)P245

1⑵；2⑵；3⑵；5。設(shè)S是球面x

2

+

y

2

+

z

2

=

R2的外側(cè)，

判斷下面的做法是否正確？

x

3dydz

+

y

3dzdx

+

z

3dxdy3R2dV

=

=

4pR5

.x

2

+

y

2

+

z

2

￡

R2S解=

3(

x

2

+

y

2

+

z

2

)dV

=x

2

+

y

2

+

z

2

￡

R

2不正確原式

=

3(

x

2

+

y2

+

z

2

)dV

(化為球面坐標(biāo))x

2

+

y

2

+z

2

￡R23r

r

2

sinjdrdjdqp2pR0200=sinjdj=

2ppR43r

dr0

1203

r5

R0p05=

2p

(-

cosj

)5=

2p

2

3

R5pR55=1.1、同格林公式的比較?y

?z

?z

?x

?x

?y

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R

)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdySG=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz表示：在曲面∑上的曲面積分可以通過沿曲面∑邊界曲線上的曲線積分來表示。Stokes

公式是Green公式的推廣.

?Q

?P

格林公式：

?x

-

?y

dxdy

=

L

Pdx

+

QdyD

表示：在平面區(qū)域D上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達(dá)。⑴GS⑵斯托克斯公式：=

Pdx

+

Qdy

+

Rdzdydzdzdxdxdy????x?y?zPQR1.2、斯托克斯及斯托克斯公式⑴斯托克斯簡介:(George

Gabriel

Stokes

1819~1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家。1819.8.13生于愛爾蘭斯萊戈郡的斯克雷恩，

1903.2.1卒于英格蘭劍橋。18歲入劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院，1841年畢業(yè)。1849~1903年任劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授；1851年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員；1854~1885年任皇家學(xué)會(huì)秘書達(dá)31年；1885~1890年任皇家學(xué)會(huì)會(huì)長，成為繼牛頓之后第一位同時(shí)獲得盧卡斯教授、皇家學(xué)會(huì)秘書長及會(huì)長這三個(gè)職位的學(xué)者，他后半生還獲得許多其他榮譽(yù)。斯托克斯是19世紀(jì)英國劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一，其主要興趣是在于發(fā)展求解重要物理問題的有效的和一般的數(shù)學(xué)新方法。斯托克斯公式是向量分析的基本定理。其著作有5卷，還有光、自然神學(xué).⑵斯托克斯公式定理

設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線,S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面,G的正向與S的側(cè)符合右手規(guī)則,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R

)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdyS=

Pdx

+

Qdy

+

RdzG斯托克斯公式n?y

?z

?z

?x

?x

?yGG是有向曲面S的正向邊界曲線右手規(guī)則證明如圖xyzoxyDGCn:

z

=

f

(

x,

y)設(shè)

Σ

與平行于z

軸的直線相交不多于一點(diǎn),

并

Σ

取上側(cè),有向曲線C

為Σ

的正向邊界曲線G

在xoy

的投影.且所圍區(qū)域Dxy

.思路曲面積分二重積分曲線積分12?z

?y

?z

?yS

S

?P

dzdx

-

?P

dxdy=

(

?P

cos

b

-

?P

cos

g)dS代入上式得又

cos

b

=

-

f

y

cos

g,?P

dzdx

-

?P

dxdy

=

-?z

?yy?y

?z(

?P

+

?P

f

)

cos

gdSSSy?y

?z(

?P

+

?P

f

)dxdy?P

dzdx

-

?P

dxdy

=

-?z

?ySS即xy?z

?y

?yS

Dy?

P[

x,

y,

f

(

x,

y)]

=

?P

+

?P

f?y

?y

?z

?P

dzdx

-

?P

dxdy

=

-

?

