2022年新高考三輪沖刺數(shù)學(xué)滿分模擬試卷二（解析版）

2022年新高考三輪沖刺模擬試卷02

教學(xué)試題

滿分：150分時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合A={x|-2<x<l},B={x|0<x<3},則()

A.{x|0<x<l}B.{x|-2<x43}C.{x|l<x<31D.1x|0<x<lJ

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的并集計(jì)算即可.

【解析】；A={x|-2<x<l},8={x|0Mx43}

.-.A|JB={A-|-2<X<3},

故選：B

2.已知(l+3i)z=5i,則z的虛部是()

A.-B.；C.--D.--

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可判斷；

5

【解析】解：因?yàn)?l+3i)z=5i,所以z=三：=不5先3"右=c0=[+J，所以z的虛部是:，

l+3i(1+31)(1-31)10222

故選：B.

3.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為16/的正方形，則這個(gè)圓柱的體積為()

A.16乃B.4萬(wàn)C.16乃2D.8/

【答案】C

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為匕高為隊(duì)因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開(kāi)圖是正方形，所以h=2仃,由面積公式求

出高人再求出心由體積公式可求出體積.

【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為兒因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為16%2的正方形，所以

"=2",*=16%2,所以)=4萬(wàn),r=2,所以圓柱的體積為乃r2./i=16/.

故選C.

4.下列四個(gè)函數(shù)中，以左為最小正周期，其在(不兀)上單調(diào)遞減的是()

A.y=|sin.r|B.y=sin|HC.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】A

【分析】對(duì)于A,尸曲目符合題中要求，對(duì)于B,y=sin|H不是周期函數(shù)，對(duì)于C,D,y=sin2x,y=cos2x

在償勺上都不是單調(diào)函數(shù)，由此可判斷正確答案.

【解析】y=而乂的最小正周期為%在（全亍上單調(diào)遞減，符合題意，故A正確；

y=sin|M不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤：

y=cos2x中，工€仁,萬(wàn)），則2xi（兀,2兀），故y=cos2x中在x時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

y=sin2x/€停乃），則2萬(wàn)（兀,2兀），故y=sin2x中在xw（1,乃）時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

5.已知正數(shù)X,y滿足x+'+y+,=5,則x+y的最小值與最大值的和為（）

xy

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

x+v4Ii

【分析】利用基本不等式進(jìn)行變形得一——，然后將x+—+V+—=5進(jìn)行代換得

xyx+yxy

4

x+V+——45,繼而解不等式可得答案.

x+y

【解析】因?yàn)閤>o,y>o,

所以,即孫、,

14x+y4

所以一即一丁，

孫Q+y)孫x+y

11x+y廣

又因?yàn)閤+—+y+—=x+y+——^=5,

xyxy

4

所以x+y+——<5,gp(x+y)2-5(x+y)+4<0,

x+y

解得1J+”4,

故x+y的最小值與最大值的和為5,

故選：B

6.已知等差數(shù)列｛4｝中，。5=^，設(shè)函數(shù)/（x）=（4cos￡-24inx+cos2x+2,記%=〃《,），則數(shù)列｛”｝

的前9項(xiàng)和為（）

A.0B.10C.16D.18

【答案】D

【分析】分析可知函數(shù)F（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（?，2）對(duì)稱(chēng)，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)

可求得結(jié)果.

[解析],??/(%)=^4cos22>inx+cos2x+2=2cosxsinx+cos21+2=sin2x+cos2x+2

=V^sin(2x+?)+2,

由2x+]=ATT(Z￡Z),可得x=——eZ),當(dāng)2=1時(shí)，x-,

故函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)H，2卜j稱(chēng)，

由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得4+的=生+a3=a｝+a7=a4+a6=2a5,

所以，數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為〃/(生)+…+)(%)=

94)+4x4+f(o5)=18.

故選：D.

7.已知函數(shù)"x)=lnx-g,直線y=，nr+〃是曲線y=/(x)的一條切線，則，"+2〃的取值范圍是()

A.[-3,+8)B.[—2In2—4,+co)

D.In2—,+coI

L4J

【答案】B

【分析】先求得帆+2〃表達(dá)式，再求其取值范圍即可解決.

