北交大激光原理-第4章-諧振腔部分

第三章光學(xué)諧振腔理論一、學(xué)習(xí)要求與重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)要求了解光學(xué)諧振腔的構(gòu)成、分類(lèi)和模式等基本知識(shí)，及其研究方法。理解腔的損耗和無(wú)源腔的單模線(xiàn)寬。掌握傳播矩陣和光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件。理解自再現(xiàn)模積分本征方程，了解針對(duì)平行平面腔模的數(shù)值迭代解法，理解針對(duì)球面對(duì)稱(chēng)共焦腔模式積分本征方程的近似方法及其解。掌握等價(jià)共焦腔方法，掌握諧振腔的模式概念和光束特性。了解非穩(wěn)腔的模式理論。重點(diǎn)諧振腔的作用，諧振腔的構(gòu)成和分類(lèi)，腔和模的聯(lián)系;傳播矩陣分析方法；光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件；模自再現(xiàn)概念；自再現(xiàn)模積分本征方程的建立，及其近似；球面對(duì)稱(chēng)共焦腔積分本征方程的近似方法，及其解；諧振腔的橫縱模式和光束特性；穩(wěn)定諧振腔的等價(jià)共焦腔。難點(diǎn)傳播矩陣的近似；非穩(wěn)腔；模自再現(xiàn)概念；自再現(xiàn)模積分本征方程的建立球面對(duì)稱(chēng)共焦腔積分本征方程的近似方法，及其解；諧振腔的橫縱模式和光束特性；二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)諧報(bào)腔的作用T腔和模的聯(lián)系mm的電礁場(chǎng)0膠內(nèi)存在的電破場(chǎng)諧報(bào)腔的作用T腔和模的聯(lián)系mm的電礁場(chǎng)0膠內(nèi)存在的電破場(chǎng)分龍的本征態(tài)（報(bào)蕩頻率.空間分布）5激光模式形成駐波t縱模w＞尢的頻率.衍射篩選t橫模亠J光場(chǎng)橫向能U分布.模式的表示方法：7TA仁橫模折數(shù)?“-縱模指數(shù)模式的形成T反映腔內(nèi)光場(chǎng)的分布論方法［衍射理論：不問(wèn)模式按場(chǎng)分布.損耗.諧據(jù)頻率來(lái)區(qū)分."T（幾何光學(xué)+T?涉儀理論：忽略饑邊緣引起的衍射效應(yīng).不冋模式按傳輸方向和諧報(bào)孩率區(qū)分一機(jī)略但簡(jiǎn)單明了光腔的橫耗一光子的平均壽由一無(wú)憑腔的Qtfi—無(wú)憑腔的線(xiàn)室十非穩(wěn)定腔n適用任何形式的腔.只耍列出往返矩陣軟能判斷其穩(wěn)定勺否共軸球而腔的穩(wěn)定條件：穩(wěn)定判據(jù)1(A+D)=+1共軸球而腔的穩(wěn)定條件：穩(wěn)定判據(jù)1(A+D)=+1竊界腔°n只使川于簡(jiǎn)單的共軸球而恤腔（血腔）1.諧撮腔衍射積分方程推導(dǎo)菲涅爾基爾需夫枳分公式T推廣到諧按腔'；逼?麗驚旳再現(xiàn)模積分方程亠絲解析A鈍特殊腔（対稱(chēng)共寫(xiě)腔）］J本征函數(shù)一按幅和相位分布（等相位而）數(shù)值求解（數(shù)tfl迭代法） jT（本征值一模的損耗、相移和諧撮皴率??■*?：乂?U?>)?yE離前橫&和位分布：反射鏡構(gòu)成尊柏位而對(duì)frnftiw的自再現(xiàn)*水征(At徑向長(zhǎng)fffi球傍政t林她Tn不硼仙.惻形也:本tffflT縝程MR：'?一滄|?—【別雌(CMiXC廳敏程tfl移：-argr^--A￡+(?+w+l)i?fc?*： 條件2A0_?p?餉Tj?舟口+(in"+切單e?R： 出.饑程相移：■呻卩_?W+Qw+M+U；心5?yE島旳橫蟆 y出位分布：反射鏡溝曲?帕也面iWftlW?:ifflh條件T\j■遼口+(*u+2ji+m廉棧畑曲.g|?3話(huà)「箱?呦?岸片為樓休枳R(shí)WttW近近似為球厲遠(yuǎn)場(chǎng)加阪見(jiàn)：s?卿浮說(shuō)越定球ZPZ共煽erj踐定球何栓的弟價(jià)關(guān)*三、典型問(wèn)題的分析思路縱模間隔問(wèn)題根據(jù)縱模頻率間隔的公式計(jì)算A1/=—，問(wèn)題還可以變?yōu)榍婚L(zhǎng)如何選擇，可獲得單縱?！?〃厶輸出等。分析某一諧振腔的穩(wěn)定性問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題分三種情況，第一種是只由兩個(gè)球面鏡組成的共軸球面鏡腔，可以利用下面的穩(wěn)定腔判據(jù)公式：0<vlor￡=g2=0I厶 iL第二種情況是兩個(gè)球面鏡組成的共軸球面鏡腔中插入其它光學(xué)元件。這時(shí)要首先寫(xiě)出這個(gè)諧振腔的傳輸矩陣。利用下面的穩(wěn)定判據(jù)公式：-l<i（A+D）<l穩(wěn)定腔2i（A+D）>1非穩(wěn)定腔1（a+d）=±i臨界腔2分析諧振腔各參數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足的條件。第三種情況是非共軸球面鏡腔，如折疊腔和壞形腔。求壞形腔、折疊腔的往返矩陣時(shí)，要將其化為直腔，如呆考慮象散，需要對(duì)往返矩陣的修正。對(duì)于共軸球面鏡腔的近（傍）軸光R線(xiàn)f=-o而對(duì)于環(huán)形腔和折疊腔（非共軸球面腔），由于象散，球面鏡在子午面和弧矢

面的焦距不共點(diǎn)。其中子午面為壞形回路所在平面，弧矢面為包含回路一邊長(zhǎng)，垂直于子

午面的平面。對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€(xiàn)，昇牛=#cos6L對(duì)于在與此R垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€(xiàn)，/?= ,0為光軸與球面鏡法線(xiàn)的夾角。cos。諧振腔損耗問(wèn)題光學(xué)諧振腔積分方程的特征值丫=嚴(yán),它的實(shí)部決定腔損耗，特征值/的虛部決定光波的單程相移。將特征值代入U(xiǎn)<l+l=yUg中得：U<{+1=e~aUqe~ip.即廠(chǎng)。表示腔內(nèi)經(jīng)單程度越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。即7的實(shí)部決定腔損耗，0表示每經(jīng)一次度越的相位滯后，所以了的虎部決定的單程相移。

單程損耗:此=1-K<rn|2=1-比,必『?jiǎn)纬滔嘁疲骸颉薄?aig亠=噸0”6?ittit共焦腔模的諧振條件方形鏡共焦腔諧振頻率vw=-^―[q+丄（m+〃+1）]2函』-處2心 2応2圓形鏡共焦腔諧振頻率=-^―[q+-（〃卄2n+1）]2〃厶2共焦腔問(wèn)題例如求方形鏡或圓形鏡共焦腔面上各階（低階）橫模的節(jié)線(xiàn)位置。對(duì)于方形鏡共焦腔，鏡面上的高階橫模與基模光斑尺寸之比為而圓形鏡共焦腔鏡面上的高階橫模的光斑半徑叫卜=扣+弓％°只要求得了鏡面上基模光斑的人小，就可求出高階橫模的光斑半徑。我們知道方形鏡和圓形鏡鏡面上基模光斑的人小都為％我們知道方形鏡和圓形鏡鏡面上基模光斑的人小都為％方形鏡共焦腔和圓形鏡共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同?；?chǎng)振幅分布x?+y2l^oo（x,y,基模場(chǎng)振幅分布x?+y2l^oo（x,y,刃=Ao^o航;）積:第二舟 w°s二J(2m積:第二舟 w°s二J(2m+1X2門(mén)+1)乎（模階次愈高模體積愈人）等相位面（共焦場(chǎng)的等相位面近似為球面）的曲率半徑：R（Z°）=ZQ=±f=±- R（z0）=2f=L一一等相位面與共焦腔鏡面重合。2鬲=0 尺（為）—8；為T(mén)8R（%）too 等相位面為平面一般穩(wěn)定球面腔問(wèn)題可以借助于其等價(jià)共焦腔行波場(chǎng)的解析解的特性表達(dá)出來(lái)，此處可參考教科書(shū)。非穩(wěn)定諧振腔問(wèn)題關(guān)于非穩(wěn)定諧振腔的問(wèn)題主要包括求出共軌像點(diǎn)片和匚的位置；計(jì)算非穩(wěn)腔的能量損耗率、幾何放大率等。共軌像點(diǎn)片和鬥的位置分別為也,由球面鏡成像公式11_2厶+/】l2r211_2［厶+「%解得:-L(L-RJpL(L-R)x(L-R”(L-&-RJ

