2023屆新高考卷數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)熱門考題匯編

2023屆新高考卷概率與統(tǒng)計(jì)熱門考題匯編

第一部分:基本原理和重要概念

一、分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種類

分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成這件事(每

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立

步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件

完成這件事

事)

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整

二、常見的一些排列問題及其解決方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排

捆綁法

列

對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

插空法

元素排列的空當(dāng)中

定序問題

對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法處理

間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

三、分蛆分配問題

(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種：

①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；

②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有八組均勻，最后必須除以九！；

③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配.

四、二項(xiàng)式定理

(1)一般地，對(duì)于任意正整數(shù),都有：

(a+b)”=C^an+Ckan-'b+---+C^an~rbr+…+C?"(n€N*),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式.

式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+l表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：￡+產(chǎn)Ca"-'，,其

中的系數(shù)C：(r=o,1,2,…，71)叫做二項(xiàng)式系數(shù),

2.(2)兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

①(a—by=&屋+。：屋-辦+L+(-l)rWV+L+(-l)nOn(n€AT),

②(1+c)"=1+C\x+&+L+CH+L+

(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(楊輝三角形)

①每一行兩端都是1,即c=&；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即a”cr'+c'n.

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即cr=crm.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=6=i,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為+…+a+…+&：=2",變形式a+a

+…+a+…+(X=2"T.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令a=1,6=—1,

則&Y+或Y+…+(-I)n(x=(1-I)n=o,

從而得到：&+叱+CM+G/+-??=&+C：+…+叱"工???=y-2n=2"-'.

⑤最大值:如果二項(xiàng)式的事指數(shù)n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)今一的二項(xiàng)式系數(shù)C?最大；

n-1n+1

如果二項(xiàng)式的事指數(shù)九是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)碑，琢+】的二項(xiàng)式系數(shù)。r7,cl相等且最大.

⑥求(a+W)”展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為41，…，

4+1，設(shè)第7+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有之十，從而解出r來.

4+2

(4)二項(xiàng)式系數(shù)和的計(jì)算與賦值

五、二項(xiàng)分布

1.九重伯努利試驗(yàn)的概念

只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行九次所組成的隨機(jī)

試驗(yàn)稱為71重伯努利試驗(yàn).

2.71重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征

(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做九次；

(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

3,二項(xiàng)分布

一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(()Vp<1),用X表示事件4發(fā)生

的次數(shù)，則X的分布列為：F(X=fc)=屐/(1-p)n-k,k=0,1,2,…n,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上

式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

X~B(n,p)

4.一般地，可以證明：如果X~B(n,p)，那么EX=np,DX=np(l-p).

六、超幾何分布

1.超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品，從N件產(chǎn)品

中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的幾件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=%)=

-z,k=m,m,+l,m+2,■■■,r.

5

其中7i,N,“eN*,MWN,九WN,m=max{O,?i-N+A/},r=min{n,Al}.如果隨機(jī)變量X

的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

2.超幾何分布的期望

E(X)==np(p為N件產(chǎn)品的次品率).

七、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別

1.看總體數(shù)是否給出，未給出或給出總體數(shù)較大一般考查二項(xiàng)分布,此時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)重要的題眼“將頻

率視為概率”.

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項(xiàng)分布.

3.看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個(gè)結(jié)果,若只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果力或n,一般考查二項(xiàng)分布.

4.看抽樣方法,如果是有放回抽樣，一定是二項(xiàng)分布;若是無放回抽樣,需要考慮總體數(shù)再確定.

5.看每一次抽樣試驗(yàn)中，事件是否獨(dú)立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨(dú)立且概率不變,一定考查二項(xiàng)

分布，這也是判斷二項(xiàng)分布的最根本依據(jù).

6.把握住超幾何分布與二項(xiàng)分布在定義敘述中的區(qū)別，超幾何分布多與分層抽樣結(jié)合，出現(xiàn)“先抽，再

抽”的題干信息.

7.二項(xiàng)分布

一般地，在九重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件＞1發(fā)生的概率為p(0VPV1),用X表示事件A發(fā)生

的次數(shù)，則X的分布列為：P(X=k)=C,y(l-p)"T；k=(),1,2,…打,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上

式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

X~B(n,p)

8.一般地，可以證明：如果X~B(n,p),那么EX=np,DX=np[\—p).

