數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識及現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀

數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識及現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)的一般意義；2.了解數(shù)學(xué)的三個特點；3.了解數(shù)學(xué)的主要的三次危機..第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識及現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀一、數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識1.數(shù)學(xué)的概念：研究客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)是數(shù)學(xué)。

2、數(shù)學(xué)的歸類數(shù)學(xué)與其他許多學(xué)科不一樣，它不是以某一類實物或某一種物質(zhì)運動形態(tài)作為研究對象，而是從各種事物中抽取出量的方面來加以研究。

M．凱德洛夫曾作《論科學(xué)分類》的報告，他把數(shù)學(xué)列在哲學(xué)與自然科學(xué)之間的位置上。這樣的分類，曾使我國的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家受到啟發(fā)。但是在我國的科學(xué)部門、教育部門，至今還是按照傳統(tǒng)的看法，把數(shù)學(xué)算作自然科學(xué)的一個門類，與自然科學(xué)的其他學(xué)科如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等并列在一起。第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

歸于自然科學(xué)的數(shù)學(xué)從歷史發(fā)展看，數(shù)學(xué)首先是和天文學(xué)、力學(xué)，以后又和物理學(xué)等一起成長起來的，所以人們習(xí)以為常地把數(shù)學(xué)歸在自然科學(xué)一類。隨著科學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，人們愈來愈清楚地看到數(shù)學(xué)不能夠只被看作一門自然科學(xué)了，它對各門科學(xué)(包括自然科學(xué)和社會科學(xué))都能起到方法論的作用。。第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學(xué)的特征

作為一種科學(xué)理論的數(shù)學(xué)理論，當(dāng)然也具有科學(xué)理論的各種特點，但由于數(shù)學(xué)理論的特殊性，與其他科學(xué)理論相比較而言，它又具有以下三個主要的特征：

1.抽象性（兩個方面）數(shù)學(xué)理論作為一種認(rèn)識形式，與其他學(xué)科相比，其最基本的特點就是高度的抽象性。

當(dāng)然，許多其他科學(xué)也具有抽象性。

第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)的抽象性更多地表現(xiàn)在以下兩方面：（1）舍棄事物的具體內(nèi)容而抽取出量的關(guān)系。正如恩格斯所形容：“為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)重要的東西放在一邊，這樣，我們就得到?jīng)]有長寬高的點、沒有厚度和寬度的線、a和b與x和y，即常數(shù)數(shù)；……”

數(shù)學(xué)的這種點、線以及其他形式和關(guān)系，不同于客觀實在的點、線或現(xiàn)實的形式和關(guān)系，已是一種“思想事物”了，或者就象現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所說的是一種抽象結(jié)構(gòu)。第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數(shù)學(xué)運用特制的抽象符號語言。在數(shù)學(xué)定理中，從前提到結(jié)論，每一推理步驟都是用符號進(jìn)行的，所得到的結(jié)論也是用數(shù)學(xué)公式來表達(dá)的。數(shù)學(xué)的抽象程度確實是高于其他自然科學(xué)，有人說數(shù)學(xué)具有高度抽象性或極端抽象性是不過分的。第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.精確性（兩個方面）

精確性指的是數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的確定性數(shù)學(xué)的精確性主要表現(xiàn)在兩個方面：（1）邏輯上的可靠性

在數(shù)學(xué)中，每一個公式、定理都要嚴(yán)格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立，獲得承認(rèn)。數(shù)學(xué)的推理步驟嚴(yán)格地遵守形式邏輯諸法則，以保證從前提到結(jié)論的推導(dǎo)過程中，每一個步驟都是在邏輯上準(zhǔn)確無誤的。所以，運用數(shù)學(xué)方法從已知的關(guān)系推求未知關(guān)系時，所得到的結(jié)論就具有邏輯上的可靠性。

第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)的這一特征自古就有。

正如愛因斯坦所說：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中；……數(shù)學(xué)之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的。”第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數(shù)學(xué)運用公理化方法

數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性還表現(xiàn)在它的公理方法。每一個認(rèn)識領(lǐng)域，當(dāng)經(jīng)驗知識積累到相當(dāng)數(shù)量的時候，需要進(jìn)行綜合、整理，使之條理化，形成概念和論理的系統(tǒng)。以實現(xiàn)認(rèn)識從感性階段到理性認(rèn)識的階段，從理性認(rèn)識的初級水平發(fā)展到更高級的水平，表現(xiàn)在一個理論系統(tǒng)發(fā)展到邏輯嚴(yán)密程度更高的公理化體系。第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月辯證地理解數(shù)學(xué)的精確性在數(shù)學(xué)中不能處處都要求邏輯的嚴(yán)密性微積分剛建立時，邏輯上是很不嚴(yán)密的，有明顯的漏洞，然而其結(jié)論是正確的，并獲得了驚人的有效應(yīng)用。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)中，邏輯上的漏洞、矛盾是不允許的，因此數(shù)學(xué)家總要千方百計地解決或消除這些矛盾，經(jīng)過很長時間和許多數(shù)學(xué)家的努力，終于給微積分建立了比較嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。像微積分這樣的事例在數(shù)學(xué)中還有很多，不過，邏輯上的不嚴(yán)密只能是暫時的(雖然可能上百年、上千年)，所以數(shù)學(xué)和其他的學(xué)科相比較，它還是以邏輯上的嚴(yán)格性而著稱。小學(xué)數(shù)學(xué)中，對某些數(shù)學(xué)概念并不給出非常嚴(yán)格的定義，只是結(jié)合實例給出解釋。第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.應(yīng)用的廣泛性（兩個方面）數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)不但能應(yīng)用于各門自然科學(xué)，而且可以應(yīng)用于社會科學(xué)；不但應(yīng)用于工程技術(shù)，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，而且可以應(yīng)用于國民經(jīng)濟(jì)和社會管理的各個領(lǐng)域。（1）在數(shù)學(xué)中，各種的關(guān)系、變化以及量之間，這種(些)變化與那種(些)量的變化之間的關(guān)系，都是用數(shù)學(xué)所特有的符號語言(包括圖形、數(shù)字和各種符號)來表示的。