2L_&_R：—UL—R)+JL(L-R)x(L-Rjx(L-&-RJ

2L—&—R)鏡的單程放人率〃人=工a2非穩(wěn)腔對(duì)幾何自再現(xiàn)波型在腔內(nèi)往返一周的放大率M=對(duì)望遠(yuǎn)鏡非穩(wěn)定腔〔實(shí)共焦腔和虛共焦腔）叫=空=a2平均單程能量損耗鼻程=1一血叮=1-往返能量損耗站尸m琲存T四、思考題光學(xué)諧振腔的作用是什么？光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？光學(xué)諧振腔的橫模模斑形狀是客觀(guān)存在，還是有人為因素，為什么？光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒(méi)有例外？穩(wěn)定條件的導(dǎo)出根據(jù)何在？所謂“自洽”在光學(xué)諧振腔模式討論中是如何應(yīng)用的？諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過(guò)程中，只是要求光線(xiàn)相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？共焦腔是什么腔？穩(wěn)定性如何？共焦腔是不是穩(wěn)定腔？為什么？什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么？幾何損耗存在于哪一類(lèi)型的諧振腔中？光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？分別由方形鏡和圓形鏡組成穩(wěn)定諧振腔有沒(méi)有區(qū)別，為什么？為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值卩的實(shí)部決定腔損耗？為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值卩的虛部決定光波的單程相移？穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線(xiàn)的單程相對(duì)功率損耗l-1/r，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗人小，你愿意用哪個(gè)，為什么？為什么說(shuō)對(duì)稱(chēng)共焦腔非常重要？試由行波場(chǎng)導(dǎo)出圓形鏡共焦腔內(nèi)的波前表示。同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？高階橫模的不同模斑假設(shè)相遇，能否干預(yù)，為什么？28?假設(shè)A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入E激光器，E激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？29.能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？光學(xué)諧振腔的作用。是什么？光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？CO：激光器的腔長(zhǎng)L=,增益介質(zhì)折射率〃=1,腔鏡反射系數(shù)分別為門(mén)=0.985,門(mén)=0.8,忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗5,光子壽命Qr,0值和無(wú)源腔線(xiàn)寬Avo4.074.07A。折射率分別為弘,“2證明：下列圖所示的球面折射的傳播矩陣為仏一7f]2R的兩介質(zhì)分界球面半徑為凡5.6.證明：卜?列圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為棱鏡高d。-12d5.6.證明：卜?列圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為棱鏡高d。-12d〕-1o折射率為n的已知兩平板的折射系數(shù)及厚度分別為山，右，心叢。(1)兩平板平行放置，相距/,(2)兩平板緊貼在一起，光線(xiàn)相繼垂直通過(guò)空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么？光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒(méi)有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過(guò)程中，只是要求光線(xiàn)相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？有兩個(gè)反射鏡，鏡面曲率半徑，/?i=—50cm,/?2=100cm，試問(wèn)：構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多人？構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范闈？構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范闈？共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對(duì)應(yīng)傳輸矩陣元為測(cè)，腔鏡曲率半徑為&、&,證明：穩(wěn)定性條件為0 vl,其中g(shù)嚴(yán)D—B/Rjg2=A-B/R2.試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。激光器諧振腔由一面曲率半徑為lm的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)，其折射率為1.52,求腔長(zhǎng)厶在什么范闈內(nèi)是穩(wěn)定腔。如下列圖所示三鏡壞形腔，已知/,試畫(huà)出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑在什么范禺內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況卞，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€(xiàn)，f=Reosd/2.,對(duì)于在于此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€(xiàn)，f=D(2cos?,8為光軸與球面鏡法線(xiàn)的夾角。什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么？幾何損耗存在于哪一類(lèi)型的諧振腔中？光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔枳分方程的特征值了的模決定腔損耗？為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔枳分方程的特征值/的幅角決定光波的單程相移？穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現(xiàn)模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學(xué)的方法研究各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思相*?諧振腔腔長(zhǎng)厶=lm,介質(zhì)折射率”=1,兩腔鏡反射系數(shù)分別為n=l,c=0.99,求1500MHz線(xiàn)寬內(nèi)包含的縱模個(gè)數(shù)。R=100cm,L=40cm的對(duì)稱(chēng)腔，相鄰縱模的頻率差為多少？假設(shè)法卜里-cm,它的自由譜寬為多少,能否分辨2=6xlO"4WW,M的HeNe激光譜線(xiàn)？Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線(xiàn)的單程相對(duì)功率損耗1-1/尸，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？試由方形鏡共焦腔內(nèi)行波場(chǎng)，導(dǎo)出腔內(nèi)等相位面表示。同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？高階橫模的不同模斑假設(shè)相遇，能否干預(yù)，為什么？分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒(méi)有區(qū)別，為什么？能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？為什么說(shuō)對(duì)稱(chēng)共焦腔非常重要？如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗人小，你愿意用哪個(gè)，為什么？腔長(zhǎng)厶=lm的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為R嚴(yán),忌=3m,求其等效共焦腔的腔長(zhǎng)，并畫(huà)出等效共焦腔的位置。方形孔徑共焦腔氨氛激光器，腔長(zhǎng)厶二30cm,腔鏡反射率分別為n=l,門(mén)，方形孔邊長(zhǎng)d=2a=,其它損耗以每程0.003計(jì)，工作波長(zhǎng)Aimio此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇TEHo模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多人？試根據(jù)公式=1+3xIO~4L估算氨氛增益，/為增益介質(zhì)放電管d長(zhǎng)度。腔長(zhǎng)厶的對(duì)稱(chēng)雙凹腔，反射鏡曲率半徑為R=L,工作波長(zhǎng)為2,求鏡面上的基模高斯光束的光斑半徑。今有一平面反射鏡和一曲率半徑為/?=lm的凹面反射鏡，問(wèn)：應(yīng)如何構(gòu)成一平-凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角：畫(huà)岀光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)厶的關(guān)系曲線(xiàn)。試導(dǎo)出如卜?腔型所對(duì)應(yīng)的共軌共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。試求出方形鏡共焦腔面上TEM3O模的節(jié)線(xiàn)位置，這些節(jié)線(xiàn)是等距分布的嗎？求圓形鏡共焦腔TEM0和TEM^模在鏡面上光斑的節(jié)線(xiàn)位置。腔長(zhǎng)L=0.8m的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為用=和忌=lm。試證明該腔為穩(wěn)定腔:求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)：在圖上畫(huà)出等價(jià)共焦腔的具體位置。某二氧化碳激光器采用平、凹腔，厶=50cm,R=2m,2a=lcm,兄=10.6卜屮。試計(jì)算他］、叫、%、%、氓、殆各為多少。試證明，在所有cr/LA相同而R不同的對(duì)稱(chēng)球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損耗最低。L表示腔長(zhǎng)，R=R嚴(yán)R,為腔鏡的曲率半徑，a為鏡面半徑。推導(dǎo)出平-凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑人小的表示式，做出：（1）當(dāng)/?=100cm時(shí),嗎、d隨厶而變化的曲線(xiàn)；⑵當(dāng)厶=100cm時(shí)，0］、隨只而變化的曲線(xiàn)。平凹腔中凹面鏡曲率半徑為/?,腔長(zhǎng)厶R，光波長(zhǎng)為兄，求此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑。試證明經(jīng)過(guò)焦距為尸的薄透鏡，高斯光束的q參數(shù)傳播滿(mǎn)足ABCD定律。假設(shè)A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？已知一高斯光束束腰半徑為s，束腰與焦距為/的薄透鏡相距為/,經(jīng)透鏡變換后傳輸距離人，又經(jīng)一折射率為”，長(zhǎng)厶的透明介質(zhì)后輸出1如下列圖所示），求：1） 高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)和光斑半徑；2） 假設(shè)將介質(zhì)移到薄透鏡處，即A=0（不考慮可能存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角8;兩支He-Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如下圖，請(qǐng)問(wèn)在何處插入焦距為多少的透鏡可以實(shí)現(xiàn)而者的模式匹配。

