全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)456

WORD格式整理.中，C12..專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..900，2，.AD，PM平CAB,BC63PNcWORD格式整理.中，C12..專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..900，2，.AD，PM平CAB,BC63PNcm,BD4cm,4，那么點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的.求證：34A平分BAC，.PNPQ，PMPQ,PA平分BAC.全等的相關(guān)模型總結(jié)

一、角平分線(xiàn)模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型

輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)G作GE射線(xiàn)AC

（1）.例題應(yīng)用：

①如圖1，在ABC距離cm.

②如圖2，已知，1

圖1圖2

①2（提示：作DEAB交AB于點(diǎn)E）

②

(2).模型鞏固：

練習(xí)一：如圖3，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC

.

WORD格式整理.C0ABC'BEA90，.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..180CD.求證：中，ACBDE'的位置，使點(diǎn)E'AD∥.AC900，'WORD格式整理.C0ABC'BEA90，.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..180CD.求證：中，ACBDE'的位置，使點(diǎn)E'AD∥.AC900，''BC，P是AB的中點(diǎn)，PD平分∠ADC．平分BAD.CD落在BC邊上，其他條件不變，如圖6AB,垂足為D，AF平分CAB,交CD于點(diǎn)E，

.求證：A

圖3

練習(xí)二：已知如圖4，四邊形ABCD中，BD180,BC

圖4

練習(xí)三：如圖5，Rt交CB于點(diǎn)F.(1)求證：CE=CF.

(2)將圖5中的△ADE沿AB向右平移到A

所示，是猜想：于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

圖5圖6

練習(xí)四：如圖7，∠

.

WORD格式整理.2

3CACED.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..D14CWORD格式整理.2

3CACED.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..D14C.E

求證：CP平分∠DCB．A

P

B

圖7練習(xí)五：如圖8，AB＞AC，∠A的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF．

圖8練習(xí)六：如圖9所示，在△ABC中，BC邊的垂直平分線(xiàn)DF交△BAC的外角平分線(xiàn)AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求證：BE－AC=AE。

D

E

B圖F9

練習(xí)七：如圖10，D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等，求證：AD平分∠BAC。

A

F

B

2.角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)，等腰三角形比呈現(xiàn)

.

WORD格式整理.BE中，AD交AD.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..12(ACBAC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M.求證：.的角平分線(xiàn)WORD格式整理.BE中，AD交AD.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..12(ACBAC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M.求證：.的角平分線(xiàn)ADAMAB)交BC(于D,且12ABABAC)AD,

輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)ED交射線(xiàn)OB于F輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)E作EF∥射線(xiàn)OB（1）.例題應(yīng)用：①．如圖1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，BE⊥AD于F。

求證：

證明：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。

②．已知：如圖2，在ABC

作CM

.

WORD格式整理.2EF如圖3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交ACWORD格式整理.2EF如圖3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..的中點(diǎn)，CM2.FBBM;于M,ANFB②FB12(FM于N.FN).

分析：此題很多同學(xué)可能想到延長(zhǎng)線(xiàn)段CM，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無(wú)關(guān)系。而此題突破口就在于AB=AD，由此我們可以猜想過(guò)C點(diǎn)作平行線(xiàn)來(lái)構(gòu)造等腰三角形.證明：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

例題變形:如圖，1，B為AC

求證：①

(3).模型鞏固：

練習(xí)一、CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。

.

WORD格式整理.900，EC是EEBACBD、.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DCOEFCDCE.的角平分線(xiàn)，且OEOC交分別是ABCCEOC于點(diǎn)F.猜想：線(xiàn)段的外角平分線(xiàn)，過(guò)WORD格式整理.900，EC是EEBACBD、.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DCOEFCDCE.的角平分線(xiàn)，且OEOC交分別是ABCCEOC于點(diǎn)F.猜想：線(xiàn)段的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AD，E與OD之間的關(guān)系，并證明.BD、

圖3

練習(xí)一變形：如圖4，在△ODC中，D

過(guò)點(diǎn)作

圖4練習(xí)二、如圖5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求證：DE∥BC

A

D

圖5練習(xí)三、如圖6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一點(diǎn)，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求證：點(diǎn)E是DC中點(diǎn)。

E

B圖6

練習(xí)四、①、如圖7（a），

.