【解析】設(shè)切點(diǎn)為尸(rj(r)),r(x)\+J,k=r(f)=；+3

曲線y=/(x)在切點(diǎn)尸(?J。))處的切線方程為y-/(r)=rS(xT),

整理得y=(：+提卜+,

所以，〃+2〃=l+21nr-3-2.

rt

令g(x)=±+21nx_q_2(x>0),則g，(x)=2.；；?匚？

當(dāng)0<x<；時(shí)，/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>(時(shí)，g'(x)>。，g(x)單調(diào)遞增.故g(xL=g]￡|=-21n2-4,

則機(jī)+2〃的取值范圍是[-21n2-4,+8).

故選：B

8.已知二項(xiàng)式(以+〉)5(。€即的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32,貝1」(父-亡尸的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.45B.-45C.1D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)賦值法以及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出.

【解析】令x=l，y=i,可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和(a+1)'=32,得。=1,

其通項(xiàng)G=G*x2嚴(yán)d)=(_1)*3］吟，令20卷=0,得％=8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

(-l)y=45.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某市為了研究該市空氣中的產(chǎn)田2.5濃度和SO?濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)

研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度(單位：〃g/m')，得到如下所示的2x2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

Wk=1()OX(64X1°-|6X1O)2?7.4844,則可以推斷出()

80x20x74x26

附：心——幽血——

(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k?)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75ng/m)且SO?濃度不超過(guò)150陷/0f的概率估計(jì)值是0.64

B.若2x2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，正的觀測(cè)值不會(huì)發(fā)生變化

C.有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)

D.在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)表格，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，直接求概率；

對(duì)于B,C,D選項(xiàng)，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算后對(duì)照參數(shù)下結(jié)論.

【解析】補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下：

so2

[0,150](150,4751合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

對(duì)于A選項(xiàng)，該市一天中，空氣中尸”2.5濃度不超過(guò)75〃g/n?,且SO?濃度不超過(guò)ISO/zg/n?的概率估計(jì)

值為二^二。64，故A正確;

n(ad-he)21000x(640xl00-160xl00)2

對(duì)于B選項(xiàng)，K2=合74.844*7.4844,故B不正確;

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)800x200x740x260

因?yàn)?.4844>6.635,根據(jù)臨界值表可知，在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，即有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該

市一天空氣中PM2.5濃度與SC)2濃度有關(guān)，故C,D均正確.

故選：ACD.

10.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(-l,0),3(1,0),C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列條件中使得點(diǎn)C的軌跡為

圓的有()

A.國(guó)=|罔B.|AC|=2|BC|

c.AC-BC^OD.ACBC=2

【答案】BCD

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)題設(shè)條件，求出滿足條件的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程，再根據(jù)軌跡方程判斷

即可.

【解析】解：設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x,y)則而=(x+l,y),配=(x_l,y)

對(duì)于A:由“卜國(guó)得(x+l)2+y2=(x-l)2+y2,即彳=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由|園=2園得(x+l>+y2=4((x-l『+y2),整理得獷+3/—10x+3=0,即+/=￡,

故B正確；對(duì)于C：由衣.前=0得(x+l)(x—l)+y2=0,即V+y2=i,故c正確；對(duì)于D：由恁.就=2

得(x+l)(x—l)+y2=2,即/+》2=3,故D正確；故選：BCD

11.過(guò)點(diǎn)A(-6,l)作圓G：Y+y2=4的切線/,尸是圓C2：/+y2-4x=0上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的

是()

A.切線/的方程為6x-y+4=()

B.圓G與圓C2的公共弦所在直線方程為x=l

C.點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為1

D.點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則而?麗的最大值為26+4

【答案】ABD

【分析】A.由^^:-乎，得到年=百，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；B.由V+y2=4和/+丫2一以=0

兩式相減求解判斷；C.先求得點(diǎn)G（2,0）到直線/的距離，再減去半徑即可；D.設(shè)P（x,y）,得到

t=AOOP=^x-y,然后利用直線6T-），T=0與圓相切求解判斷.