式的光斑人小超過(guò)鏡面尺寸，則認(rèn)為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。55.己知高斯光束的束腰半徑為求：1） A點(diǎn)與束腰相距為乙求光斑半徑忒乙）：2） 如果測(cè)量到A點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最人值的扌處的半徑為緯，求妙和忒Z）的關(guān)系。六、部分答案光學(xué)諧振腔的作用。是什么？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔答：一是提供正反饋，二是控制振蕩模式特性。光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔，構(gòu)成要素，作用答：光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有：是否有邊界、是否有反射鏡以外的反射面、反射鏡外形、反射鏡面形狀、鏡曲率半徑與腔長(zhǎng)關(guān)系。是否有邊界，決定光學(xué)諧振腔是否是封閉腔、波導(dǎo)腔或開(kāi)式腔；是否有反射鏡以外的反射面，決定光學(xué)諧振腔是復(fù)合腔還是簡(jiǎn)單腔；反射鏡面形狀，決定光學(xué)諧振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是雙凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、雙凸腔；鏡曲率半徑與腔長(zhǎng)關(guān)系，決定光學(xué)諧振腔是穩(wěn)定腔、臨界腔或非穩(wěn)腔。CO2激光器的腔長(zhǎng)L=，增益介質(zhì)折射率n=l,腔鏡反射系數(shù)分別為rl=0.985,12=0.8,忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗5,光子壽命抵，Q值和無(wú)源腔線(xiàn)寬Al\解題思考：關(guān)鍵概念：諧振腔單程損耗因子5、光子壽命鼻、0值和無(wú)源腔縱模線(xiàn)寬△",腔鏡反射系數(shù)，CO：激光器的波長(zhǎng)關(guān)鍵公式：5=丄2眶L'8cQ=A C 1△q= 111——R4龍&r{r2解:S=-\n—=-ln————=0.1192花2 0.985x0.815rR=—= ——-=4.2xWs（5）R6c0.119x3x10sQ=2twtk=2^x4.2xl0_sx3>d° =7.47xlO6R 10.6x10-6

111—4兀L' /[r111—4兀L' /[r231n 14/rxL50.985x0.8=3.8x106(Z/z)1弘一7證明：下列圖所示的球面折射的傳播矩陣為L(zhǎng)"丄R07」。折射率分別為〃"力的兩介質(zhì)分界球面半徑為R兩介質(zhì)分界球面光線(xiàn)出射處：/;=r. (1)由折射定律和旁軸光線(xiàn)近似：魚(yú)=竺?◎纟 ⑵srnQQb=―=0+e以及入射、反射和折射光線(xiàn)間的幾何關(guān)系：(3)0+q=2q+q

式⑴~(3)聯(lián)立解得:1=魚(yú)qLgR77」(上式寫(xiě)成矩陣形式:證畢［】糾〃證明：下列圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為L(zhǎng)°1」。折射率為耳的棱鏡高d。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：「1L,平面鏡反射傳播矩陣：10010110平面界面透射傳播矩陣：_ 4U—h2_關(guān)鍵點(diǎn)：以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘枳。解：設(shè)圖中棱鏡材料中光垂直方向傳播距離為21/? 1-//d< >101211001101211001010101Ollid-l10導(dǎo)出下列圖中1、2、3光線(xiàn)的傳輸矩陣。解題思考：關(guān)鍵概念傳播矩陣關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：0,球面界面反射傳播矩陣:2 ],平面鏡反射傳播矩陣:10，球面界面透射傳播矩陣：E關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：0,球面界面反射傳播矩陣:2 ],平面鏡反射傳播矩陣:10，球面界面透射傳播矩陣：E-厲乞八R山關(guān)鍵點(diǎn)：以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：設(shè)圖中透鏡材料的折射率為n?]0?光線(xiàn)1:丄]_R_[10]光線(xiàn)2: 1_川川2d7.1+"—nRd'nH-11LR己知兩平板的折射系數(shù)及厚度分別為nl，db112,d2o⑴兩平板平行放置，相距1,⑵兩平板緊貼在一起，光線(xiàn)相繼垂直通過(guò)空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么?解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣關(guān)鍵公式：長(zhǎng)方體傳播傳輸矩陣：關(guān)鍵公式：長(zhǎng)方體傳播傳輸矩陣：0n，各向同性自由空間傳播傳輸矩陣:平面界面透射傳播矩陣:關(guān)鍵點(diǎn):以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。平面界面透射傳播矩陣:關(guān)鍵點(diǎn):以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：(1)d2n21[1解：(1)d2n21[10[1yn20101010⑵10另法解:光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒(méi)有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過(guò)程中，只是要求光線(xiàn)相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔，光學(xué)諧振腔穩(wěn)定條件關(guān)鍵公式:cTT/；!TA.關(guān)鍵公式:cTT/；!TA.答：光學(xué)諧振腔穩(wěn)定條件是0這是一個(gè)要求很高的條件，沒(méi)有例外。這是因?yàn)?，在?dǎo)出這一穩(wěn)定條件時(shí)，盡管只是要求光線(xiàn)相對(duì)于光軸的偏折角小于90度，并沒(méi)有限定光線(xiàn)的往還次數(shù)，因此這是一個(gè)嚴(yán)苛的條件。有兩個(gè)反射鏡，鏡面曲率半徑，Rl=—50cm,R2=100cm,試問(wèn)：構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多人？構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范闈？構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范闈？

解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振穩(wěn)定條件：Ovg&vl g】=l—2g,=i__LTOC\o"1-5"\h\zR\ R2關(guān)鍵公式：穩(wěn)定腔：Ovg&vl,介穩(wěn)腔:g[g2=0或glg2=1,非穩(wěn)腔:g&vO解：⑴由8^2=0'有（1一上-）（1一土）=0，解得：L=100或厶=一50（無(wú)物理意義，舍棄）—50 100由￡g「=l，有（1一一）（1-—）=n解得：l=5o或厶=o（無(wú)物理意義，舍棄）-50 100構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距：L=50或100（2）由0Vg]gr<1,有0v（l—A）（l—-L）vl,解得:50<L<l00或一50<L<0（無(wú)? -50 100物理意義，舍棄）構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距：50v厶V100⑶由<0, ）<0,解得：厶>100或厶<一50（無(wú)物理意義，舍棄）—50 100由 有（1-—）（1-—）>B解得：0<L<50-50 100構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距：厶>100或0<厶V50共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：共焦腔、對(duì)稱(chēng)共焦腔、穩(wěn)定腔關(guān)鍵公式：光學(xué)諧振穩(wěn)定條件：Ovg^/Cl,共焦腔：厶=*&+*兒關(guān)鍵點(diǎn)：腔鏡曲率半徑的正負(fù)解:共焦腔："詁+釵gf：=（1一#）（1-呂）=Q-）（1-1■1=0r=0rl=r2對(duì)稱(chēng)共焦腔=1=1<0<0R嚴(yán)-R21RrR、[=1有:隅蔦（2++1r2R嚴(yán)&（非共焦腔舍棄）R\主~R2r =0由：（a-bY<7>0.以j=2crr =0由：（a-bY<7>0.以j=2cr>2RZ所以:f=ory=r2[<0R嚴(yán)R2假設(shè)該共焦腔為凹凸腔:R、XR.可令:綜上所述，由光學(xué)諧振穩(wěn)定條件：0<^^2<1判定，共焦腔不是穩(wěn)定腔：只有對(duì)稱(chēng)共焦腔是介穩(wěn)腔，其它結(jié)構(gòu)類(lèi)型的共焦腔均是非穩(wěn)腔。腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對(duì)應(yīng)傳輸矩陣元為ABCD,腔鏡曲率半徑為X、凡，證明：穩(wěn)定性條件為°vg&vl,其中g(shù)\=D-Bfg2=A-B/R2o解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、穩(wěn)定腔、傳播矩陣■?■10關(guān)鍵公式：球面界面反射傳播矩陣：]_~R_關(guān)鍵點(diǎn)：以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積，并考慮光線(xiàn)在諧振腔中的多次往返。"AB'"AB解：光線(xiàn)在諧振腔中的一次往返： 2]一只