WORD格式整理.CEBD為AB交AD.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..，垂足分別是D、E，連接DE.、ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，.求證:DEWORD格式整理.CEBD為AB交AD.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..，垂足分別是D、E，連接DE.、ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，.求證:DECE分別是CEABC的外角平分線(xiàn)，其他條件不變.則在圖∥BCABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，其他條件不變；，DE12(.ABBCAC)

AE

圖7（a）圖7（b）圖7（c）

②、如圖7（b），

③、如圖7（c），BD

7（b）、圖6（c）兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你

的猜測(cè)，并證明你的結(jié)論.(提示：利用三角形中位線(xiàn)的知識(shí)證明線(xiàn)平行)

練習(xí)五、如圖8，在直角三角形ABC中，C90，A的平分線(xiàn)交BC于D．自C作CG于E，交AB于G．自D作DFAB于F，求證：CFDE．

.

WORD格式整理.D2GBAC的平分線(xiàn)，若CF12DFAD于D，E是BC的中12BWORD格式整理.D2GBAC的平分線(xiàn)，若CF12DFAD于D，E是BC的中12BEAB，CMDM.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..FADMCAD于M，求證C.B

C

E1A圖8

練習(xí)六、如圖9所示，在ABC中，ACAB，M為BC的中點(diǎn)，AD是且交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求證MFACAB．

A

BC圖9

練習(xí)六變形一：如圖10所示，AD是ABC中BAC的外角平分線(xiàn)，CD點(diǎn)，求證DE∥AB且DE(ABAC)．

AD

圖10

練習(xí)六變形二：如圖11所示，在ABC中，AD平分BAC，ADABAC2AM．A

B

圖11

練習(xí)七、如圖12，在ABC中，B2C，BAC的平分線(xiàn)AD交BC與D．則有ABBDAC．那么如圖13，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求證：ACAB2BE．

.

WORD格式整理.A2BDCAD，E為垂足，求證：EAC交WORD格式整理.A2BDCAD，E為垂足，求證：EAC交AB于F．CBOA上取點(diǎn)B，使OB=OA，從而使.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..BCEOAC.

A

1

E

圖12圖13練習(xí)八、在△ABC中，AB3AC，BAC的平分線(xiàn)交BC于D，過(guò)B作BEADDE．

A

C

D

B練習(xí)九、AD是ABC的角平分線(xiàn)，BEAD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，EF∥求證：AFFB．

A

FD

3.角分線(xiàn)，分兩邊，對(duì)稱(chēng)全等要記全

兩個(gè)圖形的輔助線(xiàn)都是在射線(xiàn)≌△OBC.

（1）.例題應(yīng)用：①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

.

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思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線(xiàn)段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線(xiàn)。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過(guò)程：

證明：如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

.

WORD格式整理.中，AD是BAC的外角平分線(xiàn)，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較AWORD格式整理.中，AD是BAC的外角平分線(xiàn)，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較APCPC.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DBAB.AC，理由如下．CD

④如圖（5），過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線(xiàn)添加方法，體會(huì)添加輔助線(xiàn)的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線(xiàn)段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線(xiàn)還是倍長(zhǎng)中線(xiàn)，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

②、如圖所示，在ABCPBPC與ABAC的大小，并說(shuō)明理由．E

A

P

B【解析】PB

.

