全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線原題解析

全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線(原題+解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:?全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線一．填空題（共1小題)１．（2015秋?宿遷校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=9０°,AＤ平分∠BＡC交BC于D．若BＤ：DC=3:2,點(diǎn)D到AB的距離為6,則BC的長是．二．解答題(共１０小題)2．（2０１0秋?涵江區(qū)期末)如圖所示，在Rt△ABＣ中，∠C＝９0°，BＣ=AＣ，AＤ平分∠ＢAC交BC于D，求證：ＡB=AＣ+ＣＤ．3．如圖，AＤ是△ABＣ中BC邊上的中線，求證:AD<（AＢ+AＣ）.4.（2０13秋?藁城市校級期末）在△ABC中，∠AＣB=９0°,AC=ＢC,直線，ＭN經(jīng)過點(diǎn)C,且AＤ⊥MＮ于點(diǎn)D,ＢＥ⊥MＮ于點(diǎn)Ｅ.(1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：DＥ=AＤ+ＢE;（２）當(dāng)直線MＮ繞點(diǎn)Ｃ旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí),求證：DＥ=AD﹣BE;(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系?請你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明.5.已知△ABＣ中，∠A=60°，ＢＤ,CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、ＣE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.6.（２01２秋?西城區(qū)校級期中)已知：如圖,△ABC中,點(diǎn)D,E分別在ＡB，AC邊上,F是CD中點(diǎn)，連BF交AC于點(diǎn)E，∠ABE+∠ＣEB＝18０°,判斷ＢD與CＥ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.7.（2010秋?豐臺區(qū)期末)已知:如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ＡＣB=90°,AC＝ＢＣ,點(diǎn)Ｄ是△ABＣ內(nèi)的一點(diǎn),且AD=AC,若∠DAＣ＝3０°，試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系并加以證明．8.已知點(diǎn)M是等邊△ABD中邊AB上任意一點(diǎn)（不與Ａ、Ｂ重合),作∠ＤＭN=60°,交∠ＤBA外角平分線于點(diǎn)N．（１）求證:ＤＭ=MN;（２）若點(diǎn)Ｍ在AB的延長線上，其余條件不變，結(jié)論“DM=ＭＮ”是否依然成立?請你畫出圖形并證明你的結(jié)論.9．(2０１5春?閔行區(qū)期末）如圖所示,在正方形AＢＣD中,M是ＣD的中點(diǎn),E是CD上一點(diǎn),且∠ＢAE=2∠DＡＭ．求證:AＥ=BＣ+CE.10.已知:如圖,ABCＤ是正方形,∠FAD=∠FＡＥ．求證：ＢE+DＦ＝AE．１1．(2010秋?巢湖期中)如圖,CE、CB分別是△ABC、△ＡDC的中線,且ＡB=AC．求證:CD=2CE．

全等三角形輔助線之截長補(bǔ)短與倍長中線參考答案與試題解析一．填空題(共1小題）1．(20１5秋?宿遷校級月考）如圖,在Rｔ△ABC中,∠C=90°，AD平分∠BAC交ＢC于D．若BＤ:DC=3:２，點(diǎn)D到AＢ的距離為6,則ＢC的長是１5.【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).【專題】計(jì)算題．【分析】作DE⊥AＢ于Ｅ,如圖,則DE=6,根據(jù)角平分線定理得到DC=DE=6，再由BＤ:ＤＣ=3:2可計(jì)算出BD=9,然后利用BＣ=BD+DC進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：作DE⊥ＡＢ于Ｅ,如圖，則ＤE=6,∵ＡＤ平分∠BAC,∴DC＝DE=6，∵BＤ：DC=3：2,∴BＤ=×6=9，∴BＣ=BＤ+DＣ=９+6=15．故答案為１5.【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．二.解答題(共10小題)２.（2010秋?涵江區(qū)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=９0°，BＣ=AC,AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB=AC+ＣD．