E=A2-—+BCr2f=ab-—+bdr2廠(chǎng)2A2 (2Bnv24廠(chǎng)、其中:G 卜AC+( fD)( fC)其中:&&&?2AB”(2B小,2B小H= +BC+( +￡))( +D)R1R1R2由:可得:由:可得:±=2zA,&BE=2Ag2-A2+BCM：F=2Bg2-AB+BDM：2G=-(glA2+2^A-2^A2-^AD)+2^C+AC-DCBH=2Dgl-2Agl+4glg2-2Pg2-P2+BC光線(xiàn)在腔內(nèi)往返諧振//次，由Sylvester定理可得'EF'itEnFn1Esin—sin(打-1)0Fsmn(pGHsin0Gsinn(/>Hsin“0-sin(/7一1)0其中，cos0=-(E+H)。假設(shè)希塑旁軸光線(xiàn)不橫向逸出腔外，應(yīng)要求這四個(gè)矩陣元值不能無(wú)限人，即要求:|cos^<1也就是要求：對(duì)于題目所述球面鏡諧振腔：*(E+H)=2g息血+%+4g—屮C—”+")對(duì)于光學(xué)諧振腔來(lái)說(shuō)，光線(xiàn)傳輸矩陣元須滿(mǎn)足：^T=EH-FG=1即：Agl-Dgl-Ag2+Dg2-BC+1(A2+D2)=1乙所以:期+H)=2隔-1光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性條件為：Ovgf^vl試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解題思考：關(guān)鍵概念：平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡光學(xué)諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式：Ovg]g：vl解：⑴平凹腔平面鏡曲率半徑為無(wú)窮大：￡=1,假設(shè)凹面鏡腔對(duì)應(yīng)正曲率半徑尼：g2=l~—由穩(wěn)定性條件：Ovgf/Vl可得：R2>L可見(jiàn)，凹面鏡腔正曲率半徑超過(guò)腔長(zhǎng)的平凹腔，為穩(wěn)定腔。雙凹腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑尺和且R&出：^=1-—g.=l-土RjR2由穩(wěn)定性條件：Ovgf/Vl可得：l>r2或L<R,可見(jiàn)，雙凹鏡腔的腔長(zhǎng)取值，或者超過(guò)兩凹面腔鏡中曲率半徑較人的曲率半徑，或者小于兩者之中曲率半徑較小的曲率半徑，即為穩(wěn)定腔。凹凸腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑尺，凸面鏡腔的負(fù)曲率半徑尺：^=i-— g、=i+—L由穩(wěn)定性條件：0<^^2<1可得：L＞&+R,或L＜-R2進(jìn)一步分析不等式解中對(duì)腔長(zhǎng)取值要求可見(jiàn)，假設(shè)凹面腔鏡曲率半徑值等于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：尺=-2尼，腔長(zhǎng)取值：L=-R2時(shí)為穩(wěn)定腔：假設(shè)凹面腔鏡曲率半徑值小于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：＜-2R2,腔長(zhǎng)取值：-尼＞厶＞尺+尼時(shí)也為穩(wěn)定腔；假設(shè)凹面腔鏡曲率半徑值人于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：Rp—2R“則兩鏡無(wú)法組成穩(wěn)定腔，即凹面腔鏡曲率半徑值須低于凸面腔鏡曲率半徑值二倍是凹凸鏡組成穩(wěn)定腔的前提。激光器諧振腔由一面曲率半徑為lm的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)，其折射率為1.52,求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解題思考：關(guān)鍵概念：凹凸面鏡諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、等效腔長(zhǎng)、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式：Ovg&vlL'=L-l+-n解：尺=一1,尼=2，/=0.5,"=1.52L'=L-l+-ni厶， 、L‘=1 0-=1 由穩(wěn)定性條件：Ovgig^vl0<(L+0.829)(2.17-L)<2可得：2.17(m)>L>1.17(m)或

