數(shù)值積分公式

數(shù)值積分公式第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容提綱

數(shù)值積分的必要性求積公式及其代數(shù)精度插值型求積公式Newton-Cotes公式及數(shù)值穩(wěn)定性復(fù)化求積公式及誤差估計第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達式；?

f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月實際問題1.

f(x)的原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示例如函數(shù):考慮一個實際問題:建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.

求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.

這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線,從x=0到x=48英寸間的弧長L.由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達式相當(dāng)復(fù)雜,計算極不方便.例如函數(shù)并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.f(x)沒有解析表達式，只有數(shù)表形式:

x12345f(x)44.5688.5

這些都說明,通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性,因而,研究關(guān)于積分的數(shù)值方法具有很重要的實際意義.第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月求積公式及其代數(shù)精度

求積公式的概念積分值

在幾何上可解釋為由x=a,x=b,y=0和y=f(x)

所圍成的曲邊梯形的面積.積分計算之所以有困難，就是因為這個曲邊梯形有一條邊y=f(x)是曲的.

第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

依據(jù)積分中值定理,對于連續(xù)函數(shù)f(x)

,在[a,b]內(nèi)存在一點ξ,使得

稱f(ξ)為區(qū)間[a,b]的平均高度.問題在于點ξ的具體位置一般是不知道的.這樣,只要對平均高度f(ξ)提供一種算法,相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法.第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如果簡單地選取區(qū)間[a,b]的一個端點或區(qū)間中點的高度作為平均高度,這樣建立的求積公式分別是:左矩形公式:

I(f)≈(b-a)f(a)右矩形公式:

I(f)≈(b-a)f(b)中矩形公式:

I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月此外,眾所周知的梯形公式:

I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2和Simpson公式:

I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6則分別可以看作用a,b,c=(a+b)/2,

三點高度的加權(quán)平均值

[f(a)+f(b)]/2和[f(a)+4f(c)+f(b)]/6作為平均高度f(ξ)的近似值.第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般地,取區(qū)間[a,b]內(nèi)n+1個點

{xi},(i=0,1,2,…n)處的高度{f(xi)}(i=0,1,…,n)通過加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),這類求積方法稱為機械求積:第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月或?qū)懗?數(shù)值積分公式求積系數(shù)求積節(jié)點(1)第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月記稱(2)為數(shù)值求積公式,(3)為求積公式余項(誤差).構(gòu)造或確定一個求積公式，要討論解決的問題有(i)

確定求積系數(shù)Ak和求積節(jié)點xk

；(ii)

求積公式的誤差估計和收斂性為了構(gòu)造形如式(2)的求積公式,需要提供一種判定求積方法精度高低準(zhǔn)則第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月求積公式的代數(shù)精度定義1

稱求積公式(2)具有m次代數(shù)精度,如果它滿足如下兩個條件:

(i)對所有次數(shù)≤m次的多項式,有

(ii)存在m+1次多項式,使得定義1中的條件(i),(ii)等價于:第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月插值型求積公式

在積分區(qū)間[a,b]上取n+1個節(jié)點xi，i=0,1,2,…,n,作f(x)的n次代數(shù)插值多項式（拉格朗日插值公式）:則有

為插值余項于是有第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月取稱(4)式為插值型求積公式,求積系數(shù)Ak由(5)式確定.(4)(5)Ak由節(jié)點決定，與f(x)

無關(guān)。第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1

求積系數(shù)滿足:誤差定理1

形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月取節(jié)點為等距分布：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。Newton-Cotes公式由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,此時求積系數(shù)第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月記則求積公式(4)變?yōu)?6)(7)(8)稱(8)式為n階閉型Newton-Cotes求積公式.第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關(guān)注意:由(6)式確定的Cotes系數(shù)只與j和n有關(guān),與f(x)和積分區(qū)間[a,b]無關(guān),且滿足:(9)第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2當(dāng)階數(shù)n為偶數(shù)時,Newton-Cotes公式(8)至少具有n+1次代數(shù)精度.證明

只需驗證當(dāng)n為偶數(shù)時,Newton-Cotes公式對f(x)=xn+1的余項為零.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!.由式(9)得引進變換t=u+n/2,因為n為偶數(shù),故n/2為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定R(f)=0,因為上述被積函數(shù)是個奇函數(shù).第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性

現(xiàn)在討論舍入誤差對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)用公式

近似計算積分時,其中計算函數(shù)值f(xj)有誤差εj

(j=0,1,2,…,n).設(shè)計算Cj(n)沒有誤差,中間計算過程中的舍入誤差也不考慮,則在式(10)的計算中,由εj引起的誤差為(10)第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月如果Cj(n)都是正數(shù),并設(shè)故en是有界的,即由εj引起的誤差受到控制,不超過ε的(b-a)倍,保證了數(shù)值計算的穩(wěn)定性.而當(dāng)n>7時,Cj(n)將出現(xiàn)負數(shù),保證數(shù)值穩(wěn)定性.因此高階公式不宜采用,有實用價值的僅僅是幾種低階的求積公式.將隨n增大,因而不能則有第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月n=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代數(shù)精度=1n=2:Simpson’sRule代數(shù)精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代數(shù)精度=3,n=4:CotesRule,代數(shù)精度=5,n

為偶數(shù)階的Newton-Cotes

公式至少有n+1

次代數(shù)精度。第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)化型求積公式高次插值有Runge

現(xiàn)象,高階Newton-Cotes公式會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定,低階Newton-Cotes公式有時又不能滿足精度要求.解決這個矛盾的辦法是將積分區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間,在每個小區(qū)間上用低階求積公式計算,然后將它們加起來,這就是復(fù)化求積方法.第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

復(fù)化梯形公式：在每個上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

復(fù)化梯形公式積分法第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂性由上述的誤差估計式可知，當(dāng)f(x)C2[a,b]

時,只要h0時數(shù)列Tn(