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在科學(xué)研究中，需要對這—類巨大的或微小的數(shù)字進(jìn)行計算，如果只靠日常用語是難以進(jìn)行和表達(dá)的；

★自然界的或社會生活中的許多發(fā)展規(guī)律卻可用微分方程來描述。在工程技術(shù)中、經(jīng)濟(jì)工作中，有些問題需要用若干個數(shù)量從整體上反映其數(shù)量關(guān)系，像電子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)規(guī)劃，商品產(chǎn)銷關(guān)系等等都可用代數(shù)學(xué)中的矩陣來表示。

★隨著數(shù)學(xué)語言愈來愈多地運用，許多科學(xué)家干脆就把數(shù)學(xué)稱為“科學(xué)的語言”。而用數(shù)學(xué)語言描述出所要研究的問題，就構(gòu)成一個數(shù)學(xué)問題，稱為研究對象的數(shù)學(xué)模型。第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數(shù)學(xué)提供有效的計算方法。一門科學(xué)從定性的描述進(jìn)入到定量的分析和計算，是這門科學(xué)達(dá)到比較成熟階段的重要標(biāo)志。

在科學(xué)史上，力學(xué)，天文學(xué)、物理學(xué)都是由于將觀測、實驗與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合以后才迅速成長為“精密科學(xué)”的。近代、現(xiàn)代的許多學(xué)科都是通過大量運用數(shù)學(xué)方法而走向定量化、精確科學(xué)理論的一個重要特征就是具有預(yù)見性，而這種預(yù)見性一般是通過數(shù)學(xué)方法來表現(xiàn)的一些準(zhǔn)確的科學(xué)預(yù)言，就是依據(jù)科學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計算而獲得的理論結(jié)果。因此，當(dāng)科學(xué)理論通過自己的預(yù)見性指導(dǎo)實踐，同時又通過預(yù)言之能否實現(xiàn)和是否準(zhǔn)確地實現(xiàn)來接受實踐檢驗的時候，都是離不開數(shù)學(xué)計算的。第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數(shù)學(xué)提供有效的計算方法。一門科學(xué)從定性的描述進(jìn)入到定量的分析和計算，是這門科學(xué)達(dá)到比較成熟階段的重要標(biāo)志。

在科學(xué)史上，力學(xué)，天文學(xué)、物理學(xué)都是由于將觀測、實驗與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合以后才迅速成長為“精密科學(xué)”的。近代、現(xiàn)代的許多學(xué)科都是通過大量運用數(shù)學(xué)方法而走向定量化、精確科學(xué)理論的一個重要特征就是具有預(yù)見性，而這種預(yù)見性一般是通過數(shù)學(xué)方法來表現(xiàn)的一些準(zhǔn)確的科學(xué)預(yù)言，就是依據(jù)科學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計算而獲得的理論結(jié)果。因此，當(dāng)科學(xué)理論通過自己的預(yù)見性指導(dǎo)實踐，同時又通過預(yù)言之能否實現(xiàn)和是否準(zhǔn)確地實現(xiàn)來接受實踐檢驗的時候，都是離不開數(shù)學(xué)計算的。第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月三、數(shù)學(xué)的三次危機

什么是數(shù)學(xué)危機？

數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機。

矛盾的消除，危機的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)的這一特征自古就有。

正如愛因斯坦所說：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中；……數(shù)學(xué)之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的?！钡?6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月1.第一次數(shù)學(xué)危機

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機，而危機的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化。或者說數(shù)的不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機。

第一次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在公元前5百年左右的古希臘。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)都是整數(shù)。他們在數(shù)學(xué)上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達(dá)，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。

第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

有人說，這種性質(zhì)是希帕索斯（Hipparchus，公元前180－125）約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月畢達(dá)哥拉斯悖論

大約公元前５世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時認(rèn)識上的“危機”，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機。第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)物—歐氏幾何學(xué)。歐幾里得的《原本》對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是毋容置疑的歐幾里得的貢獻(xiàn)在于他有史以來第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識，構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)化的演繹體系。這對數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到十九世紀(jì)。牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。

※到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第５卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一次數(shù)學(xué)危機對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.第二次數(shù)學(xué)危機無窮小量究竟是不是零的討論引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個無窮小量究竟是不是零第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在公元前十七世紀(jì)至十九世紀(jì)的歐洲。第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)物——微積分學(xué)和集合論的產(chǎn)生第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

在十七世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科，這也就是數(shù)學(xué)分析的開端。

▼牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績主要在于：1.把各種問題的解法統(tǒng)一成一種方法，微分法和積分法；2.有明確的計算微分法的步驟；3．微分法和積分法互為逆運算。

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柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；

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阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；

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狄里克雷給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。▼維爾斯特拉斯給出現(xiàn)在通用的ε-δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了危機和矛盾。第23頁，