0<L<0.17(m)(腔長(zhǎng)小于工作物質(zhì)長(zhǎng)度，不合理，舍棄)腔長(zhǎng)L取值在［1.17m,2.17m］范圉內(nèi)是穩(wěn)定腔。如下列圖所示三鏡環(huán)形腔，已知1,試畫(huà)出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范闈內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示壞形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況卞，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€(xiàn)，f=Rcos?2,對(duì)于在于此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€(xiàn)，f=R/(2cos&),6為光軸與球面鏡法線(xiàn)的夾角。什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔，諧振腔腔內(nèi)行波、束腰、焦點(diǎn)7=L(R?_L)=Lg??-1)1 (L-R2)+(L-Rk)gi+g?-2gig?關(guān)鍵公式：?_ -Lg-L)_-厶g](g)-1)關(guān)鍵公式：(L-RJ+(L-RJ+g2-2gYg2F?=L(R,_L)(R]_L)(R]+R?_L)= —[(L-R2)+(L-RJY (g【+g?-2gigJ-解：焦點(diǎn)即諧振腔腔內(nèi)行波束最細(xì)之處，即束腰之處。腔內(nèi)存在行波束，即存在穩(wěn)定模式,是光學(xué)諧振腔內(nèi)存在焦點(diǎn)的前提。光學(xué)諧振腔又分為非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔，完整的解答此題需要針對(duì)非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔三種情形分別予以討論。但是，本課程對(duì)非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)行波束性質(zhì)涉及的較少，所以針對(duì)非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)是否存在焦點(diǎn)，也只能根據(jù)本課程已介紹的內(nèi)容來(lái)答復(fù)。針對(duì)穩(wěn)定腔則可以通過(guò)與等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔作細(xì)致的討論。對(duì)于非穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的不對(duì)稱(chēng)實(shí)共焦腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)。對(duì)于介穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的對(duì)稱(chēng)共焦腔腔內(nèi)存在束腰，存在焦點(diǎn)。對(duì)于穩(wěn)定腔情形，其有等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔腔內(nèi)存在束腰，假設(shè)該束腰位于穩(wěn)定腔兩腔鏡之間：_L^-L)_<0(L-RJ+(L-RJ"L)〉o-(L-RJ+(L-RJF?=L(R)_L)(&_L)(&+尼_厶)>0~ [(厶_RJ+(厶_&)F-則對(duì)應(yīng)穩(wěn)定腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)。由上述方程組解得：嚴(yán)〉厶血〉厶或者R<厶<R2<L[k+r‘>l分別對(duì)應(yīng)由曲率半徑超過(guò)腔長(zhǎng)的雙凹面鏡組成的穩(wěn)定腔，以及由曲率半徑不超過(guò)腔長(zhǎng)但兩鏡曲率半徑之和超過(guò)腔長(zhǎng)的兩鏡組成的穩(wěn)定腔。試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣、ABCD定律、諧振腔穩(wěn)定性解：在光學(xué)諧振腔分析中，光學(xué)諧振腔中光線(xiàn)n次往返反射傳播所對(duì)應(yīng)的傳播矩陣為：皮n1「Asin“0_sin(”-1)0Bsinn(/>CD￡ sin^|_ Csin/7^Dsinn(/>一sin(“一1)0按照ABCD定律，光學(xué)諧振腔中光線(xiàn)的最終坐標(biāo)通過(guò)傳播矩陣中的矩陣元素ABCD與初始坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)。在初始坐標(biāo)為近軸光線(xiàn)的情況卞，通過(guò)要求傳播矩陣中的矩陣元素ABCD為有限量，得到了光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件?？梢?jiàn)，ABCD定律在在光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮了重要作用。一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？解題思考：關(guān)鍵概念：對(duì)稱(chēng)共焦腔、穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔、腔內(nèi)行波場(chǎng)、等相位面答：與穩(wěn)定腔等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔，是通過(guò)以對(duì)稱(chēng)共焦腔行波等相位面相同曲率半徑反射鏡的插入而獲得這種等價(jià)關(guān)系的，根據(jù)是光線(xiàn)可逆原理。因此，這種等價(jià)關(guān)系是建立在幾何光學(xué)的基礎(chǔ)之上的，而不是建立在波動(dòng)衍射光學(xué)的基礎(chǔ)之上的。穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦諧振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光電場(chǎng)人小分布也不一定相同。所以，穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦諧振腔，在諧振腔結(jié)構(gòu)上相同的只有均為球面鏡，不一定相同的有菲涅爾數(shù)，腔鏡的曲率半徑、反射率和尺寸，以及腔長(zhǎng)；在腔內(nèi)行波上相同的有等相位面分布、雙曲線(xiàn)形狀、束腰位置及大小、遠(yuǎn)程發(fā)散角，不一定相同的有縱模間距、衍射損耗、模體枳、鏡面光斑人小，以及輸出激光束的束腰位置及人小、遠(yuǎn)程發(fā)散角等輸出激光參數(shù)。非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么？解題思考：關(guān)鍵概念：非穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔模式答：非穩(wěn)腔的主要優(yōu)點(diǎn)有：幾何損耗高，容易鑒別和控制橫模，適用于高功率激光器：模式體積人，對(duì)增益介質(zhì)的體積利用率高；有平行光輸出模式，易于得到單端輸出和準(zhǔn)直的平行光束，應(yīng)用方便。幾何損耗存在于哪一類(lèi)型的諧振腔中？解題思考：關(guān)鍵概念：幾何損耗、衍射損耗，穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔答：諧振腔中的損耗主要是指旁軸光線(xiàn)或稱(chēng)近軸光線(xiàn)的損耗，其中幾何損耗存在于介穩(wěn)腔和非穩(wěn)腔中，穩(wěn)定腔中的旁軸光線(xiàn)不存在幾何損耗。光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、菲涅爾數(shù)、橫模關(guān)鍵公式：幾=1-(蘭)'［磴(C,1)/C(C,1)F，C=27t^-=27t/Vit La答：光學(xué)諧振腔中的衍射損耗，主要由其菲涅爾數(shù)和橫模模階數(shù)決定。為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值卩的模決定腔損耗？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、特征值、衍射損耗、自再現(xiàn)模關(guān)鍵公式：u=丄"/答：在光學(xué)諧振腔中，自再現(xiàn)模單程傳播所經(jīng)受的光電場(chǎng)衰減由叫鼻=丄叫式中諧振腔7枳分方程的特征值y=eaJr￡p描述。將光電場(chǎng)換成光強(qiáng)，即對(duì)上式兩邊取平方：與諧振腔單程損耗因子:比較可得：3=2a可見(jiàn)，腔損耗由特征值了的模決定。為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值卩的幅角決定光波的單程相移？穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔、模式答：穩(wěn)定腔的主要形式有：（1）雙凹腔：（2）平凹腔：（3）凸凹腔。與非穩(wěn)定諧振腔相比，穩(wěn)定腔的主要缺點(diǎn)有：（1）損耗小，選模能力差：（2）模式體積小,對(duì)增益介質(zhì)的體積利用率低。光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現(xiàn)模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學(xué)的方法研究各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、自再現(xiàn)模、模式、衍射積分方程方法、幾何光學(xué)方法答：研究光學(xué)諧振腔常用的方法有兩種，一是幾何光學(xué)方法，一是衍射積分方程方法。在光學(xué)諧振腔研究中，一般以幾何光學(xué)方法探討近軸光線(xiàn)在光學(xué)諧振腔中的傳播行為，研究光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性問(wèn)題；近軸光線(xiàn)在光學(xué)諧振腔中的衍射行為，則采用衍射積分方程方法研究。自再現(xiàn)模則是在考慮了衍射行為的近軸光線(xiàn)，在光學(xué)諧振腔中反復(fù)反射往還后，所形成的有相對(duì)穩(wěn)定函數(shù)分布的光電場(chǎng)分布，即光學(xué)諧振腔模式。幾何光學(xué)處理方法，具有簡(jiǎn)潔易懂的優(yōu)勢(shì)，但只能討論光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性；衍射積分方程方法相對(duì)深?yuàn)W復(fù)雜，但可以提供光學(xué)諧振腔中自再現(xiàn)模的形成、模式光電場(chǎng)的強(qiáng)度和相位分布、腔內(nèi)行波場(chǎng)、衍射損耗等光學(xué)諧振腔模式的所有性質(zhì)。什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、縱模、橫模答：電磁場(chǎng)理論說(shuō)明，在具有一定邊界條件的腔內(nèi)，電磁場(chǎng)只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場(chǎng)的每種本征狀態(tài)將具有一定的振蕩頻率和空間分布。通常諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)本征態(tài)稱(chēng)為腔的模式。光學(xué)諧振腔的模式，即是這種能夠自再現(xiàn)的穩(wěn)定的電磁場(chǎng)分布，對(duì)應(yīng)著光學(xué)諧振腔的一系列本征態(tài)。其中包含著模式自再現(xiàn)物理思想。不同的縱模相應(yīng)于不同的q值，對(duì)應(yīng)不同的頻率。不同的橫模，對(duì)應(yīng)于不同的橫向穩(wěn)定的光場(chǎng)分布和頻率。對(duì)縱模要求電磁場(chǎng)在頻域上滿(mǎn)足由駐波條件所要求的諧振條件，對(duì)橫模要求損耗小，主要是衍射損耗。諧振腔腔長(zhǎng)L=lm,介質(zhì)折射率n=l,兩腔鏡反射系數(shù)分別為11=1,『2=0.99,求1500MHz線(xiàn)寬內(nèi)包含的縱模個(gè)數(shù)。尺=10°⑷，厶=40伽的對(duì)稱(chēng)腔，相鄰縱模的頻率差為多少？假設(shè)法卜里-cm,它的自由譜寬為多少,能否分辨兄=6x105?從=o.oinm的HeNe激光譜線(xiàn)？Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？解題思考：關(guān)鍵概念：平行平面鏡諧振腔、Fox-Li的數(shù)值迭代法答：主要結(jié)論有：.鏡面上的振幅分布為中央強(qiáng)邊緣弱，偶對(duì)稱(chēng)；.鏡面上的相位不是等相位面分布；.單程相移由幾何相移和與橫模相關(guān)的附加相移構(gòu)成；.諧振頻率不只由腔長(zhǎng)決定，還與橫模相關(guān)。主要意義有：.首次得到模式，證明模式自再現(xiàn)思想的正確性；它逐次近似計(jì)算直接求出了一系列自再現(xiàn)模，從而第一次證明了開(kāi)腔模式的存在性，并從數(shù)學(xué)上論證了開(kāi)腔自再現(xiàn)模枳分方程解的存在性：.迭代一次，光在腔內(nèi)傳播一次，是個(gè)針對(duì)光傳輸?shù)木_計(jì)算方法；數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程與模在腔中往返傳播而形成自再現(xiàn)模的物理過(guò)程相對(duì)應(yīng)，能加強(qiáng)理解自再現(xiàn)模形成的物理過(guò)程；.原則上可應(yīng)用于任何腔型的自再現(xiàn)模計(jì)算，利用標(biāo)準(zhǔn)化電腦程序可以求得任意精確度的數(shù)值解，具有普遍適用性。穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線(xiàn)的單程相對(duì)功率損耗1-1/Y2,它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？試由方形鏡共焦腔內(nèi)行波場(chǎng)，導(dǎo)出腔內(nèi)等相位面表示。同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、諧振腔積分本征方程答：同一個(gè)光學(xué)諧振腔中不同橫模的相同點(diǎn)有，都是諧振腔積分本征方程的本征解，都是旁軸傳輸?shù)碾姶挪ㄔ谥C振腔中經(jīng)反復(fù)衍射損耗形成的穩(wěn)定的光電場(chǎng)的穩(wěn)定分布。同一橫模的不同模斑具有反相或同相的相位。同一個(gè)光學(xué)諧振腔中不同橫模的不同點(diǎn)有，光斑形狀、人小以及光電場(chǎng)偏振方向，另外，相位無(wú)固定關(guān)系。高階橫模的不同模斑假設(shè)相遇，能否干預(yù)，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、橫模的相位關(guān)系答：同一高階橫模的不同模斑間，具有反相或同相的固定的相位關(guān)系。假設(shè)相遇，則干預(yù)相消或加強(qiáng)。不同高階橫模，相位無(wú)固定關(guān)系。假設(shè)相遇，不會(huì)干預(yù)。分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒(méi)有區(qū)別，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：方形腔鏡、圓形腔鏡、穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔°2關(guān)鍵公式：C=^=2nNLa.N=?LA答：有區(qū)別。區(qū)別主要表現(xiàn)在兩者的模式場(chǎng)解上。雖然兩者在模式光束形狀、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角等方面有相同的表達(dá)式，但卻存在以卞明顯的區(qū)別：模斑形狀方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)強(qiáng)的解主要由角向長(zhǎng)橢球函數(shù)這種特殊函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù)N值較人的情況下可以近似為厄米多項(xiàng)式的形式，具有x軸和y軸對(duì)稱(chēng)性。圓形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)強(qiáng)的解主要由超橢球函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù)N值較人的情況卞，可以近似表示為拉蓋爾多項(xiàng)式的形式，具有圓對(duì)稱(chēng)性。無(wú)論是方形鏡或者是圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔，其模式場(chǎng)模斑形狀軍營(yíng)與其等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔的模式場(chǎng)相似，所以，方形鏡和圓形鏡穩(wěn)定腔模斑形狀的區(qū)別，應(yīng)為具有x軸和y軸對(duì)稱(chēng)性的厄米多項(xiàng)式模斑形狀，與具有圓對(duì)稱(chēng)性的拉蓋爾多項(xiàng)式模斑形狀的區(qū)別。模式頻率

方形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為:(加+“+1)一了厶各階橫模的諧振頻率為：匕呵c各階橫模的諧振頻率為：匕呵c—=k+-(^+//+i)]2r/L 2圓形鏡對(duì)稱(chēng)共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為：(2p+l+l)^-kLC 1各階橫模的諧振頻率為：I加=—[g+—(2〃+/+1)]2r)L 2因穩(wěn)定諧振腔與其等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔在模式場(chǎng)上的相似性，方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔的模式頻率，也應(yīng)有類(lèi)似的區(qū)別。能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？為什么說(shuō)對(duì)稱(chēng)共焦腔非常重要？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、共焦腔、對(duì)稱(chēng)共焦腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔答：對(duì)稱(chēng)共焦腔的衍射積分本征方程，有解析解，因此其腔內(nèi)行波場(chǎng)有解析函數(shù)表示，相關(guān)模式特征和形貌明確。穩(wěn)定腔是一類(lèi)常用的激光器腔型，但其衍射積分本征方程一直未能獲得解析解，所以，其腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌不似對(duì)稱(chēng)共焦腔中那樣能依靠解析解來(lái)獲得明確的描述。等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的存在，使得穩(wěn)定腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌，能夠通過(guò)與其等價(jià)的對(duì)稱(chēng)共焦腔的解析解，來(lái)獲得較為明確的描述，可見(jiàn)對(duì)稱(chēng)共焦腔對(duì)于激光器的研制工作具有非常高的重要性。如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗人小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、損耗描述參數(shù)關(guān)鍵公式：C=^1=2tt/VLa.答：可以描述穩(wěn)定諧振腔中衍射損耗人小的參數(shù)有諧振腔單程損耗因子、平均光子壽命、Q參數(shù)、縱模線(xiàn)寬及菲涅爾數(shù)等參數(shù)。如果須使用一個(gè)參數(shù)來(lái)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗人小，我愿意使用菲涅爾數(shù)。這是因?yàn)榉€(wěn)定諧振腔中光電場(chǎng)本征函數(shù)解相對(duì)應(yīng)本征值的模，直接決定穩(wěn)定諧振腔對(duì)應(yīng)模式的衍射損耗，而該模函數(shù)為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)，函數(shù)的自變量C為：2ncrC= =2nNLA它與菲涅爾數(shù)：成正比。腔長(zhǎng)L=lm的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為Rl=,R2=3m,求其等效共焦腔的腔長(zhǎng)，并畫(huà)出等效共焦腔的位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔關(guān)鍵公式：0<gLg2<1=1-乙=L(R?_L)=厶g??-1)1 (L-RJ+(L-RJgi+g?-2g]g?乙_ _厶(&一厶)__/g】(g,_l)(L-RJ+(L-RJ+g2-2g1(gzF2=L(R?_L)(R]_L)(R]+R、_L)=g&U-g^gj厶'[(厶-/??)+(厶-&)]? &+g2-2glg2y■20<g&(=-)<1該雙凹腔為穩(wěn)定腔。因此，可以該雙凹穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線(xiàn)為z軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為0和N，等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)厶'為2F。