八、二項(xiàng)分布的兩類，值

⑴當(dāng)p給定時(shí)，可得到函數(shù)/(fc)=cy(l-Py-\k=0,1,2,…n,這個(gè)是數(shù)列的最值問題.

pG：p”(l-p)nk_(九-k+l)pfc(l—p)+(n+l)pk(ri+l)p—k

.k=......■-'■",*，“，，?，?-?■-—，“一，….........■，■，"，，

Pk-1p)"T+lfc(l-p)...........fc(l-p)fc(l-p)

分析：當(dāng)(rz+l)p時(shí)，網(wǎng)>"-1,隨A:值的增加而增加；當(dāng)k>(九+l)p時(shí)，

p*VpkT,以隨A:值的增加而減少.如果(zi+l)p為正整數(shù)，當(dāng)％=(n+l)p時(shí)，PA=PA-I,此時(shí)這兩項(xiàng)概

率均為最大值.如果(n+l)p為非整數(shù)，而k取(n+l)p的整數(shù)部分，則”是唯一的最大值.

注:在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量k等于期望時(shí),概率最大.

(2)當(dāng)k給定時(shí)，可得到函數(shù)/(p)=Cpk(l—p)nT；pW(0,1),這個(gè)是函數(shù)的最值問題，

這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).

kk

分析:f'(p)=C^kp-\\-py--p\n-fc)(l-0尸F(xiàn)

=臉尸(1-p)n-fc-1[fc(l-p)-(n-fc)p]=C曠P-p)n-k-\k-np\

當(dāng)拈=1,2,…,打一1時(shí)，由于當(dāng)pV曳時(shí)，/(p)>0J(p)單調(diào)遞增，當(dāng)p>圾時(shí)，r(p)V0,f(p)單調(diào)

nn

遞減，故當(dāng)P=&時(shí)，/(P)取得最大值J(P)max=/(").又當(dāng)PTO，/(P)-1,當(dāng)P-0時(shí)，/(P)T。，從

而/(p)無最小值.

九、復(fù)雜概率計(jì)算

(1)善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：A表示“第i

局比賽勝利”，則可表示“第i局比賽失敗”.

(2)理解事件中常見詞語的含義：

中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為AUB；43都發(fā)生的事件為AB；力,8都不發(fā)生的事件為；48恰

有一個(gè)發(fā)生的事件為AUB；4B至多一個(gè)發(fā)生的事件為AUBU.

(3)善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對(duì)立事件的概率，再用P(A)=1-

P(Z)解出所求事件概率.

十、條件概率

1.條件概率定義

一艇地，設(shè)4B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(4)>0,我們稱尸(回⑷=為在事件4發(fā)生的條件下，

產(chǎn)(力J

事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

可以看到，P(B|A)的計(jì)算，亦可理解為在樣本空間4中，計(jì)算AB的概率.于是就得到計(jì)算條件概率

n{AB)

n(AB)n⑼P(AB)

的第二種途，即P{B\A)=

n(A)過?P⑷

n(￡2)

特別地,當(dāng)P(B\A)=P(B)時(shí)，即AB相互獨(dú)立，則P(AB)=P⑷P(B).

2.條件概率的性質(zhì)

設(shè)P(⑷>0,全樣本空間定義為Q,則

⑴P(。⑷=1；

(2)如果5與。是兩個(gè)互斥事件，則P((BU⑦⑷=P(B⑷+P(C|A)；

(3)設(shè)事件4和B互為對(duì)立事件,則P(BIA)=1-P(BIA).

十一、全概率公式與貝葉斯公式

1.在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí).，我們可以用“化整為零”的思

想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮

一般地，設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，4U4U…U4=。，且P(A)>o,i=i,2,…，

心則對(duì)任意的事件Bq。,有p⑻=E>(4)P(BIA,).

￡=1

我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

2.貝葉斯公式

設(shè)4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，&U力2U…U4”=R,且P(A)>0,i=l,2,…，孫則對(duì)任

意事件BGQ,P(B)>0,

有0(415)=0(43314)=f(4)P(BI4),i=i,2,…,n.在貝葉斯公式中，P(4)和

')￡p(4)P(B14)

k=\

P(A|B)分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.