WORD格式整理.AC，連接PE．CAPAC，AD是BAC的平分線(xiàn)．P是AD上任意一點(diǎn)．APCAWORD格式整理.AC，連接PE．CAPAC，AD是BAC的平分線(xiàn)．P是AD上任意一點(diǎn)．APCAC，連結(jié)EP，根據(jù)SAS證得AEP≌ACP，∴PEPBDACCB.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..EAP，AP公用，PC，AEPE，BEC.BACABDAC，∴ABCACPBPC

如圖所示，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE因?yàn)锳D是BAC的外角平分線(xiàn)，故CAPEAP．在ACP和AEP中，ACAE，因此ACP≌AEP，從而PCPE．在BPE中，PBPEBE，而B(niǎo)EBAAEABAC，故PBPCABAC．變形：在ABC中，AB求證：ABACPBPC．A

PE

BD【解析】在AB上截取AE又BEP中，BE（2）、模型鞏固：練習(xí)一、.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線(xiàn)上。

A

E

B

練習(xí)二、如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線(xiàn)交AC于D，求證：AD＋BD＝BC

D

B

練習(xí)三、如圖，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線(xiàn)交BC于D，求證：AC＋CD＝AB

D

A

.

WORD格式整理.BC,交AC于AB2DC.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..于F,求證：EF2BQ1WORD格式整理.BC,交AC于AB2DC.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..于F,求證：EF2BQ12.AC,AD平分BAC，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)CE，求證：BD于D,ACBFCE2CE

練習(xí)四、已知：在△ABC中，B的平分線(xiàn)和外角ACM的平分線(xiàn)相交于,DF

E,交

練習(xí)五、在△ABC中，AB

變式：已知：在△ABC中，BC,BD平分ABC，AD

求證：BD

練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交DC于點(diǎn)E.求證：（1）BF=D；(2)AD=DE.

A

E

F

B

練習(xí)七、已知如圖，在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分線(xiàn)與∠CDA的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P.求證：∠APB=∠CPD

.

WORD格式整理.EGCTCD，EFE.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DEAWORD格式整理.EGCTCD，EFE.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DEAC．求D.BC

練習(xí)八、如圖，在平行四邊形ABCD（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形）中，E，F(xiàn)分別是AD，AB邊上的點(diǎn)，

且BE、DF交于G點(diǎn)，BE=DF，求證：GC是∠BGD的平分線(xiàn)。

AF

B

練習(xí)九、如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D

作DE∥AB交BC于E，求證：CT=BE.

AM

D

C

練習(xí)十、如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分別在BD、AD上．DE證：EF∥AB

A

F

B

.

WORD格式整理.AD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，CF，求證：AD為BAC的角平分線(xiàn)．AEMEAAWORD格式整理.AD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，CF，求證：AD為BAC的角平分線(xiàn)．AEMEAAN.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..DBFC圖2.CCDA圖3EFBD

【補(bǔ)充】如圖，在ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF∥交AB于點(diǎn)G，若BG

F

G

B

4.中考巡禮：（1）.如圖1，OP是∠AOB的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P為所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形，請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。①、如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出EF與DF之間的數(shù)量的關(guān)系。②、如圖3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)，（1）中的結(jié)論是否任然成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

EO

F圖1

（2）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B（-1，0），C（1，0）D為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)A為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=2∠BDO，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于M，①、求證：∠ABD=∠ACD；②、若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：AD平分∠CAE；

.

DO操作過(guò)程：0C作MC0.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享.C，使△ACM≌△ABD，從而推出△ADM，導(dǎo)出△BDF≌△ADE..BC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.

.WORDO操作過(guò)程：0C作MC0.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享.C，使△ACM≌△ABD，從而推出△ADM，導(dǎo)出△BDF≌△ADE..BC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.y③、當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，（AC-AB）/AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明E理由。

AM

xB

二、等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：

（1）.將△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90為等腰直角三角形.（但是寫(xiě)輔助線(xiàn)時(shí)不能這樣寫(xiě)）

（2）.過(guò)點(diǎn)2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：

操作過(guò)程：連AD.（1）.使BF=AE（AF=CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=180

.