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題.【分析】利用已知條件，求得∠B=∠E，∠２＝∠1，AD＝ＡD，得出△AＢD≌△ＡＥD（ＡAS）,∴AE=ＡＢ．∵AＥ=AC+ＣE=ＡＣ＋CD，∴AＢ=AC＋CD.【解答】證法一:如答圖所示，延長ＡC，到E使ＣE=CD,連接DE．∵∠ACB＝90°,AＣ=ＢC,CE=CD，∴∠Ｂ=∠ＣAB=（18０°﹣∠ＡCＢ）＝４5°,∠E=∠ＣＤＥ=4５°,∴∠B＝∠Ｅ．∵AＤ平分∠BAＣ,∴∠1=∠2在△ABＤ和△ＡEＤ中,,∴△ABD≌△ＡEＤ(AAＳ）.∴AE＝AＢ．∵AE=AC+CE＝AC＋CＤ,∴AB=AC+CＤ.證法二：如答圖所示，在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD平分∠BＡC，∴∠1=∠2.在△AＣＤ和△AED中,,∴△ACD≌△AEＤ(SAS).∴∠AED=∠C=90,CD=ED,又∵AＣ=BＣ,∴∠B＝45°．∴∠EDB=∠Ｂ=45°．∴ＤE=BE,∴CD=BE.∵AB＝AＥ＋BE，∴ＡB=AＣ＋CD．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì);通過SAＳ的條件證明三角形全等,利用三角形全等得出的結(jié)論來求得三角形各邊之間的關(guān)系．3.如圖,AD是△ＡＢC中BＣ邊上的中線,求證：AD<（ＡB＋ＡC）．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.【專題】計(jì)算題.【分析】可延長AＤ到E，使AD=DE,連BＥ,則△ACD≌△EBD得BE=ＡC,進(jìn)而在△ABE中利用三角形三邊關(guān)系，證之．【解答】證明:如圖延長AD至E，使AD=DE，連接BE.在△ＡCD和△EＢD中:∴△ACＤ≌△EBD(SAS)，∴ＡＣ=BE(全等三角形的對應(yīng)邊相等），在△ＡBE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AE<AＢ+BE，即2ＡD<AB+ＡC,∴AD＜（AＢ+AC).【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題,能夠熟練掌握．4．(2０1３秋?藁城市校級期末）在△ABC中,∠AＣB＝90°,AC=BＣ,直線，MN經(jīng)過點(diǎn)Ｃ,且ＡD⊥MN于點(diǎn)Ｄ，BＥ⊥MＮ于點(diǎn)E.(１）當(dāng)直線MＮ繞點(diǎn)Ｃ旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證:ＤE=AＤ＋BＥ;(2）當(dāng)直線MＮ繞點(diǎn)Ｃ旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，求證:DE=AD﹣ＢE；（３）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)Ｃ旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段DE、ＡD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形．【專題】證明題.【分析】（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEＢ=９０°,則根據(jù)互余得∠ＤＡＣ+∠ＡＣD=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠ＤＡＣ=∠BCE，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADC≌△CEB,所以CD=ＢE，AD=CE，再利用等量代換得到ＤE=AD＋ＢE;（２)與(1）一樣可證明△AＤＣ≌△CEB,則CD＝BE，AD=ＣE，于是有DE=CE﹣CＤ=AD﹣BE；(3）與(1）一樣可證明△ADＣ≌△CEB，則ＣD=BE，AD＝CE，于是有DE=CD﹣CE=ＢＥ﹣AD．【解答】（1)證明：∵AＤ⊥MＮ,BE⊥ＭN，∴∠ＡDC＝∠CEＢ=90°，∴∠DＡC+∠ACＤ=9０°，∵∠AＣB=9０°，∴∠ＢCE+∠ACD=９０°,∴∠ＤAC=∠BCＥ,在△ＡＤC和△CEＢ，,∴△ADC≌△ＣＥB（ＡAS)，∴ＣD=BＥ,AD=CE,∴DE＝ＣE+ＣD=AD+BE;（２）證明:與（1）一樣可證明△ＡＤC≌△CEＢ，∴CD=BE，AD=CＥ,∴DE=CＥ﹣CD=AD﹣BＥ;(３）解：DE=BE﹣AD．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“ＳSS”、“ＳAS”、“ASA”、“ＡAS”;全等三角形的對應(yīng)邊相等．5．已知△ABC中,∠A=６0°，BD，CE分別平分∠AＢＣ和∠ACＢ，BＤ、CE交于點(diǎn)O,試判斷BＥ，CD,ＢC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).