十二、一罐通機(jī)游走與馬爾科夫彼

1.轉(zhuǎn)移概率:對(duì)于有限狀態(tài)集合S,定義：R產(chǎn)P(X.+E|X"=,)為從狀態(tài)，到狀態(tài),，的轉(zhuǎn)移概率.

2.馬爾可夫鏈：若P(X.+g|Xe,X-，…，居f)=P(X,i+1=/|X?=t.)=塢，即未來狀態(tài)Xn+i只受當(dāng)前狀

態(tài)X,的影響，與之前的X—,Xn_2,…，X。無關(guān).

3.一維隨機(jī)游走模型.

設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻力=0時(shí),位于點(diǎn)名=可，eN+),下一個(gè)時(shí)刻，它將

以概率a或者6(ae(0,l),a+6=l)向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)X-表示：在時(shí)刻￡該點(diǎn)

位于位置X=i(iCN+),那么由全概率公式可得：

P(X,+g)=P(Xt=j)?P(Xt+i=|XgT)+P(X-+1)?P(X,+I$XE+I)

另一方面，由于P(Xt+i」X=I)=￡,P(X“U|XE+J)=a，代入上式可得：

Pi=a?R+i+S-Pi-i

進(jìn)一步，我們假設(shè)在z=0與c=m(m>0,7九GN+)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不

再游走.于是，笈=0,￡“=1隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為a,原地不動(dòng)，其概率為b,向右

平移一個(gè)單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：

Pi-a-Pi+i+b-Pt+c?

有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機(jī)游走模型在2019年全國1卷中的應(yīng)用.

十三、統(tǒng)計(jì)

1.線性回歸方程與最小二乘法

⑴回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心（淳沙，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征

（2）我們將。=的+&稱為y關(guān)于z的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為

經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的&叫做b,a的最小二乘估計(jì)

匯3一動(dòng)(仇一))^Xiyi-nx-y

5=-^-^----------------------------=鼻-------

(leastsquaresestimate)，其中力處-5)2f姆-臉2

?=1?-1

a=y—bx.

（3）殘差的概念

對(duì)于響應(yīng)變量y,通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的。稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值

減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，

以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

（4）刻畫回歸效果的方式

⑴殘差圖法:作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作

出的圖形稱為殘差圖.若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果

越好.

（訪）殘差平方和法：殘差平方和殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模

i=l

型擬合效果越差.

（南）利用R2刻畫回歸效果:決定系數(shù)&是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋

力仇-2

變量客立預(yù)報(bào)變量的能力.店=1V------------，后越大，即擬合效果越好，&越小，模型擬合效果越

1=1

差.

第二部分.試題匯編

一、單選題

2.(福建省福州市普通高中2023屆高三畢業(yè)班及量檢測(cè)(二檢))若二項(xiàng)式卜M+1『展開式中存在常

數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)九可以是()

A.3B.5C.6D.7

nr2nir

【詳解】二項(xiàng)式,2+與廠展開式的通項(xiàng)為工+尸c;(3/yr(」7y=3-C；lx-,

?2zX

令2n—4r=0,解得：？■,=￡■,又因?yàn)榫徘襯為整數(shù)，所以n為2的倍數(shù)，所以n=6,

故選：C.

3.(福建看福州市普通方中2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)(二檢))為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書讀好書普讀書”的

良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類文學(xué)類自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán).甲乙兩位同學(xué)各自參加其中

一個(gè)社團(tuán)，每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為()

A11「23

A'TBR?萬C-JDn.i

【詳解】記人文社科類文學(xué)類自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán)分別為a,b,c,則甲乙兩位同學(xué)各自參加其中

一個(gè)社團(tuán)的基本事件有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)共9種，而這兩位同學(xué)

恰好參加同一個(gè)社團(tuán)包含的基本事件有(a,a),(b,b),(c,c)共3種，

故這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率P=曰=[.故選

yo

4.(福建省廈門市2023居高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè))(3+g)’的展開式中小d項(xiàng)的系數(shù)等于80,則實(shí)

數(shù)a=()

A.2B.±2C.2V2D.±2V2

2

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式是1+尸6(az)5f.礦，當(dāng)「=3時(shí)，xy項(xiàng)的系數(shù)為點(diǎn)?a=80,解得：a=

±272.故選：D

5.(福建省廈門市2023居高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè))廈門山海健康步道云海線全長約23公里,起于東

渡郵輪廣場，終于觀音山沙灘，沿線申聯(lián)貿(mào)鳥湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水

庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”.市民甲計(jì)劃從''八山三水”這11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的

3個(gè)游覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率為()

±Ac互D.