WORD格式整理.方法二：AM，證明△MDE≌△MAC.特別注意證明∠MDE=∠MAC.WORD格式整理.方法二：AM，證明△MDE≌△MAC.特別注意證明∠MDE=∠MAC..專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享...

（1）、例題應(yīng)用：

①.

解析：方法一：過(guò)點(diǎn)C作

②.

證明：方法一：連接

.

WORD格式整理.MMN⊥EC交EC于點(diǎn)N，得出WORD格式整理.MMN⊥EC交EC于點(diǎn)N，得出MN為直角梯形的中位線(xiàn)，從而導(dǎo)90，O為AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM.

M、NAC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..BC中點(diǎn)，若M、N分別.

方法二：過(guò)點(diǎn)作出△MEC為等腰直角三角形.

（2）、練習(xí)鞏固：

①已知：如圖所示，Rt△ABC中，AB=AC，BAC

在線(xiàn)段①、是判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.②、當(dāng)分別在線(xiàn)段

思路：兩種方法：

.

WORD格式整理.在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF為多少度.3-WORD格式整理.在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF為多少度.3-2中，先將△ABD以AM，DE20,3，求∠OCA+∠OCB的.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..BD所在的直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)三角形，再將此三角形沿.

②

提示如右圖：3.構(gòu)造等腰直角三角形（1）、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角（略）；（2）、利用平移、對(duì)稱(chēng)和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角.如下圖：

圖3-1圖3-2操作過(guò)程：在圖水平方向向右平移一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度單位，使與與重合.A1，0，B，1，C

.

WORD格式整理.ACBM，可以構(gòu)造出等邊△APM，從而造出.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..，又根據(jù).，

WORD格式整理.ACBM，可以構(gòu)造出等邊△APM，從而造出.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..，又根據(jù).，

度數(shù).

4.將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：

圖4-1圖4-2

例題應(yīng)用：

思路：構(gòu)造正方形

.

WORD格式整理.，再由于，而是B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，當(dāng)WORD格式整理.，再由于，而是B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，當(dāng)A、B、CB、CBA.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..，故而得到，.從而得證.例題拓展：若

可得

△ABC不是等腰直角三角形，即其他條件不變，求證：∠2=2∠1.

練習(xí)鞏固：在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,3），點(diǎn)三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).（1）、當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：

圖1圖2

（2）、當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：

圖3圖4

.

WORD格式整理.C90，D為.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..AC中點(diǎn)，AF⊥BD于E，交WORD格式整理.C90，D為.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..AC中點(diǎn)，AF⊥BD于E，交.

（3）、當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)：

圖5圖6

三、三垂直模型（弦圖模型）①.②.③.

由△ABE≌△BCD導(dǎo)出由△ABE≌△BCD導(dǎo)由△ABE≌△BCD導(dǎo)出ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例題應(yīng)用：

例1.已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，BACBC于F，連接DF.求證：∠ADB=∠CDF.

.

WORD格式整理.CMC⊥AC交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.先證△ABD≌△CAM，AAM⊥BC分別交WORD格式整理.CMC⊥AC交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.先證△ABD≌△CAM，AAM⊥BC分別交BD、BC于H、M.先證△ABH≌△CAF，AM⊥BC分別交BD、BC于H、M.先證HF∥AC.由M、DAC、BC的中點(diǎn)，可得MD為△ABC的中位線(xiàn)MD∥AB，又由于BACMD⊥AC，MD⊥HF，所以MD為HF的中垂線(xiàn).所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，則E，交.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..再證90，故而.

思路：方法一:過(guò)點(diǎn)作再證△CDF≌△CMF即可.

方法二：過(guò)點(diǎn)作△CDF≌△ADH即可.

方法三：過(guò)點(diǎn)A作Rt△AMF≌Rt△BMH，得出分別為線(xiàn)段

從而推出線(xiàn)段∠ADB=∠CD.