r_厶g2(￡-l)1乩+弘一2&&由：“?_-Lg&2-1)2 &+g2-2g&F2_g】g’(l-g】gj厶'. (gi+gm—2g]gJ宀討）U=2F=等效共焦腔腔鏡的位置如卜?列圖虛線(xiàn)所示:方形孔徑共焦腔氨氛激光器，腔長(zhǎng)L=30cm,腔鏡反射率分別為rl=l,r2=0.96,方形孔邊長(zhǎng)d=2a=,其它損耗以每程0.003計(jì)，工作波長(zhǎng)miio此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇teMoo模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多ee°f=1+3x10^大？試根據(jù)公式 d估算氨氛增益，1為增益介質(zhì)放電管長(zhǎng)度。解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、縱模、橫模模斑半徑、縱模頻率、縱模頻率間隔、損耗、增益、單模關(guān)鍵公式：5腔褪=*1門(mén)占5總=工習(xí)i

[%產(chǎn)丁2加+1%I%=血+1%關(guān)鍵思路：增益人于損耗、孔闌人于模斑半徑的模式能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)解：^=2hl爲(wèi)=工$=0.02+0.003=0.023g°/=hi(l+3xl0-4十)g°/=hi(l+3xl0-4十)=111(1+3x1()70300.0012)=0.0723可見(jiàn)，假設(shè)不考慮孔闌的作用，腔內(nèi)光獲得的增益人于損耗，能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。基橫模鏡面模斑半徑%=肖=J°?3°x6；8x109=2/GxIOpm)=0.246nmi一階橫模鏡面模斑半徑q、=丁2加+1%=72x1+1x2.46x1()7=4.26x1()7(m)=0.426nun方形孔邊長(zhǎng)d=2a,人于一階橫模在鏡面上的模斑直徑2%,在不附加選橫模措施的情況下，此激光器應(yīng)不會(huì)作單橫基模運(yùn)轉(zhuǎn)。假設(shè)以在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)作選TEW。模措施，孔闌邊長(zhǎng)S須超過(guò)基橫模鏡面模斑直徑2保證基橫模即可振蕩運(yùn)轉(zhuǎn),同時(shí)又小于一階橫模鏡面模斑直徑2%來(lái)阻止一階以上的高階橫模振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。所以，要求單橫模運(yùn)轉(zhuǎn)的選?？钻@邊長(zhǎng)S的取值范I韋I應(yīng)為：0.492linn<S<0.852nun腔長(zhǎng)L的對(duì)稱(chēng)雙凹腔，反射鏡曲率半徑為R=,工作波長(zhǎng)為兄，求鏡面上的基模高斯光束的光斑半徑。今有一平面反射鏡和一曲率半徑為R=lm的凹面反射鏡，問(wèn)：應(yīng)如何構(gòu)成一平-凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角：畫(huà)出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)L的關(guān)系曲線(xiàn)。解題思考：關(guān)鍵公式:關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔關(guān)鍵公式: （盡+尼_2乙）2 -.1,4_2卩"[?（&+g?-2gigJ嚴(yán)厶S—厶）（凡—DS+凡—d_飯L礫（1-礫）

Ovg&vl解：假設(shè)該平面反射鏡和凹面反射鏡組成的平凹穩(wěn)定腔腔長(zhǎng)為厶L^=l-^=l-L■穩(wěn)定腔要求：即：L^=l-^=l-L■穩(wěn)定腔要求：即：0＜厶V1該穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角:3擾唸加弋靑光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)厶的關(guān)系曲線(xiàn)如下列圖所示：將其視為腔長(zhǎng)Z的函數(shù)。由：d2q，M_1p1-2LdL__2V［L(l-L)］5/4得：L=0.5(m)而:滬(2備)d2LL=0.524A［厶(1—L)］曲+2.5(1—2厶)［厶(1—厶)］山7 ［厶(1一厶)嚴(yán)￡=0.5所以，最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角為:L=0.5=<L=0.5=<試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的共軌共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔、共軌共焦腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔，輸出光參數(shù)：束腰大小和位置、發(fā)散角關(guān)鍵公式：0<^^2<17_ L(R?_L)7_ L(R?_L) _厶g2(g]-l)1(L-RJ+(L-RJg]+g2-2g]g27_ -Lg-L) __儀仇_1)~(L-RJ+(L-RJgi+g2-2g&尸2_Lg-L)g-厶)(盡+R)_L)_gig?(l-解：g嚴(yán)1-f=0.7L[(厶-凡)+(厶- (g】+g2-2g】gJ血=/『厶(盡_L)(R?_L)(&+R)-厶)丫冷= gig?(1-g】gJ下口°一阪(R+凡一2厶尸 " (￡+g,—2g】gJ」2[ (/?]+ -2厶) 114_2I幾[(gl+g?-2g]gJ]]/4兀L(&一L)(R?-L)(R]+R?-L) \rrLg&U一&&)0vg&(=0?7)vl可見(jiàn)，如圖腔型為穩(wěn)定腔。共軌共焦腔即對(duì)稱(chēng)共焦腔。因此，可以該腔型腔鏡面中心連線(xiàn)為z軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該腔型的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為乙和花，等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為2F,束腰為兔，全發(fā)散角為2嘔。石=厶冬(匕一1丿=-0.3(m)￡+g2-2g廐乙一-也也-1)一°2g】+g2-2g]g2F2=昵(7冬巴=o.21(nr)< Ul+^2-2^2)-D=2F=0.92(m)%=徑[貂衛(wèi)_嚴(yán))嚴(yán)=0.38>/T(m)X龍(￡+g/-2g]gJ-20,=2。曰也7-2")-嚴(yán)=°83花(說(shuō))1?c*也狀(1-礫)可見(jiàn)，該腔輸出光束腰大小為0.38>/1米，位于束腰該腔的平面腔鏡上，全發(fā)散角為0.83>/I(iad)o與該腔等價(jià)的共軌共焦腔長(zhǎng)為0.92米，腔中心位于平面腔鏡上。試求出方形鏡共焦腔面上TEM^模的節(jié)線(xiàn)位置，這些節(jié)線(xiàn)是等距分布的嗎？求圓形鏡共焦腔TEMo和TEM^模在鏡面上光斑的節(jié)線(xiàn)位置。腔長(zhǎng)L=0.8m的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為1<1=和R2=lm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)：在圖上畫(huà)出等價(jià)共焦腔的具體位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔關(guān)鍵公式：0<^2<1=1-r=L(R?_L)= 厶g2(gl-1)1 (L-R2)+(L-Rt)gL+g2-2glg2z_ -Lg_L)_-細(xì)(g,-1)'(L-RJ+(L-RJ+g2-2g1(gzF2=L(R?_L)(R]_L)g+A?—厶)=g&a-gigj"[(厶一凡)+(厶一&)]- +g?-2g]gJ