【解析】A.因?yàn)?=-無(wú)，所以匕=6,則過(guò)點(diǎn)4-百,1）的切線為丫-1=石1+百），即后-y+4=0,

故正確；B.由/+/=4和/+丫2-4*=0兩式相減得x=l,故正確；C.點(diǎn)G（2,0）到直線/的距離

|2石+4|r

d=1廠I=4+2,所以點(diǎn)尸到直線/的距離的最小值為4-2=6,故錯(cuò)誤；D.設(shè)P（x,y）,則

，（⑹+1

標(biāo)=（6,-1）,麗=（x,y）,所以,=荷.而=Gx-y,即后-y-f=0,點(diǎn)。2（2,。）到直線/的距離等于半徑得：

d=M-|=2,解得f=2宕+4或1=2石-4,則荷?麗的最大值為2百+4,故正確；故選：ABD

2

12.在三棱柱/8CT山心中，平面ZCC/4□平面Z8C,AtA=AtC.E,尸分別是線段/C,48/上的點(diǎn).下

列結(jié)論成立的是（）

A.^AAt=AC,則存在唯一直線E尸，使得跖口4C

B.若N4=ZC,則存在唯一線段ER使得四邊形4CG4的面積為迫E尸

3

C.若/8Z1BC,則存在無(wú)數(shù)條直線EF,使得EFE18C

D.若ABBC,則存在線段即，使得四邊形88/GC的面積為BCE產(chǎn)

【答案】BCD

【分析】A.易知AC,±AC,作B。，AG,過(guò)G作BQ的平行線，與4國(guó)交于點(diǎn)尸，證得AC±平面AGF,

在43上取一點(diǎn)〃，作液_LAC,HF//AG,得到平面HEF〃平面ARG,再根據(jù)點(diǎn)H有無(wú)數(shù)個(gè)判斷；B.

根據(jù)△ACA是正三角形，設(shè)E是AC中點(diǎn)，尸與A重合,則防，AC,求得四邊形ACCW的面積為空EF2,

3

再分析￡不是AC中點(diǎn)，或產(chǎn)不與A重合時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度變化判斷；C.根據(jù)，3C,設(shè)E是AC中點(diǎn)，

記5c中點(diǎn)為G,則BCLEG,再結(jié)合B的結(jié)論判斷；D.設(shè)E是AC中點(diǎn)，尸是A4中點(diǎn)，記4G中點(diǎn)

為H,得到四邊形EH/C是平行四邊形，再結(jié)合C的結(jié)論判斷.

【解析】如圖所示：

因?yàn)?4/=4C,則平行四邊形ACC,A,是菱形，則AC,，AC,作8,01A,C,,因?yàn)槠矫鍭CC.A,，平面ABC,

所以用。，平面4?！?，則4。，4<^,過(guò)G作用。的平行線，與Ag交于點(diǎn)G,則GG^AC，又

GGcAG=G，則ACL平面4&G,在上取一點(diǎn)H,作彼_LAC,5//AG,分別交線段NC,AIBI

上于點(diǎn)E,F,易得HE〃平面AC。，"F〃平面ACQ,又跳0//尸=",所以平面HE產(chǎn)〃平面AQG,

則AC，平面HEF,所以ACLEF,因?yàn)辄c(diǎn)〃有無(wú)數(shù)個(gè)，所以有無(wú)數(shù)條直線￡尸，使得痔A,C,故A錯(cuò)

誤.

如圖所示：

若44,=AC,則△AC4,是正三角形，設(shè)E是AC中點(diǎn)，尸與A重合，則即，AC,且四邊形ACQA的面

積為氈E產(chǎn).「平面ACGA，平面ABC,防_L平面A8C,防_L平面AgC1.Agu平面A/G，

3

二當(dāng)E不是AC中點(diǎn)，或F不與A重合時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度將增加，四邊形ACGA的面積不再等于

走EFZ.故B正確.

3

如圖所示：

若AB_L8C,設(shè)E是AC中點(diǎn)，記3c中點(diǎn)為G,則8c_LEG.由結(jié)論B知AE^BC,8cl.平面EGA-由

于EG//AB,AB//A,Blt即EG〃Ag,直線EG與4片確定的平面就是平面EG/l,./為線段A4上

任意一點(diǎn)，都有EF_L8C,故C正確.

如圖所示：

設(shè)E是Ac中點(diǎn)，尸是A內(nèi)中點(diǎn)，記用G中點(diǎn)為//,則F”//AG，切=gAG.又EC//AG，EC=gAG，

FH//EC,FH=EC,四邊形是平行四邊形，CH/iEF,=.根據(jù)結(jié)論C,BCLEF,

BC±CH,平行四邊形B8CC的面積為BCC”，即四邊形8BCC的面積為BCEF.所以D正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分。

If(x}?