【分析】在CB上取點(diǎn)G使得CG＝CD,可證△BOE≌△BOG，得BE═BG,可證△CDO≌△CGO,得CＤ＝ＣＧ,可以求得BＥ+CD=BC.【解答】解:在BC上取點(diǎn)G使得CＧ=ＣD，∵∠ＢＯC=1８０°﹣（∠ABＣ+∠ACB)=１80°﹣(１８０°﹣60°）＝１20°，∴∠ＢOE=∠COD=60°,∵在△COD和△CＯG中，，∴△COＤF≌△COG(SAS)，∴∠COG=∠COD=60°,∴∠BOG=120°﹣6０°=6０°=∠ＢOＥ，∵在△ＢOＥ和△BOＧ中,，∴△ＢOE≌△ＢOG(ＡSA）,∴BE=ＢG,∴ＢE＋ＣD=BG+CG＝BC．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì),本題中求證ＣＤ=CG和BE=ＢG是解題的關(guān)鍵.６．(2０12秋?西城區(qū)校級期中)已知：如圖,△ＡBC中，點(diǎn)Ｄ，E分別在AB，ＡC邊上，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，連BF交AC于點(diǎn)E,∠AＢE+∠CＥB=180°,判斷BD與ＣE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】探究型.【分析】延長ＢF至點(diǎn)Ｇ，使FＧ=BF，連CＧ,證△GFC≌△BFＤ，∠CGF＝∠FBD，CG＝DB，求出∠CGF=∠ＣEＧ,推出ＣＧ=ＣE，即可得出答案.【解答】結(jié)論:ＢD＝CE證明：延長BＦ至點(diǎn)G,使ＦＧ＝BF，連ＣG，∵F為CD中點(diǎn)，∴CF=DF,在△GＦC和△BＦD中∴△GFC≌△BFD(SＡS),∴∠ＣGF=∠FBＤ，CG=DB,又∵∠ＡＢE+∠CＥB=１80°，∠ＣEG+∠CEB＝１８0°,∴∠CGF＝∠CEG，∴ＣＧ=ＣE，∴BD=CE.【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．7.（20１０秋?豐臺區(qū)期末)已知:如圖,在等腰直角三角形ＡBC中，∠ACＢ＝9０°,AＣ=ＢC,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且AD=AC,若∠DＡＣ＝30°，試探究BD與CＤ的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).【專題】探究型．【分析】作BE⊥BC，AＥ⊥AC，兩線相交于點(diǎn)E,則四邊形ＡＥＢC是正方形,由∠DＡC=30°，得∠DAE=6０°，由AD=AC，得AD＝AＥ,所以，三角形ＡED是等邊三角形,可得∠AEＤ=6０°,∠DEB=30°,所以，△ADＣ≌△EDB,可得BＤ＝CＤ；【解答】解：ＢＤ=CD．證明：作BE⊥BC，AE⊥AＣ,兩線相交于點(diǎn)E,∵△AＢC是等腰直角三角形，即ＡC=BC，∴四邊形AEBＣ是正方形，∵∠DAC＝30°，∴∠ＤＡE=６０°，∵ＡＤ＝ＡC,∴AD=AE,∴△ＡEＤ是等邊三角形,∴∠ＡED＝60°,∴∠DＥＢ＝30°,在△AＤＣ和△EDB中,∴△ADC≌△EＤB(SAS）,∴BD=ＣD.【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì),作輔助線構(gòu)建正方形，通過證明三角形全等得出線段相等,是解答本題的基本思路．8.已知點(diǎn)M是等邊△ABD中邊AB上任意一點(diǎn)(不與A、B重合)，作∠DMN＝6０°,交∠DＢＡ外角平分線于點(diǎn)N.(1）求證：DM=MN；(2）若點(diǎn)M在AB的延長線上，其余條件不變，結(jié)論“ＤM＝MN”是否依然成立？請你畫出圖形并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】(1)在AＤ上截取AＦ=AM,證明△DＦM≌△MBN即可；（２）在AD的延長線上截取AF＝AＭ，證明△DFM≌△MBN即可．【解答】證明:(1)如圖1，在AD上截取AF=AM，∵△AＢＤ是等邊三角形,∴△AＭF是等邊三角形,∴DＦ=ＭＢ，∠DFM=120°，∵BN是∠ＤBA外角平分線，∴∠MBN＝12０°，∴∠DＦM=∠MBＮ,∵∠DMN=60°，∴∠BMN+∠AMD=120°，∴∠A＝6０°，∴∠FＤM+∠ＡMD=12０°，∴∠FDM=∠BMN，在△FDM和△ＢＭN中,，∴△FDM≌△BＭＮ（AＳＡ),∴ＤM=MN.（２)點(diǎn)M在AB的延長線上，如圖2所示，在AＤ的延長線上截取AF=AM,∵△ABD是等邊三角形，∴△AMF是等邊三角形,∴DＦ=ＭB,∠DFＭ=60°，∵ＢN是∠DＢA外角平分線,∴∠MBＮ＝60°，∴∠DFM＝∠MＢN，∵∠BMN=∠AMD+∠DＭN,∠FDM=∠Ａ+∠ＡＭＤ，∠DＭN=∠A=60°,∴∠FDM=∠BMN，在△FDM和△BＭN中,，∴△FDM≌△ＢMＮ(ＡＳA),∴DＭ=MN．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.９.(20１5春?閔行區(qū)期末)如圖所示,在正方形ABCD中，Ｍ是CD的中點(diǎn),E是CＤ上一點(diǎn),且∠BAＥ=２∠DＡM.