解：可見(jiàn)，該腔為穩(wěn)定腔。解：可以該雙腔的等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線(xiàn)為z軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為zi和g等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)D為2FoFh：得：&+g)-2g&乙_一厶￡血一1)Fh：得：&+g2-2g&廠(chǎng)_g】g)(l一(gi+g?-2g]g?)8^=-—=-0.178(m)28Z2=—=0.622(m)F2=0.235(nr)Z/=2尸=0.97(m)等效共焦腔腔鏡的位置如下列圖虛線(xiàn)所示:某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm,R=2m,2a=lcm,兄=1°血屮。試計(jì)算％、%、?、％、必°、爲(wèi)0各為多少。試證明，在所有/厶久相同而R不同的對(duì)稱(chēng)球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損耗最低。L表示腔長(zhǎng)，R= 為腔鏡的曲率半徑，a為鏡面半徑。推導(dǎo)出平■凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑人小的表示式，做出：(1)當(dāng)R=100cm時(shí)，％、%隨1而變化的曲線(xiàn)：⑵當(dāng)L=100cm時(shí)，嗎、％隨只而變化的曲線(xiàn)。平凹腔中凹面鏡曲率半徑為R,腔長(zhǎng)L=0?2R,光波長(zhǎng)為兄，求此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔、基模、束腰半徑關(guān)鍵公式：Ovg&vl7_ L(R)_L) _厶g?(gi_l)1(L-RJ+(L-RJ +g2-2^1(^27_ -Lg-L) _-厶￡幺-1)(L-RJ+(L-RJgi+gj-2g]g2pi=Lg_L)(K_L)(&+盡一厶)=gig)(l-gigjb[(厶-凡)+(厶-K)F (￡+g,-2g]gJ血=卩[厶(盡_L)(R)_L)(&+R)-Dy4= gig,】一gigJ『40 7兀 (盡+凡一2厶)- V兀(gi+g：—2g]g2)~解：假設(shè)第一個(gè)腔鏡為凹面鏡，第二個(gè)腔鏡為平面鏡。g嚴(yán)1-#=0.8°vg&(=0?8)vl可見(jiàn)，為穩(wěn)定腔。因此，可以該平凹腔兩腔鏡面中心連線(xiàn)為Z軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為&和?等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為2F,束腰為%=庠［匕檢（n嚴(yán)=0.36>/i丘V兀（g】+g2-2&gj可見(jiàn)，此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑為0.36廊米。試證明經(jīng)過(guò)焦距為F的薄透鏡，高斯光束的q參數(shù)傳播滿(mǎn)足ABCD定律。假設(shè)A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入E激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：模式、模式匹配解題關(guān)鍵點(diǎn)：光線(xiàn)可逆答：假假設(shè)A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入E激光器，則B激光器的激光束也能匹配地射入A激光器。這是因?yàn)楣饩€(xiàn)可逆。所謂A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入E激光器，實(shí)際上是A激光器的激光束腰，經(jīng)過(guò)A和B激光器激光束腰河的光學(xué)元器件的高斯光束變換，被變換到E激光器的激光束腰位置上，且與E激光器的激光束腰大小相等。因?yàn)楣饩€(xiàn)可逆，E激光器的激光束腰，經(jīng)過(guò)A和B激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，應(yīng)被變換到A激光器的激光束腰位置上，且與A激光器的激光束腰人小相等，B激光器的激光束匹配地射入A激光器。已知一高斯光束束腰半徑為30,束腰與焦距為f的薄透鏡相距為1,經(jīng)透鏡變換后傳輸距離11，又經(jīng)一折射率為n,長(zhǎng)L的透明介質(zhì)后輸出（如下列圖所示），求：1） 高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)和光斑半徑：2） 假設(shè)將介質(zhì)移到薄透鏡處，即厶=0（不考慮可能存在的間隙），求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角8;

解題思考：關(guān)鍵概念：高斯光束、q參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、傳播矩陣、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角■■1厶"10"關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：,透鏡透射傳播矩陣：1:01——1f10平面界面透射傳播矩陣：_ 4U—fUABCD定律:ABCD定律:Cc^+D關(guān)鍵點(diǎn)：以光線(xiàn)傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。g i幀解：（1）4=乙+紐0=丘尺=-高斯光束傳輸通過(guò)的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為:由ABCD定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù):—-—=-—/{-^—}必）2q⑵高斯光束在介質(zhì)出射面處的光斑半徑：11/77~U~LJ~a~L~~r0=5上（/+/廠(chǎng)*_〒）_（1_〒_去（1_7）Vffitfitff[l—t2/2A21L—2ZJ=q—-1+—+—°v?ffff2n⑵將介質(zhì)移到薄透鏡處，即6=0.高斯光束傳輸通過(guò)的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為:

P〃口】0P〃口】0C￡）」|_0ni_A—丄1——f由ABCD定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù):x泌（1丄）+/丄 X(黑+("Aq、+B_2力/加 X(黑+("Cq嚴(yán)D」嘶+]_/ ，恣-所以?xún)芍“Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如卞圖，請(qǐng)問(wèn)在何處插入焦距為多少的透鏡可以實(shí)現(xiàn)而者的模式匹配。

關(guān)鍵公式：0<^2<1-r2_ L(R?_L) _厶g)(gi-1)(L-RJ+(L-RJgi+g2-2g]g2_ -Lg-L) _一厶￡@2-1)(L-R2)+(L-RjgL+g2-2gYg2?2=Lg_L)(&_L)(&+R?_L)=gig：；(l-gig?)厶-[(厶-RJ+(厶-K)]' (&+g2-2g】gJ,=卩[L(&_L)(R?_L)(&+R?-Dym gig/l—g^g?)]°"Vg+R,—2L)2 一忖喬石云亦ABCD定律:ABCD定律:AqL+BCq嚴(yán)D'10各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：1 U01,透鏡透射傳播矩陣：-11'f4晉關(guān)鍵點(diǎn)：第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡對(duì)入射高斯光束也起透鏡變換作用。

解：對(duì)于第一個(gè)諧振腔:=0.7=1°<￡血(=07)V1可見(jiàn)，第一個(gè)諧振腔為穩(wěn)定腔。因此，可以第一個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線(xiàn)為Z軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為3和乙⑴等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為2幾，束腰為0?！鉺=/d=-0.3(111)^11+^12_2^11^12z=-厶Rii(4-1)=0^11+g】2_2&1禺2斤=弘弘(1一弘型〈=0.2l(nr)(gn+g】2-2g]]g]J%=冏 嚴(yán)=3.04xl0_4(m)=3.04mmV兀(gll+ —2g]]g]2)可見(jiàn)第一個(gè)諧振腔高斯光束的束腰位于其平面腔鏡上?？梢?jiàn)，第二個(gè)諧振腔也為穩(wěn)定腔。因此，可以第二個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線(xiàn)為Z軸以其等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為3和等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔的腔長(zhǎng)為2F“束腰為①。°尙=厶壯(J-1) =_o.25(m)g"+g<2-2g22z=-厶-1)=0&21+gq—^^2i^22號(hào)=—=o.252(nr)(&21+S22~2弘&22)馬0=輕[—JdZJ：嚴(yán)=2.23xl0_4(m)=0.223mmY兀(&21+gj-2g2]gq)可見(jiàn)第二個(gè)諧振腔高斯光束的束腰也位于其平面腔鏡上。假設(shè)在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡/處插入焦距為/的透鏡，可以實(shí)現(xiàn)兩者的模式匹配。則兩諧振腔高斯光束束腰間的光器件組的傳播矩陣為:L2110-丄1」f■10.5-廠(chǎng)010.25110.5-/012衛(wèi)f4/4-￡-1ff211(2—-y——)(0.5—/)+2/+0.25f“f4/ 1(4—-7一-)(0.5—/)+4/+1由ABCD定律:鼻。冊(cè)得:, 空_(2_￥一-)+(2-馬--)(0.5-/)+2/+0.25i叫一2 j 'f4/八 >2 ^2.(4-—--)+(4-—-—)(0.5-/)+4/+lffff可得實(shí)數(shù)方程組:(2-蘭一丄)(0.5-/)+2/+0.25= -0.33f 4廣 ff2.56(4-——丄)(0.5-/)+10.22/+2.56=2-——--ff f4/解得:fl=0.34(ni)[f=0-45(ni)在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡34厘米處插入焦距為45厘米的透鏡，即可實(shí)現(xiàn)兩者模式匹配。采用方形共焦腔He-Ne激光器的腔長(zhǎng)L=30cm,反射鏡尺寸為2a=,如果一個(gè)模式的光斑人小超過(guò)鏡面尺寸，則認(rèn)為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。已知高斯光束的束腰半徑為30,求：A點(diǎn)與束腰相距為乙求光斑半徑忒乙)：如果測(cè)量到A點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最人值的扌處的半徑為站，求妙和忒Z)的關(guān)系。21為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值了的虛部決定光波的單程相移？解：由于丫=嚴(yán)、代入/+】=*/中得：.即廠(chǎng)表示腔內(nèi)經(jīng)單程度越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。即7的實(shí)部決定腔損耗，0表示每經(jīng)一次度越的相位滯后，所以7的虛部決定的單程相移。22穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線(xiàn)的單程相對(duì)功率損耗l-1/y-,它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？解答：23如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗人小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解答：選用菲涅爾數(shù)N來(lái)表示。N=—,它與模的外表積和模的光斑面積有關(guān)，它在一定程度上反映了導(dǎo)致衍射損耗的另外兩個(gè)因素：腔的幾何結(jié)構(gòu)和橫模的階數(shù)。所以選用菲涅爾參數(shù)。24為什么說(shuō)對(duì)稱(chēng)共焦腔非常重要?