A。3B,9C.9D-165

【詳解】H個(gè)景點(diǎn)隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，共有9種情況，選取景點(diǎn)中有“水”的對(duì)立事件是在狐尾

山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個(gè)相鄰的，共有4種情況，則其概率P=1?，則11個(gè)景

點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率P=1-故選：C

6.(廣東省2023屆高考一模)如圖,在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片,每格只

放一張卡片，則''只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有()

A.96種B.64種C.32種D.16種

【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，

第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5"，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1,4或2,3中的一組，共

有24=4種排法；

第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有用⑷=8種排法；

第三步，排數(shù)字5和6,共有A；=2種排法；

由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為4x8x2=64.故選：B.

7,(廣東省佛山市2023屆高三載學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))己知事件C的概率均不為(),則P(A)=P(B)

的充要條件是()

A.P(AU口)=P(⑷+P(B)B.P(4UC)=P(BUC)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

【詳解】解：對(duì)于/:因?yàn)镻(AUB)=P⑷+P(B)-P(An3),由P(AUB)=P⑷4-P(B),

只能得到P(4AB)=0,并不能得到P⑷=P(B)，故4錯(cuò)誤;

對(duì)于B:因?yàn)镻(4UC)=P(4)+P(。)-P(AnC),P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BAC),

由P{AUC)=F(BUC),只能得到P(A)-P(AnC)=P(B)-P(BAC),

由于不能確定4,。是否相互獨(dú)立，故無法確定P(A)=P(B),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)镻(AB)=P{A)-P(AB),P(AB)=P(b)-P(AB),

又P(4⑸=P(%B),所以P(A)=P但)，故。正確；對(duì)于O:由于不能確定是否相互獨(dú)立，

若A,B,C相互獨(dú)立，則P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

則由P(4C)=P(BC)可得P(4)=P(B),故由P(AC)=P(BC)無法確定P(A)=P(B)，故。錯(cuò)

誤；故選：C

8.(廣東省廣州市2023屆高三舔合測(cè)試(一))“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人

人為我”等,數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”、“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一

樣的正整數(shù)，如121,241142等,在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有0

A.100個(gè)B.125個(gè)C.225個(gè)D.250個(gè)

【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：方位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0;千位與十位數(shù)字相

同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類辦法：

最多1個(gè)0,取奇數(shù)字有⑷種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有4種，它們排入數(shù)位有4種，取偶數(shù)字占百位有

⑷種，不同"回文數(shù)"的個(gè)數(shù)是⑷⑷屬4=200個(gè)，

最少2個(gè)0,取奇數(shù)字有4種，占萬位和個(gè)位，兩個(gè)o占位有1種，取偶數(shù)字占百位有4種，

不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是25個(gè)，由分類加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)

字是奇數(shù)的"回文數(shù)”共有200+25=225個(gè).故選：C

9.（廣東省深圳市2023居高三第一次調(diào)研）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè),

每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為（）

【詳解】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；

當(dāng)分為3,1,1人時(shí)，有綾⑷=60種實(shí)習(xí)方案，當(dāng)分為2,2,1人時(shí)，有￡^?聞=90種實(shí)習(xí)方案，即共有

60+90=150種實(shí)習(xí)方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有C；⑷+或聞=36種，故大學(xué)生甲、乙

到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為7^7=-^7,

15025

故選：D.

10.（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試）一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1,

2,3,5,6,8,記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n,則二項(xiàng)式（2工一圭）”展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-16（）B.60C.120D.240

【詳解】因?yàn)?x75%=4.5,所以九=6,所以（2?—展開式的通項(xiàng)為：

工+產(chǎn)砥2306f（一%了=瑪.26f（T）%/告，令6-*=0得:r=4,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為盤x2?x（—1）4=60,故選：B.