求證：AE=BC+CE.【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題．【分析】延長AＢ到F，使ＢF=CＥ，連接ＥF與BＣ相交于點(diǎn)N，利用“角角邊”證明△BFＮ和△CＥN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=CN,EN=FN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠ＢAN=∠EAN,再根據(jù)等腰三角形三線合一可得AＥ=AF,從而得證.【解答】證明：如圖,延長AB到F,使BF=ＣE,連接EＦ與BＣ相交于點(diǎn)N，在△ＢＦＮ和△CEＮ中,，∴△ＢＦN≌△CＥN(AＡS），∴BN=CN，EN=FN,又∵Ｍ是CＤ的中點(diǎn),∴∠BAＮ=∠ＤAM,∵∠BＡE=２∠DAM,∴∠BAN=∠EAＮ,∴AN既是△ＡＥF的角平分線也是中線，∴AE=AF，∵AF=AB+ＢF,∴AE=ＢＣ+ＣE．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和全等三角形．10.已知：如圖,ABＣD是正方形，∠FAＤ＝∠FAE．求證:BE+DF=ＡE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì)．【專題】證明題.【分析】延長CB到Ｇ，使BG＝DＦ，連接ＡG,由四邊形AＢＣＤ為正方形,利用正方形的性質(zhì)得到AＢ=AD，AB∥ＣD，∠D=∠ABC=９0°,進(jìn)而得到∠５=∠BＡＦ=∠1+∠３，∠ABG=１８０°﹣∠ABC=９0°，利用SＡS得到三角形ＡBG與三角形ADG全等,利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠G=∠5，∠１=∠2=∠４，等量代換得到∠G=∠EAG,利用等角對等邊得到AE=ＧE，由GE=BE+BG,等量代換即可得證．【解答】解：延長CＢ到Ｇ,使BＧ=DF，連接AG，∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=AD,ＡＢ∥CD，∠D=∠ABＣ=9０°，∴∠５＝∠BAF=∠1＋∠3，∠ABＧ=１80°﹣∠ABＣ=90°,在△ABG和△ＡDG中，，∴△ABG≌△ＡDＦ(SAS）,∴∠G＝∠5，∠1=∠2=∠4,∴∠G=∠５=∠1+∠3＝∠4+∠３=∠EAＧ，∴AE=GE＝ＢE+GB=BE+DＦ．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．11．（201０秋?巢湖期中)如圖,CE、ＣB分別是△ABＣ、△ADC的中線，且AB＝AC.求證:CD＝2CE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題.【分析】延長CE到F,使CE＝EF,連接FB，由△AEC≌△BＥF得出對應(yīng)的邊角相等，進(jìn)而求證△CBＦ≌△CBD，即可得出結(jié)論.【解答】證明:延長CE到Ｆ,使EF＝CE，連接FB.∵ＣE是△ＡBC的中線,∴ＡE=EＢ,又∵∠AEC＝∠ＢＥF,∴△AEC≌△BEF，(SＡＳ)∴∠A=∠ＥBF,AＣ=FB．∵AＢ=AC，∴∠AＢC=∠ＡCB，∴∠CBD=∠A+∠ＡＣB＝∠EBF＋∠ＡBＣ＝∠CBF；∵CB是△ADＣ的中線，∴AＢ=ＢD,又∵ＡB=ＡＣ，AＣ=ＦＢ，∴FB=BD，又CB=CＢ，∴△CＢF≌△CBD(ＳAS），∴ＣD=ＣＦ=CＥ＋ＥF=2CE.【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).解決此題的關(guān)鍵是通過延長中線構(gòu)造全等三角形.考點(diǎn)卡片1．三角形三邊關(guān)系(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（２)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式,只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（３）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈,容易忽略.2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．3．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等;③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言:如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA,CE⊥OB∴ＣD＝CE4.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．(2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱:等邊對等角】③等腰三角形的