第01講 實數(shù)的概念及數(shù)的開方（核心考點講與練）-2021-2022學年七年級數(shù)學下學期考試滿分全攻略（滬教版）（原卷版）

第01講實數(shù)的概念及數(shù)的開方（核心考點講與練）一、實數(shù)的概念1、無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)．注意：1)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；2)圓周率π是一個無理數(shù)．2、無理數(shù)也有正、負之分．如、、等這樣的數(shù)叫做正無理數(shù)；、、這樣的數(shù)叫做負無理數(shù)；只有符號不同的兩個無理數(shù)，如與，與，稱它們互為相反數(shù)．3、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．（1）按定義分類（2）按性質(zhì)符號分類 二、數(shù)的開方開平方：定義：求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方．如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根．這個數(shù)叫做被開方數(shù)．如，，的平方根是．說明：只有非負數(shù)才有平方根，負數(shù)沒有平方根；平方和開平方互為逆運算．算術(shù)平方根：正數(shù)的兩個平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根），讀作“根號”；表示的負平方根，讀作“負根號”．★注意：1）一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；零的平方根是0；2），2是被開方數(shù)的根指數(shù)，平方根的根指數(shù)為2，書寫上一般平方根的根指數(shù)2略寫；3）一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0．開立方：1、定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方．2、如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根，用“”表示，讀作“三次根號”，中的叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)．★注意：任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個立方根；負數(shù)有立方根；零的立方根是0；一個數(shù)的立方根是它本身，則這個數(shù)是0，1和-1．開次方：1、求一個數(shù)的次方根的運算叫做開次方．叫做被開方數(shù)，叫做根指數(shù)．如果一個數(shù)的次方（是大于1的整數(shù)）等于，那么這個數(shù)叫做的次方根．當為奇數(shù)時，這個數(shù)為的奇次方根；當為偶數(shù)時，這個數(shù)為的偶次方根．★注意：實數(shù)的奇次方根有且只有一個，用“”表示．其中被開方數(shù)是任意一個數(shù)，根指數(shù)是大于1的奇數(shù)；正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，正次方根用“”表示，負次方根用“”表示．其中被開方數(shù)，根指數(shù)是正偶數(shù)（當時，在中省略）；負數(shù)的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示為．三、數(shù)的方根的非負性數(shù)的方根運算：方根的混合運算，根據(jù)方根性質(zhì)判斷取值范圍；應(yīng)用：與整式、分式的綜合應(yīng)用．考點一：實數(shù)的概念【例題1】．（2019·上海市香山中學七年級期中）下列說法中，正確的是()A．無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負無理數(shù)B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．正實數(shù)包括正有理數(shù)和正無理數(shù)D．實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類【變式訓練1】．（2019·上海市進才中學北校七年級月考）下列各數(shù)、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之間每一個間隔就多一個0）、、0.451452453454，其中無理數(shù)的個數(shù)是_____________________。考點二：數(shù)的開方【例題2】（2019·上海市光明中學七年級期中）下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【變式訓練1】（2019·上海浦東新區(qū)·七年級月考）下列結(jié)論正確的是（）A．； B．沒有平方根 C．的平方根是 D．的平方是.【變式訓練2】（2019·上海市市西初級中學七年級期中）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【變式訓練3】（2019·上海市中國中學七年級期中）下列計算正確的是()A．16=±4 B．?C．a(chǎn)2=a 【例題3】（2021·上海九年級專題練習）下列說法正確的是（）A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的數(shù)有0，1C．是36的算術(shù)平方根 D．立方根等于本身的數(shù)有－1，0，1【變式訓練1】（2021·上海九年級專題練習）下列說法錯誤的是（）A．的平方根是± B．﹣9是81的一個平方根C．的算術(shù)平方根是4 D．＝﹣3【變式訓練2】（2021·上海九年級專題練習）7的平方根是______，______．【例題4】（2020·上海楊浦區(qū)·期末）方程的解是__________．【變式訓練1】（2020·上海金山區(qū)·月考）方程的根是_______________【例題5】（2018·上海虹口區(qū)·期末）計算：__________．【變式訓練1】（2019·上海楊浦區(qū)·七年級期末）1的四次方根是___________．考點三：方根的非負性【例題6】當x取何值時，下列各式有意義：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【變式訓練1】若有意義，則=__________．【變式訓練2】互為相反數(shù)，求2x-5y的值．【變式訓練3】已知，求的值．【變式訓練5】已知y=，求xy的平方根．1.為什么是無理數(shù)?請說明理由．2.已知：，，利用以上結(jié)果，求下列各式的近似值．（1）_______； （2）____________；（3）_________； （4）______________；（5）___________； （6）_____________．3.填寫下表，并回答問題：a…0.0000010.001110001000000…….……數(shù)a與它的立方根的小數(shù)點的移動有何規(guī)律?根據(jù)這個規(guī)律，若已知，求a的值．4.