13.已知函數(shù)/(x)=x+—(x>0),若「的最大值為工,則正實(shí)數(shù)。=

【答案】1

【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于a的方程即可求得正實(shí)數(shù)。的值.

1〃幻，二1

【解析】令，=工+—。>0),則ZN2,則(/(x))2+at2+a

t

令y=1+@(a>0,，N2)

t

當(dāng)0<aW4時(shí)，丁=/+/在［2,+00)上單調(diào)遞增，y=r+y>2+^6/

12

則°<二？'了)，即77黑一的最大值為工

t+~(/(x))'+aa+4

當(dāng)。>4時(shí)，f+戶2G(當(dāng)且僅當(dāng)片石時(shí)等號(hào)成立)

則°(一魯，即7?筆一的最大值為逅

t+-(/U))z+a2a

t

則四=2,解之得”=(舍)

2a516

綜上，所求正實(shí)數(shù)a=l；故答案為：1

14.拋物線。：丁=22X6>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線是/,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸在拋物線上滿足|OH=|P/|,連接

“并延長(zhǎng)交準(zhǔn)線/與。點(diǎn)，若氯邛。的面積為8式，則拋物線C的方程是.

【答案】/=8x

/r?CD_???_??

【分析】先根據(jù)|OR=|PF|確定出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)tan/。”一1—一「求出。點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求解.

4/7

【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線/的方程為x=-5,則焦點(diǎn)尸(當(dāng),0)到準(zhǔn)線的距離為P,

已知|OH=|PF|,所以尸在線段O尸的中垂線上，如圖，

設(shè)尸(*/,,井),。(一^,“),則%,=；0,|ypI=￡P(guān)，

tan/。叱二墳上⑷

可知1?P

灰

即十^=國(guó),,|%|=2②,

—nP

??§的=；?|叫昆昌￡-2何=8區(qū)

解得P=4,所有拋物線C的方程是V=8x.故答案為：/=8x

15.函數(shù)/(x)=|2e、-l|-2x的最小值為.

【答案】1

【分析】分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，進(jìn)而求出最小值.

【解析】當(dāng)xN—ln2時(shí)，2e'-120,此時(shí)/(x)=2e-l—2x,/'(x)=2e-2,令/'(x)>0得：x>0,令

f'(x)<0得：-ln24x<0,故此時(shí)/(x)=2e“-1-2x在x=0處取得最小值，/(0)=1；

當(dāng)x<—ln2時(shí)，2er-l<0,此時(shí)/(x)=l-2e"-2x,此時(shí)/(x)=l-2e*—2x在(Yo,—ln2)單調(diào)遞減，旦

/(-In2)-21n2>l；綜上：函數(shù)〃x)=|2e*—的最小值為1.故答案為：1

16.定義在(0,—)上的函數(shù)f(x)滿足：□當(dāng)xe[l,3)時(shí)，/(x)=l-|x-2|；O/(3x)=3/(x).設(shè)關(guān)于x的函

數(shù)廣(x)=f(x)-a的零點(diǎn)從小到大依次為內(nèi),々,與/….若。=1，則方+&+毛=;若"(1,3),

則耳+電+…x2n=.

【答案】146x(3"-1)

【解析】

?.?當(dāng)3)時(shí)，/(X)=1-|X-2|G[0,1]；〃3x)=3/(x).

當(dāng);”x<l時(shí)，則l,,3x<3,由/(x)=；f(3x)可知：/(x)el0,

JJD

同理，當(dāng)X€(0,g)時(shí)，o?/(x)<l,

當(dāng)xw[3,6]時(shí),由牙1，2],可得〃幻=3嗎)，/(x)e[0,3]；

同理，當(dāng)xe(69)時(shí),由梟(2,3),可得〃*)=3/令/(x)e[O,3]:

此時(shí)f(x)e[O,3].

當(dāng)a=l時(shí)，x,=2,A,+x,=12,

X｝+X-,+X3=\4

當(dāng)ae(l,3)時(shí).

則尸⑺=/*)-0在區(qū)間(3,6)和(6,9)上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為演，々，且滿足為+々=2'6,

依此類(lèi)推：/+七=2x18,…,電11T+%=2x2x3”.