P[

x,

y,

f

(

x,

y)]dxdy

,

1-

P[

x,

y,

f

(

x,

y)]dxdy

=?y?cDP[

x,

y,

f

(

x,

y)]dxxydxdy

=?P?ydzdx

-?P?zcS即根椐格林公式平面有向曲線P[

x,

y,

f

(

x,

y)]dx

2P(

x,

y,

z)dx,dxdy

=?P?ydzdx

-?P?zSG空間有向曲線Q(

x,

y,

z)dy,dydz

=?Q?zdxdy

-?Q?xSG同理可證R(

x,

y,

z)dz,dzdx

=?R?xdydz

-?R?yGS?y

?z

?z

?x

?x

?y

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R

)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdyS=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz

..G故有結(jié)論成立.dydzdzdxdxdy????x?y?zPQRSG=

Pdx

+

Qdy

+

RdzGdS

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdzcosacos

bcos

g

????x?y?zPQRS另一種形式其中

=(cosa

,cos

b

,cos

g)n便于記憶形式Stokes公式的實(shí)質(zhì):表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.(當(dāng)Σ是xoy

面的平面閉區(qū)域時(shí))斯托克斯公式格林公式特殊情形0Dxyxy11解按斯托克斯公式,有GS

zdx+

xdy+

ydz=

dydz

+

dzdx

+

dxdy形例1

計(jì)算曲線積分

zdx

+

xdy

+

ydz,G其中 被三坐標(biāo)面所截成的三角G

是平面x+

y+z

=1

z的整個(gè)邊界,它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.

1

n由于S法向量的三個(gè)方向余弦都正,SDxyxoy11Dxy再由對稱性知上式右端等于，

dydz

+

dzdx

+

dxdy

=

3

ds32Dxy如圖G

zdx+

xdy+

ydz=

dydz+dzdx+dxdy

=S?y

?z

?z

?x

?x

?y

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R

)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdyS=

Pdx

+

Qdy

+

RdzG2的上側(cè)被G所圍成的部分.則1n

=

3

{1,1,1}zxyoSnG例2

利用stokes公式計(jì)算曲線積分(

y

z

)dx

(z

x

)dy22(x

-

y2

)dz+

+2

-

2

-

2G23其中G是平面x+y+z

=截立方體:0

￡

x

￡1,0￡

y

￡1,0

￡

z

￡

1

的表面所得的截痕,若從ox軸的正向看去取逆時(shí)針方向.解取Σ為平面x

+y

+z

=33即

cosa

=

cos

b

=

cosg

=

1

,ds?x

?y

?zy2

-

z2

z2

-

x2

x2

-

y2\

I

=

S3?3?3?1

1

1S3=

-

4

(

x

+

y

+

z)dsSDxy3

Dxy=

-

4 3

ds

=

-23

23dxdy

=

-6dxdy29=

-

.2(在S上x

+y

+z

=3)Dxy2x

+

y

=

32x

+

y

=

1設(shè)斯托克斯

公式中的

有向曲面

∑的單位法向量為?y

?z

?z

?x

?x

?y[(?R

-

?Q

)cosa

+

(?P

-

?R)cos

b

+

(?Q

-

?P

)cosg]dSS=

(

P

cos

l

+

Q

cos

m

+

R

cosn

)dsG則斯托克斯公式可用對面積的曲面積分和對弧長的曲線積分表示為3.1、Stokes公式第一類積分形式n

cosai

+

cos

b

j

+

cosgk

,

=

t

=

cos

l

i

+

cos

m

j

+

cosn

k而∑的正向邊界曲線Г的單位切向量為3.2、旋度(Rotation)

設(shè)向量場A(x,y,z)=P(x,y,z)i

+Q(x,y,z)j

+R(x,y,z)k?R

,?Q

?P?y

?z在坐標(biāo)軸上的投影分別為

?R

-

?Q

,

?P的向量叫做向量場的旋度,記作rotA

,即?z

-

?x

?x-

?y-

)k

.-

)i

+

(?x

?y?R

?Q

?P

-

)

j

+

(?z

?x?P?R

?Q

rotA

=

(?x

?y

?zP

Q

R?y

?z

i

j

k=

?

?

?

SGA

t

dsrotA ndS

=

SGA

dstn(rotA)

dS

=或其中(rot)

=

rot

A

n

A

n?y

?z

?z

?x

?x

?y=(?R

-

?Q)cosa

+(?P

-

?R)cosb

+(?Q

-

?P)cosg3.3、Stokes公式向量形式為rotA在∑的法向量上的投影,而tA

=

A

n

=

P

cos

l

+

Q

cos

m

+

R

cosn為向量A

在Г的切向量上的投影.RdzAdsГГ,