抽象函數(shù)專題分析

抽象函數(shù)專題分析第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月研究性學(xué)習(xí)“五步曲”

課題：抽象函數(shù)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是()AA．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2．函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則f(99)＝()A．13B．2

13C. 2

2D. 13C3．設(shè)奇函數(shù)f(x)滿足：對?x∈R有f(x＋1)＋f(x)＝0，則f(5)＝____.04．已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對x∈R都有f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時，f(2013)的值為_____.－2第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

5．已知函數(shù)f(x)的定義域為R＋，并且對任意正數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，則(1)f(1)＝____；012第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月考點1正比例函數(shù)型抽象函數(shù)例1：設(shè)函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0時，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)試問在－3≤x≤3時，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果沒有，說出理由．第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，則有f(0)＝2f(0)?f(0)＝0.令y＝－x，則有f(0)＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．(2)解：任取x1<x2，則x2－x1>0?f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2)．∴y＝f(x)在R上為減函數(shù)．因此f(3)為函數(shù)的最小值，f(－3)為函數(shù)的最大值．f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函數(shù)最大值為6，最小值為－6.第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為f(0)＝0?f(x)是奇函數(shù)?f(x－y)＝f(x)－f(y)?單調(diào)性．(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x1<x2，則x2－x1>0?f(x2－x1)<0?f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)<f(x1)，得到函數(shù)單調(diào)遞減．第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【互動探究】

1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則下列錯誤的是()D第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月考點2對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式f(2x2－1)<2.例2：已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時f(x)>0，f(2)＝1.(1)證明：對定義域內(nèi)的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

證明抽象函數(shù)的單調(diào)性通常是用單調(diào)性的定義結(jié)合比較法(作差法、作商法)，函數(shù)的單調(diào)性是比較大小的常用方法．運用不等式性質(zhì)時應(yīng)從結(jié)論出發(fā)，尋找解題的切入點．第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【互動探究】當(dāng)f(x)＝lgx時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是_____.②③第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月考點3指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3：定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x＞0時，f(x)>1，且對任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)求證：f(0)＝1；(2)求證：對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；(3)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范圍．第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為f(0)＝1?(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x1>x2，x1－x2>0，則f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函數(shù)是增函數(shù)．第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【互動探究】

3．設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，則下列等式正確的有_________(填序號)．①③④第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月考點4一次函數(shù)模型:f(x+y)=f(x)+f(y)

例4:解：第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解法2：

第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例5：

解：

第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例6

若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，又f(-3)=0，則{x|x?f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}【說明】

f(x)是個抽象函數(shù)，千萬不要去想f(x)的解析式.思維取向不能先考慮一般，而是在一些特殊條件上“不擇手段”.【手段1】（直選和篩選并用）取x>3，有f(x)>0.得x?f(x)>0，故x>3不符合要求.按奇函數(shù)的對稱性，x<-3也符合要求.從而淘汰A、B、C.答案是D.——這就是所謂的淘汰法.第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】

若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，又f(-3)=0，則{x|x?f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}【手段2】（直選與篩選并用）按對稱性，0<x<3也為所求.答案為D.由f(-3)=0知f(-2)>0.此時有x?f(x)<0.故-3<x<0為所求.由x?f(x)<0，知點（x，y）在第二或第四象限.【說明】手段2變成了直選法.和手段1一樣，都可通過觀察法完成，不需動筆.第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【手段3】（圖解法1）據(jù)題設(shè)條件作y=f(x)草圖(右).在圖中找出f(x)與x異號的部分,可以看出x?

f(x)<0的解集為{x|0<x<3或-3<x<0}，選D.

【例】

若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，又f(-3)=0，則{x|x?f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【手段4】（圖解法2）

f(x)為奇函數(shù)，作x>0時的圖象(右)即可.不等式x?f(x)<0的解集關(guān)于原點對稱,故先解x>0.f(x)<0，借助圖象得0<x<3.由對稱性得x?f(x)<0的解集為{x|0<x<3或-3<x<0}，故選D.【例】

若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，又f(-3)=0，則{x|x?f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【手段5】（特殊值法）借助圖（2）,取特殊值x=2,知f(2)<0符合條件x?f(x)<0，故0<x<3為所求.按對稱性，-3<x<0也為所求.答案為D.【手段6】（特殊性法）f(x)是奇函數(shù)，則x?f(x)是偶函數(shù).答案區(qū)間關(guān)于原點對稱.從而淘汰A和B.取特殊值x=4，f(4)>0，則有x?f(x)>0，從而淘汰C.答案為D.第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月【手段7】（特殊式法）符合抽象函數(shù)f(x)性質(zhì)的一個具體函數(shù)為y=x-3（x>0時），令xy=x(x-3)<0，解得0<x<3按對稱性還有-3<x<0答案為D.【說明】手段6，體現(xiàn)的“不擇手段”極為有趣.朦朧中碰上了“列不等式”和“解不等式”.此時，若你要去問這個理論，則你不是個書呆子，就是個老學(xué)究.第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)然，解決抽象函數(shù)的方法和技巧多種多樣，如：合理賦值，整體思考，借助特殊點，利用遞推式等。有的時候需要運用多種方法和手段。第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月思想與方法6．轉(zhuǎn)化與化歸思想解信息給予題例題：對定義在[0,1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)：①