2,,,1

...當(dāng)aw(l,3)時(shí)，x|+x2+...+x2n_I+x2n=4x(3+3+...+3)=4x^-^=6x(3-l).

3—1

故答案為：14,6x(3"-1)

四、解答題：本題共6小題，共70分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，3%=2S.+2〃(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列｛。,,+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.；

(2)設(shè)〃=log3(a,用+1),證明：3+乒+…+屏＜1.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；S,=Hq-〃；(2)證明見(jiàn)解析.

2

【分析】(D先求出外,然后將3a“=2S,+2〃的”換成w-1,與原式相減可得4=3aM+2,從而可得

a“+l=3(a,i+l)即可證明，求出｛q｝通項(xiàng)公式，再分組可求和.

(2)先求出么=〃+1,可得出一-二，裂項(xiàng)相消法求和，可證明.

bnnn4-1

[解析]⑴當(dāng)九=]時(shí),3q=2S]+2,即4=2

由3a〃=2S“+2〃，貝!]34T=2S「i+2(九一1)心2

兩式相減可得-3a._]=2an+2,即an=3an_]+2

所以a,,+l=3(*+l),即產(chǎn)[=3

十1

數(shù)列幾+1｝為等比數(shù)列

則為+1=(2+1)x3"T=3",所以a“=3”-1

則S“=(3+32+L+3")_“=3(：-；)=3；3_“

(2)2=log.,(??+(+1)=logs3"*'=〃+1

--1--------1---------1-------1-------1--

比(〃+1)2〃(〃+1)nn+\

1

所以1+看+…+看<

18.(12分)為了解某車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢員從該車(chē)間一天生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，隨機(jī)不放回地抽

取了20件產(chǎn)品作為樣本，并一一進(jìn)行檢測(cè).假設(shè)這100件產(chǎn)品中有40件次品，60件正品，用X表示樣本

中次品的件數(shù).

(1)求X的分布列(用式子表示)和均值；

(2)用樣本的次品率估計(jì)總體的次品率，求誤差不超過(guò)0.1的概率.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)P(X=%)=外/=0,1,2,…,20,則科=0.06530,p6=0.12422,p7=0.17972,p8=0.20078,

〃9=0.17483,Pi。=0.11924,p”=0.06376,p[2=0.02667.

【答案】(1)*的分布列為/>5=6=&噂二,4=0,1,2「.,20,X的均值為E(X)=8；

C|oo

(2)0.79879

【分析】(1)由題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，從而即可求解；

(2)樣本中次品率%=焉是一個(gè)隨機(jī)變量，由題意，P(伉。-0.4|釉」)=P(6X?10),根據(jù)參考數(shù)據(jù)即

可求解.

【解析】(1)解：由于質(zhì)檢員是隨機(jī)不放回的抽取20件產(chǎn)品，各次試驗(yàn)之間的結(jié)果不相互獨(dú)立,

所以由題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

40

所以X的分布列為P(X=Q=，左=0,1,2,…,20,X的均值為旦X)=叩=20x訴=8；

1(X)

V

⑵解：樣本中次品率%=白是個(gè)隨機(jī)變量,

所以P(島-O.4|M1)=尸(6X?10)=P(X=6)+P(X=7)+尸(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=0.79879.

所以誤差不超過(guò)0.1的概率為0.79879.

19.(12分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且(岳-a)cosC=ccosA.

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若a=VL且c(acos8-6cosA)=3必，求MBC的面積.

【答案】(DC(⑵半

【分析】(1)先利用正弦定理統(tǒng)一成角，然后利用三角函數(shù)恒等變換公化簡(jiǎn)，從而可求出角C的大小,

(2)利用余弦將所給式統(tǒng)一成邊，化簡(jiǎn)可得。=?,結(jié)合已知可求出b,再利用三角形面積公式求解即可

【解析】(1)由已知及正弦定理，得0sinBcosC-sinAcosC=sinCeosA.

A+C=7r-B,sin(A+C)=sinB.

V2sin8cosc=sinB.

行

又sin8w0,cosC=—.

2

CG（0,7T）,C=—.

c\rhi」/hn兀d-jim-6T+c~_b~,b~-\-c~-a"->ci~+c~—h~h~+c~-a~小

（2）由已知及余弦/E理，得ac------------be----------=3b-,----------------------=3b-

2ac2bc22

化簡(jiǎn)，得。2=46.即。=2Z?,

又［a=△,b—?