例1拓展（1）：已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于

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WORD格式整理.BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，求證：①PM=PN,PB＝PF+AF.AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF=90E、BEN⊥DA，BM⊥DA交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于WORD格式整理.BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，求證：①PM=PN,PB＝PF+AF.AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF=90E、BEN⊥DA，BM⊥DA交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N、M.F、CFP⊥AD，CQ⊥AD交AD及AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q.

SSS?AD?EN?AD?FP?AD?ENFP四邊形EAFDAEDADF.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..BM=AF+FN111222，AE=AB，.DF=CD.

BC于F，連接NF.求證：①∠ADB=∠CDF.②

思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2）：其他條件不變，只是將②

思路：同上題的方法一和方法二一樣.

例2.如圖2-1，已知，AD=2，BC=5，求四邊形AEDF的面積.

圖2-1解析：如圖2-2，過(guò)點(diǎn)分別作過(guò)點(diǎn)分別作

∵△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF=90

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PF=DQ.S四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90AD于點(diǎn)M，以腰AB為邊做正方形ABFE，EP⊥l于點(diǎn)P.（1）-1（1）-2.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享...WORD格式整理.

PF=DQ.S四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90AD于點(diǎn)M，以腰AB為邊做正方形ABFE，EP⊥l于點(diǎn)P.（1）-1（1）-2.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享...，.BMQC是矩形.1，l是AD的垂直平分線(xiàn)，

∵EN⊥DA，BM⊥DA，F(xiàn)P⊥AD，CQ⊥AD，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=90∴∠ENA=∠MBA，∠FDP=∠QCD.∴△ENA≌△ABM，△FPD≌△DQC.∴NE=AM，∴NE+PF=DQ+AM=MQ-A.

∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN=90∴四邊形∴BC=MQ

∵AD=2，BC=5∴NE+PF=5-2=3∴

圖2-22.練習(xí)鞏固：

（1）、如圖（1）-1，直角梯形

交

求證：2EP+AD=2CD.

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WORD格式整理.ABCD中，∠ABC=90是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD.0WORD格式整理.ABCD中，∠ABC=90是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD.0.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..（“八字模型證明”）.

（2）、如圖，在直角梯形，AD∥BC，AB=AC，E①求證：BE=AD；②求證：AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)；③△BCD是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

四、手拉手模型1.△ABE和△ACF均為等邊三角形

結(jié)論：（1）.△ABF≌△AEC（2）.∠BOE=BAE=60（3）.OA平分∠EOF

拓展：條件：△ABC和△CDE均為等邊三角形結(jié)論：（1）、AD=B（2）、∠ACB=∠AO（3）、△PCQ為等邊三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=B（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+O（（7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）

2.△ABD和△ACE均為等腰直角三角形

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WORD格式整理.ACHD均為正方形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD于T，

FD的中點(diǎn).②S方法三：WORD格式整理.ACHD均為正方形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD于T，

FD的中點(diǎn).②S方法三：ACHD均為正方形，T為FD的中點(diǎn)，.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..S.ABCADF.

結(jié)論：（1）、BE=CD（2）BE⊥CD3.ABEF和

結(jié)論：（1）、BD⊥C（2）、BD=CF變形一：ABEF和

求證：①M(fèi)為

方法一：方法二：

變形二：ABEF和求證：AS⊥BC

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WORD格式整理.180EGPACAP平分∠BAD，其他條件不變，求證：AP⊥CF.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..IJDB.360nHGKC.F2WORD格式整理.180EGPACAP平分∠BAD，其他條件不變，求證：AP⊥CF.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..IJDB.360nHGKC.F2DAE

4．當(dāng)以AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有：∠1=∠2=

F

HP1

I

B

五、雙垂直+角平分線(xiàn)模型

結(jié)論：AE=AF

拓展：若

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WORD格式整理.1800.（延長(zhǎng)2AB.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..WORD格式整理.1800.（延長(zhǎng)2AB.專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享..12CD到E，使ED=BM，連AE或延長(zhǎng)CB到F，使FB=DN，連AF）③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.

六、半角模型

且條件：

思路：（1）、延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的