閱讀下面材料并完成填空：你能比較兩個數(shù)20162017和20172016的大小嗎？為了解決這個問題先把問題一般化，要比較nn＋1和（n＋1）n的大?。ǖ恼麛?shù)），先從分析n＝1，＝2，＝3，……這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論.（1）通過計算，比較下列①—⑦各組中兩個數(shù)的大?。ㄔ跈M線上填“＞、＝、＜”號①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）對第（1）小題的結(jié)果進行歸納，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小關(guān)系:______（3）根據(jù)上面的歸納結(jié)果猜想得到的一般結(jié)論是：20162017_____20172016．5.（2020·山西呂梁市·七年級期中）（閱讀材料）數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計算的奧妙．你知道怎樣迅速準確的計算出結(jié)果嗎？請你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個兩位數(shù)．第二步：∵59319的個位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．（解答問題）根據(jù)上面材料，解答下面的問題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．6．（2019·廈門市湖濱中學七年級期中）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（2）請你根據(jù)（1）中小明的方法，猜想;.請選擇其中一個立方根寫出猜想、驗證過程。7.已知，求的值．8.當時，求的值．9.設(shè)等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不相等的實數(shù)，求的值．10.已知，求x的個位數(shù)字．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2020·上海浦東新區(qū)·七年級期末）下列各數(shù)：，0，，，0.3030030003，中，無理數(shù)個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2019·上海市進才中學北校七年級月考）下列說法正確的是（）A．任意一個數(shù)算術(shù)平方根是正數(shù) B．只有正數(shù)才有算術(shù)平方根C．因為3的平方是9，所以9的平方根是3 D．-1是1的平方根3．（2020·上海市中國中學七年級月考）下列說法中正確的是（）A．的平方根是2 B．負數(shù)沒有立方根C．零沒有平方根 D．任意一個實數(shù)都有立方根4．（2019·上海市進才中學北校七年級月考）下列各數(shù)、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之間每一個間隔就多一個0）、、0.451452453454，其中無理數(shù)的個數(shù)是_____________________。5．（2020·上海市民辦立達中學七年級月考），，，則_______________；6．（2019·上海崇明區(qū)·）計算：__________．題組B能力提升練一、單選題1．（2018·上海金山區(qū)·七年級期中）下列運算中正確的是（）A． B．C． D．2．（2019·上海市江寧學校）下列說法正確的是（）A．是0.5的平方根B．正數(shù)有兩個平方根，且這兩個平方根之和等于0C．的平方根是7D．負數(shù)有一個平方根3．（2019·上?？亟袑W附屬民辦學校七年級單元測試）下列說法中，錯誤的是A．一個正數(shù)的兩個平方根的和為零 B．任意一個實數(shù)都有奇次方根C．平方根和立方根相等的數(shù)只有零 D．mm＞0的4次方根是4．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級期中）如果x取任意實數(shù)，那么以下式子中一定表示正實數(shù)的是()A．x B． C． D．|3x＋2|5．（2019·上海市嘉定區(qū)震川中學七年級期中）下列說法正確的是()A．平方根是本身的數(shù)只有0; B．立方根是本身的數(shù)只有0和1;C．絕對值是本身的數(shù)只有0和1; D．相反數(shù)是本身的數(shù)只有0和1.6．（2019·上海全國·七年級單元測試）–27的立方根與的平方根之和是A．0 B．–6C．0或–6 D．67．（2019·上海七年級課時練習）下列說法中正確的有（）個.①負數(shù)沒有平方根，但負數(shù)有立方根．②49的平方根是±23，8③如果x2A．1 B．2 C．3 D．48．（2018·上海七年級零模）下列說法正確的是（）A．﹣81平方根是﹣9B．的平方根是±9C．平方根等于它本身的數(shù)是1和0D．一定是正數(shù)9．（2019·上海全國·七年級單元測試）下列各數(shù)：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的個數(shù)是()A．3個B．4個C．5個D．6個二、填空題10．（2019·上海市嘉定區(qū)震川中學七年級期中）的立方根是___________．11．（2019·上海市西南位育中學七年級期末）的值是_________；的立方根是_________．12．（2019·上海市三門中學七年級期中）下列各式中：①；②；③；④期中正確的有____________.（填寫序號）13．（2016·上海奉賢區(qū)·七年級期中）若的立方根等于，則=______.14．（2018·華東理工大學附屬中學七年級月考）25的立方根是__________________15．（2020·上海同濟大學實驗學校七年級期中）如果的平方根是，則_________16．（2018·上海松江區(qū)·七年級期末）若一個數(shù)的平方等于5，則這個數(shù)等于_____．17．（2019·上海虹口區(qū)·七年級月考）一個棱長為1dm的正方體，要使它保持正方體形狀但體積增加1倍，則這個新正方體的棱長是______dm.18．（2019·上海虹口區(qū)·七年級月考）學校要圍一個占地面積144平方米的正方形花圃，需要準備竹籬笆的長度為_______.19．（2019·上海虹口區(qū)·七年級月考）已知｜a+2｜=0，那么=______.題組C培優(yōu)拔尖練1．（2019·上海全國·七年級單元測試）已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平方根．2．（2019·上海市江寧學校）已知，求的平方根。3．（2019·上海七年級課時練習）已知實數(shù)，滿足求｜－1|＋｜＋1｜的值．4．（2019·上?？亟袑W附屬民辦學校七年級單元測試）若實數(shù)使得與互為相反數(shù),求的四次方根.5．（2019·上海市進才中學北校七年級月考）已知：,求的值。6．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級期中）已知，，求的平方根．7．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級