11.（江蘇省八市（南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、津安、連云港、制運(yùn)、拉城）2023居高三二模）已知（Y+亳）的展

開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.80C.100D.120

【詳解】當(dāng)7=1時(shí)，3"=243,解得n=5,則（/+§）”的展開式第『+1項(xiàng)工+產(chǎn)（^（二廣〃（勺）'=禺

/5Tr2，a；-2r=，令15-5T=0,解得r=3,所以點(diǎn)2：'=10x8=80,故選：B

12.（江蘇看南京市、拉城市2023屆高三下學(xué)期一模）某種品牌手機(jī)的電池使用壽命X（單位:年）服從正態(tài)

分布N（4,/）9>0）,且使用壽命不少于2年的概率為0.9,則該品牌手機(jī)電池至少使用6年的概率為

0

A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1

?-L9

【詳解】由題得：尸3>2）=0.9,故PQV2）=0.1,因?yàn)?/=4,所以根據(jù)對(duì)稱性得：P（x>6）=

PQV2）=O.L故選：D

13.（江蘇省蘇修常鐵四市2023屆高三下學(xué)期3月栽學(xué)情況調(diào)研（一））“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我

國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖童

頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景

點(diǎn)游玩.記事件力為“兩位游客中至少有一人選擇太湖童頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點(diǎn)不

同”，則P（目力）=（）

A工B&C—D

A.99。11口11

【詳解】由題可得PG4）=6X：藍(lán)X5=11，p（謝=急=焉，

5

所以P（耳4）=，絮.=需=器.故選:D.

14.（2023年湖北省八市南三（3月）聯(lián)考）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)

有48。三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲

不在4小區(qū)的概率為（）

A293BWOc?DA

'243'243'3,9

【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有35=243種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每

個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為3,1,1或2,2,1當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，情況數(shù)為。權(quán)⑷=60;當(dāng)5

人被分為2,2,1時(shí)，情況數(shù)為Clx&x&=90;所以共有60+90=150.由于所求甲不去情況數(shù)較

Ai

多，反向思考，求甲去4的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，且甲去人，甲若為1,則

C：義題=8,甲若為3,則C：義&=12，共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，且甲去4甲若為1,則烏x4=6,甲若為2,則C；x或x&=24,共計(jì)6+24

=30種，所以甲不在A小區(qū)的概率為二g""=騁，故選：B.

15.（山東省濟(jì)南市2023屆高三下學(xué)期3月一模）從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得

三角形是直角三角形的概率為（）

A3Bc，—

10-i5

【詳解】以點(diǎn)力為例，以點(diǎn)4為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三角形有AABC,△ABDAASE,△ABF,△力CD

A4CE,Z\ACR,△/￡)￡；,△ADR,ZVIEF,共10個(gè),

其中直角三角形為△工共6個(gè),

故所得三角形是直角三角形的概率為磊=,?

16.(山東省青島市2023屆高三下學(xué)期第一次迨應(yīng)性檢測(cè))某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道

題有思路，1道題完全沒有思路.有思路的題目每道做對(duì)的概率為().8,沒有思路的題目，只好任意猜

一個(gè)答案,猜對(duì)的概率為0.25.若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對(duì)”，若兩個(gè)題目都有思路，則B=鼻x0.82=0.32,

若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒有思路，則P2=x0.8x0.25=0.1,故PG4)=P}+P>=0.32+

0.1=0.42,故選:C

17.(淅江霍溫州市普通高中2023居南三下學(xué)期3月第二次迨應(yīng)性考試)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布

N(2,k),且P(X>3)=，則P(XV1)=()

A.1B.-y-C.3D.」

3366

【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,c?),顯然對(duì)稱軸X=2,所以由對(duì)稱性知P(x<1)=P(x>3)

=占，故選：C.

18.(浙江省溫州市普通高中2023居高三下學(xué)期3月第二次連應(yīng)性考試)(1+0”展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

大的是CS則"不可能是()

A.8B.9C.10D.11

【詳解】當(dāng)n=9時(shí)，然是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，當(dāng)n=10時(shí)，。小是故大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要

求，

當(dāng)71=11時(shí)，曲=仍是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，當(dāng)n=8時(shí)，顯然C?VCt不滿足，

故選：A.