2

AABC的面積S=—absinC=-->/3.

22228

20.（12分）如圖，三角形/8C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E,尸分別在邊48,4C上，&AE=AF=2,

M為8c邊的中點(diǎn)，4M交EF于點(diǎn)、O,沿EF將三角形XE尸折到。所的位置，使￡>例=延.

2

(1)證明：DOX^EFCB,

(2)若平面內(nèi)的直線EN〃平面Z)OC,且與邊8c交于點(diǎn)M問(wèn)在線段。/上是否存在點(diǎn)P,使二面

角尸一皮V—8的大小為60。？若存在，則求出點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析：(2)存在，&=鼻血廠嗚區(qū)與).

【分析】(1)先由勾股定理證0OLQM,易得D0LEF,即得證；

(2)連接OC,過(guò)E作EN//0C交BC勺N,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,設(shè)方＞=4易，

再利用向量法求解.

【解析】(1)證明：在中，易得。0=6，0M=—.DM=—,

22

由0^/2=002+。加2,得￡）OJ_OM,

又?.?AE=AF=2,AB=AC=3,:.EF//BC,

又M為5c中點(diǎn)，/.AMVBC,:.DOLEF,

因?yàn)椤闒p|OM=O,EF,OMu平面EBCF,

..￡>0_1平血￡?“\

(2)解：連接OC,過(guò)E作EN//OC交BC千N,OCu平面OOC,0V<Z平面OOC,則硒〃平面DOC,

又OE//CN,.,.四邊形OEMS為平行四邊形，.[OE=NC=1,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-型,設(shè)DP=XDM(O<A,<\)>

由題得平面硒B(niǎo)的法向量為：=(0,0,1).

設(shè)平面ENP的法向量為7=(x,y,z)>

由題得。(0,0,6),知(0,@,0),；.血=(0,立,-右)，

22

所以6P=(0,左入,-62),所以+=ED+。>=(-1,54石-&).

由題得E(L0,0),N(一界,0),所以前=(一|,率0),

—36

fn-EN=——XH------y=013.

，所以.(萬(wàn))，

所以1V

/n-EP=-l+-A+(^-^A)z=0''癢&

2

因?yàn)槎娼荘—EN—B的大小為60°,

I2I

解之得4=2(舍去)或義=?.

所以萬(wàn)一_R,

1--Z

r3+(?)2

->6T

此:時(shí)OP=—DM

7

21.(12分)已知橢圓C：*+普=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2,橢圓C的離心率小于

點(diǎn)P在橢圓c上，|p周+|p閭=4,且△Pk瑪面積的最大值為Q.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)/(I,1),48是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)N在直線/：3x+4y—12=0上，且前=2麗乙麗=〃麗，

試問(wèn)幾+〃是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】⑴二+匕=1;(2)是定值，定值為0

43

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得。力，由此求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出直線MN的方程,分別與橢圓C以及直線/聯(lián)立,求得A伉N三點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，由此計(jì)算出4+〃

為定值.

【解析】(1)|尸制+|尸居|=4=2?,。=2,則

a2

當(dāng)尸為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，△尸耳用的面積最大，$2cxb=bc=6

be=6

由<4=b2+c2解得b=y/3,c=1.

C<yj2

所以橢圓C的方程為工+丫=1.

43

(2)由于福=丸兩，礪=〃而，所以AM,N,8四點(diǎn)共線，

由(1)得橢圓C的方程為?+《=1,故”(1,1)在橢圓內(nèi)，

所以直線MN與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)4,8,不妨設(shè)人在加之間，8在NM的延長(zhǎng)線上,

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=l,

432I2J(2)'

3+4y-12=0=y=j,即N(l,*

由NA=AAM,NB=JJBM得(0,-j,

所以丸=/3,〃=_/3,2+〃=0.

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y-l=%(x-l),

y-1=4(工-1)

由丁2消去y并化簡(jiǎn)得(3+4/)/+(8%-8標(biāo)卜+4公一弘一8=0,

----F—=1

143

8k2—8k4二8%-8

Jy-l=jt(x-l)4k+8

叫3x+4y-12=0