解答：對(duì)稱(chēng)共焦腔不僅能定量地說(shuō)明共焦腔振蕩模本身的特性，更重要的是它能被推廣應(yīng)用到整個(gè)低損耗球面鏡腔系統(tǒng)。共焦腔模式理論說(shuō)明，任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，而任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。所以研究對(duì)稱(chēng)共焦腔顯得很重要。25試由行波場(chǎng)導(dǎo)出圓形鏡共焦腔內(nèi)的波前表示。解答：26同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解答：基模的強(qiáng)度分布比較均勻，光束的發(fā)散角小，且損耗最小。隨著橫模階數(shù)的提高，強(qiáng)度分布不均勻，光束的發(fā)散角增大，且損耗較人。27高階橫模的不同模斑假設(shè)相遇，能否干預(yù)，為什么？解答：不能干預(yù)。因?yàn)楦唠A模的模斑之間的光場(chǎng)之間沒(méi)有恒定的相位關(guān)系。假設(shè)A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入E激光器，E激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？能，根據(jù)模匹配的原理。能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？不能出1、2、3光線(xiàn)的傳輸矩陣。解答:1光線(xiàn)1光線(xiàn)2的傳播矩陣仏一q—10""10■“2一nL “2=2（〃2-4）］弘-'10_光線(xiàn)1的傳播矩陣1.R _1光線(xiàn)3的傳播矩陣仏一q吃R1光線(xiàn)3的傳播矩陣仏一q吃R試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。L=0.3m解答：由于0V（1-纟）（1_-L）vl,所以圖示的腔是穩(wěn)定的。所以有R+00&=-憶+—）f2<R.=（乙+—）,其中尺=I/??,L=0.3m,Rn■J "束腰位于平鏡上，則:帶入上述方程組可求得f=0.447遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：6>=0.61A=1.671%3.試解如圖兩個(gè)He?Ne激光器的匹配問(wèn)題。0.5m解答:第一步:由于ov(i-圖示的兩個(gè)諧振腔都是穩(wěn)定的oR+oo第二步：所以由對(duì)于第一個(gè)He?Ne激光器，R,=lm,L=0.3m,R嚴(yán)對(duì)于第一個(gè)He?Ne激光器，R,=lm,L=0.3m,R嚴(yán)s,可求得第一個(gè)He?Ne激光器的^=-0.3坐標(biāo)系原點(diǎn)既束腰位置距兩鏡距離和等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔鏡焦長(zhǎng)(冬=0f=0.447束腰位于平鏡上;束腰人?。篞]=[Xf_/6.3xl0"7x0.447vv=v齊=3x107對(duì)于第二個(gè)He?Ne激光器，&=0?5mL=0.25m,R2=s,可求得第二個(gè)He?Ne激光石=_0?25器的坐標(biāo)系原點(diǎn)既束腰位置距兩鏡距離和等價(jià)對(duì)稱(chēng)共焦腔鏡焦長(zhǎng)｛$=o/=0.25束腰位于平鏡上；6.3x10-x0.25=224x10_4束腰人小：coQ2=第三步：使用一個(gè)焦長(zhǎng)為F的透鏡，放在距第一個(gè)He-Ne激光器平鏡/距離處，進(jìn)行模式匹配。將位于第一個(gè)He-Ne激光器平鏡處的束腰，變換到第二個(gè)He-Ne激光器平鏡處。高斯光束束腰所經(jīng)歷的光器件矩陣：7111=F2F+2/-1.252Z2-1.25/+1.25F4F+4/-3 4/2-3/+3F第四步:由ABCD第四步:由ABCD定律:_Aq?+ECq?+De/iO=ifL=0.447i 鼻。=英=0?25，得方程組：8/2+(1.788F-5)1+1.788尸+3.659F=04F/2-(3F+3.576)/+3嚴(yán)一3.576F+2.34=0由方程組解得尺』4.假設(shè)法卜里一加，它的自由譜寬為多少,能否分辨兄=6x107〃〃”，趙=0皿加的C27/L3xl0C27/L3xl0s(〃?sT)2xlx60(cm)=3.75x10s//zHe-Ne激光譜線(xiàn)？解答：設(shè)尸1,有比NL=3伽(加)=333艸愀2x4.5(cm)對(duì)題中所述He-Ne激光譜線(xiàn)有:△乂3x10sxO.OlxlO^9「“9—aV=C^=22=(6x0于=83X10^^故不能分辯。5.R=100m,L=40cm的對(duì)稱(chēng)腔，相鄰縱模的頻率差為多少?解答：根據(jù)題意有：6.腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩個(gè)反射鏡外的其余部分的變換矩陣為ABCD,腔鏡曲率半徑為尺、尼，證明：穩(wěn)定性條件為0Vg&vl,其中g(shù)^D-B/R,:g2=A-B/R2.證明：由題意有:X$12o'AB120_1cD1CDaL5_~~r2L1」

■AB]raBIXS廠(chǎng)2A八2B小2A小2BX】aC-C-D?exL5」L盡K」Lr2&■L1」2A、A+B(C^)X24 2BA（c--）+（n--）屮+B（C仝）4B+3x(3-竺)R2r22A 2B2A 2A2E、z2B、aA(C- )+(/)- )x(C- )B(C- )+(￡>-—-)x(P-—)Li￡ X%“2X,XL■fAt■BfcfDA_穩(wěn)定時(shí)，—才+D=4（D?￥）x（A-￡）?2=4g&-22 K]由于一l<4g]g2—2vln0vg]g2<17.平凹腔中靠近平面鏡的半空間內(nèi)充有類(lèi)透鏡介質(zhì)n=n0（l-K2r2/2K）,假設(shè)（KJKg,使用上題（6題）的結(jié)果，討論該腔的穩(wěn)定性問(wèn)題?！觥鯝BCD■■ABCD解答:n?其中n=nQ(y-k2r2/2k)12R-,nQ(1—Ay'/2￡)=1-丄^2,7Ok1+由 v1，有0<L<R2h0/(l+kj72k)8?使用6題結(jié)果，求的諧振腔的穩(wěn)定性條件（不考慮像散1。解答:"1 o'B'_"1 o'B'_1d；21「1石CD01011-R _L—11_処RdZ(l—2%(B}(B\D——A——l&丿I&丿gb?2=,Idd2d：=1,Idd2d：=1 ——+—-RR2R2Ri4如R2d\〃2R&2丿R\R2L+如d\2山"-2必|d4血&RR、rQR由oVg]g2<l,可得&_4d_2R<d9.考慮圖2.5所示的非穩(wěn)定諧振腔，反射鏡尺的反射率0=0.98，憶的反射率r2=0.95(1)試求岀共軌像點(diǎn)片和￡的位置，并在光學(xué)諧振腔圖上把他們標(biāo)出；〔2)試畫(huà)出光學(xué)諧振腔內(nèi)的場(chǎng)變化，指出來(lái)自光束限制器的波陣面。(3)通過(guò)空腔的單程平均損耗為多少？這個(gè)激光器所需要的增益是多少？解答：1)軌像點(diǎn)片和匚的位置分別為—由球面鏡成像公式11_2L~h12~r2112厶+A—+-=K解得：/_L(L-R)+護(hù)—R)x(L-RJx(L-&-RJ_2L_R廠(chǎng)E ?1 2 ;_UL-R)+護(hù)L-RJ/L-RJx(L—%-RJ_<“2L_R廠(chǎng)凡 _*m10?設(shè)激活介質(zhì)的橫向尺寸為q,虛共焦非穩(wěn)定腔鏡面半徑為勺〔凹面鏡)和冬(凸面鏡),而單程放大率為溝和冬當(dāng)勺呂衛(wèi)嚴(yán)丄■；m"叫叫q>ciQ,a.>° ；nyn2q>ciQ,a,v；耳叫(4Jq心仏仏?——；mLm2

時(shí)，適用作圖法從激光束的輸出方向，是否充分利用激活介質(zhì)，輸出光束是否均勻等方面進(jìn)行討論。解答：11.試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線(xiàn)在其中可以往返無(wú)限多次，而且兩次往返即自行閉合。證明：對(duì)于共焦腔，有&=R)=L2L對(duì)稱(chēng)矩陣丁中，Ay，B=2L1-2L對(duì)稱(chēng)矩陣丁中，Ay，B=2L1-土=02L1-R2IR\光線(xiàn)在腔內(nèi)往返n次后，有(-ifooi(-1)”丿電丿r=(-[\nr=(-[\nrnV71,且當(dāng)n=2時(shí)有《何=(-1)乜故命題得證。rl=\12.試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件。解答：共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件為共軸球面腔鏡的穩(wěn)定性條件為0v平凹腔，有&T8,尼>0,代入穩(wěn)定性條件得L<R.雙凹腔，有&>0,尼〉0,代入穩(wěn)定性條件得L<Rlt厶v尼或L>Rp厶〉尼，且R,+R2>L凹凸腔，有K>0,￡<0,代入穩(wěn)定性條件得L>&,且RfR'VL13?激光器的諧振腔由一面曲率半徑為lm的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)，其折射率為1.52,求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解答：由已知尺=一1,R,=2

代入穩(wěn)定性條件。<卜亂咗卜解得v厶v2m14?圖2.1所示三鏡壞形腔，己知兒試畫(huà)出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R