19.(淅江省溫州市普通方中2023屆南三下學(xué)期3月第二次迨應(yīng)性考試)一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個(gè)面

的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6.現(xiàn)將此骰子任意拋擲2次，正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為X1,X2.設(shè)匕=

1m.'設(shè)其=依‘魯X'記事件4="匕=5"，8="匕=3”,則P(B14)=()

A.看B.4C.JD.去

【詳解】將此骰子任意拋擲2次，則基本事件的方法總數(shù)為36種，顯然匕是取大函數(shù)，所以A="匕=

5"，則Xi，X2中有一個(gè)數(shù)字是5,另一個(gè)數(shù)字小于等于5,有5X2—1=9種；

顯然X是取小函數(shù)，所以A="K=5"，5=?H=3”同時(shí)發(fā)生，則有(3,5)和(5,3);

所以P(4)=4=；,P(A4)=系，所以P(BI4)=q^=系故選

Ou4ol)V

二、多選題

20.(福建省廈門市2023居商三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè))李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交

車,有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平

均用時(shí)30分鐘,樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自

行車用時(shí)V都服從正態(tài)分布，則0

A.P(X>32)>P(y>32)B.P(X&36)=P(y436)

C.李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車

【詳解】4由條件可知X?N(30,6?),V?77(34,22),根據(jù)對(duì)稱性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32),

故A錯(cuò)誤；

B.RX436)=尸(X&A+O),P(y&36)=P(y&〃+(7),所以尸(X&36)=P(Y<36),故B正確；

C.P(XW34)>0.5=P(Y&34),所以P(XW34)>P(VW34),故。正確；

D.P(X<40)<P(X<42)=P(XV〃+2c),P(YW40)=P(丫&〃+3。)，所以P(X440)<

p(y440)，故。正確.

故選：BCD

21.(廣東店佛山市2023屆高三載學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)的報(bào)告中，一組組

數(shù)據(jù)折射出新時(shí)代十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望.二十大首場

新聞發(fā)布會(huì)指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%,

這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩斯特恩格爾提出的，計(jì)算

公式是“恩格爾系數(shù)=食物支與金’ex100%”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低

總支出金額

的一項(xiàng)重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，

50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%~40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村

與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知（）

一▲…農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)（％）—?一城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)（％）

36r―

3s、、

ZA

A-

Q1______JS"a

JU---4

/、

/

—r

4/

26---------

2012201320142015201620172018201920202021

A.城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富?！彼?/p>

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%

D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

【詳解】對(duì)于4從折線統(tǒng)計(jì)圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于30%,即從2015年開始

進(jìn)入"最富裕"水平，故4正確；

對(duì)于R:農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017、2018、2019這三年在30%?32%之間，

其余年份均大于32%,且2012、2013這兩年大于（等于）34%,

故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于32%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于。:城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對(duì)應(yīng)的年份）前5位分別為2019、2018、2017、2021、

2020,

因?yàn)?0x45%=4.5,所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格

爾系數(shù)高于29%,故C正確；

對(duì)于。：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于50%,

故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故。錯(cuò)誤；

故選：AC

22.（廣東盾廣州市2023居高三綠合測(cè)試（一））某校隨機(jī)抽取了10（）名學(xué)生測(cè)量體重,經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的

體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.07

B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60

C.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62

D.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.5

【詳解】對(duì)于工項(xiàng)，因?yàn)?x(0.01+a+0.06+0.04+0.02)=1,解得：a=0.07,故4項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，(0.01+0.07+0.06)x5x100=70人，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)?.01X5+0.07X5+0.06x5=0.7,().01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9,

0.7V0.78V0.9,所以第78百分位數(shù)位于［60,65)之間，

設(shè)第78百分位數(shù)為x,則0.01X5+0.07x5+0.06x5+(x-60)x0.04=0.78,解得：a;=62,故。項(xiàng)

正確；對(duì)于。項(xiàng)，因?yàn)?.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.54-0.04x5x62.5+0.02x5

x67.5=57.25,即：估計(jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為57.25,故。項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

23.(湖北省七市(州)2023屆甫三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試)下列命題中正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)為，g，…，物)的樣本方差為3,則數(shù)據(jù)2?+l,2a；2+l，…，2如)+1的方差為7

B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為。=0.3—0.7工時(shí)，變量劣和“負(fù)相關(guān)

C.對(duì)于隨機(jī)事件4與F(A)>0,P(B)>0,若P(4|6)=F(A),則事件A與B相互獨(dú)立

D.若X?B(7、),則P(X=k)取最大值時(shí)k=4

【詳解】對(duì)于4數(shù)據(jù)2電+1,2g+l,…，2颯+1的方差為22x3=12,所以力錯(cuò)誤;

對(duì)于B,回歸方程的直線斜率為負(fù)數(shù)，所以變量力與“呈負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；

對(duì)于C,由P(A\B)=.及)=P(A),得P(AB)=P(A)?P(B),所以事件A與事件3獨(dú)立，所以C

正確；

小尸小二卜)>。(X=k+1)1比‘田',”?)7

解得k=3或k=4,所以。錯(cuò)誤.故選：BC.

24.（湖北省武漢市2023屆高三下學(xué)期二月調(diào)研）在一次全市視力達(dá)標(biāo)測(cè)試后,該市甲乙兩所學(xué)校統(tǒng)計(jì)本

校理科和文科學(xué)生視力達(dá)標(biāo)率結(jié)果得到下表：

甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生

達(dá)標(biāo)率60%70%65%75%

定義總達(dá)標(biāo)率為理科與文科學(xué)生達(dá)標(biāo)人數(shù)之和與文理科學(xué)生總?cè)藬?shù)的比，則下列說法中正確的有（）

A.乙校的理科生達(dá)標(biāo)率和文科生達(dá)標(biāo)率都分別高于甲校

B.兩校的文科生達(dá)標(biāo)率都分別高于其理科生達(dá)標(biāo)率

C.若甲校理科生和文科生達(dá)標(biāo)人數(shù)相同，則甲?？傔_(dá)標(biāo)率為65%

D.甲校的總達(dá)標(biāo)率可能高于乙校的總達(dá)標(biāo)率

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得甲校理科生達(dá)標(biāo)率為60%,文科生達(dá)標(biāo)率為70%,

乙校理科生達(dá)標(biāo)率為65%,文科生達(dá)標(biāo)率為75%,故選項(xiàng)AB正確；

設(shè)甲校理科生有工人，文科生有y人，若0.6c=0.7y,即6x=7y,則甲?？傔_(dá)標(biāo)率為=

x+y

祟，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

65

由總達(dá)標(biāo)率的計(jì)算公式可知當(dāng)學(xué)校理科生文科生的人數(shù)相差較大時(shí)，所占的權(quán)重不同，總達(dá)標(biāo)率會(huì)接

近理科生達(dá)標(biāo)率或文科生達(dá)標(biāo)率，

當(dāng)甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生時(shí)，甲校的總達(dá)標(biāo)率可能高于乙校的總達(dá)標(biāo)率，選

項(xiàng)。正確；

故選：ABD

25.（湖北看丈漢市2023居赤三下學(xué)期二月調(diào)研）已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p），其中九C

M,0VpVI,記X為奇數(shù)的概率為a,X為偶數(shù)的概率為3則下列說法中正確的有（）

A.a+b—1B.p=■時(shí),a=b

C.0<pV《時(shí)，a隨著n,的增大而增大D.-y<p<l時(shí)，a隨著八的增大而減小

【詳解】對(duì)于入選項(xiàng)，由概率的基本性質(zhì)可知，a+匕=1,故4正確，

對(duì)于口選項(xiàng)，由p=J時(shí)，離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

則p=（x=k）=。嗎『（1-=0,1,2,3,…㈤,

所以a=（4）"?+&+&+……）=（y）"x2"-1=X,

一（/a+a+a+……）=怎心2-=/

所以a=b，故B正確,

升a「格-Ki—P）+P/—［（1—P）—_i-（1-2p）7?

又寸于。選項(xiàng)，a—--------------------------------------------------------,

I1—（1—2n）n

當(dāng)0VpV］時(shí)，a=-------------為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，

故Q隨著燈的增