概率論與數(shù)理統(tǒng)計常用的統(tǒng)計分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計常用的統(tǒng)計分布第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)分布且設(shè)相互獨立,令稱服從自由度為的

分布，記為概率論與數(shù)理統(tǒng)計常用統(tǒng)計分布的上側(cè)分位點記為的雙側(cè)分位點記為Review第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)分布且設(shè)相互獨立,令稱服從自由度為的

分布，記為常用統(tǒng)計分布的上側(cè)分位點記為Review第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計抽樣分布與統(tǒng)計推斷第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)總體的均值和方差是來自總體的樣本，則都存在.證概率論與數(shù)理統(tǒng)計樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體抽樣分布定理第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月仍服從正態(tài)分布定理一的樣設(shè)是來自總體本,則證獨立同分布由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線性組合概率論與數(shù)理統(tǒng)計第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體抽樣分布定理第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體抽樣分布定理第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理三的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有證由定理一、定理二有且與獨立，由分布的定義有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)為X的一個樣本,求:樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;

概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)為X的一個樣本,求:樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;

概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

在設(shè)計導(dǎo)彈發(fā)射裝置時,重要事情之一是研究彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的方差.對于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N(μ,100),現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗,用S2記這25次試驗中彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差.試求S2超過50的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例4從正態(tài)總體N(μ,0.52)中抽取容量為10的樣本X1,X2,...,Xn.若μ未知,計算概率:概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計單正態(tài)總體的抽樣分布第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本總體樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比率、方差總體均值、比率、方差等概率論與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計推斷與參數(shù)估計第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月

參數(shù)估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).估計新生兒的平均體重、估計廢品率、估計平均降雨量等。

在參數(shù)估計問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個或幾個參數(shù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計參數(shù)估計問題第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計就是要從樣本出發(fā)去構(gòu)造一個統(tǒng)計量作為總體中某未知參數(shù)的一個估計量。包括點估計和區(qū)間估計兩種。若總體X的分布函數(shù)形式已知，但它的一個或多個參數(shù)未知，則由總體X的一個樣本估計總體未知參數(shù)的值的問題就是參數(shù)的點估計問題。要求由樣本構(gòu)造一個以較大的概率包含真實參數(shù)的一個范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過構(gòu)造一個置信區(qū)間對未知參數(shù)進(jìn)行估計的方法稱為區(qū)間估計。概率論與數(shù)理統(tǒng)計參數(shù)估計問題第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個或多個參數(shù)為未知,借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數(shù)的問題稱為點估計問題.概率論與數(shù)理統(tǒng)計點估計問題第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月估計量：用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量參數(shù)用表示，估計量用表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值X

=80，則80就是的估計值概率論與數(shù)理統(tǒng)計點估計問題第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計點估計問題第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月點估計問題概率論與數(shù)理統(tǒng)計第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月點估計沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息；同時，也可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同。概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)那么那一個估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么?第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.無偏性(unbiasedness)

設(shè)為總體未知參數(shù)的估計量若則稱是的無偏估計量，稱具有無偏性。否則，是有偏估計量.偏差=概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏無偏估計的實際意義:無系統(tǒng)誤差.無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月注:是μ的無偏估計量是σ2的無偏估計量概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是σ2的有偏估計量第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2．有效性

若都是的無偏估計量且

或

則稱較為有效估計量。兩個以上的無偏估計量具有最小方差最佳無偏估計量概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小方差的估計量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3．相合性（consistency） 如果對任意小的正數(shù)，有則稱是的一致估計量，稱具有一致性，可以證明均具有一致性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月由于估計量是樣本的函數(shù),是統(tǒng)計量,故對不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,求估計量的問題是關(guān)鍵問題.估計量的求法:(兩種)矩估計法和最大似然估計法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計估計量的求法第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1、

矩估計法其基本思想是用樣本矩估計總體矩.理論依據(jù):

它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法.是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律概率論與數(shù)理統(tǒng)計估計量的求法第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月用樣本矩來估計總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù),從而得出參數(shù)估計，這種估計法稱為矩估計法.記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為概率論與數(shù)理統(tǒng)計設(shè)X1,X2,…,Xn

來自總體X的樣本記總體k階矩為樣本k階矩為矩法估計第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月矩估計法的具體步驟:矩法估計的操作步驟概率論與數(shù)理統(tǒng)計第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)總體服從泊松分布，

求參數(shù)的估計量.解：設(shè)是總體的一個樣本,由于,可得

概率論與數(shù)理統(tǒng)計矩法估計第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解例2概率論與數(shù)理統(tǒng)計矩法估計第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解方程組得到a,b的矩估計量分別為概率論與數(shù)理統(tǒng)計矩法估計第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解例3矩法估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解解方程組得到矩估計量分別為例4矩法估計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月上例表明:總體均值與方差的矩估計量的表達(dá)式，不因不同的總體分布而異.一般地:概率論與數(shù)理統(tǒng)計矩法估計第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月矩法的優(yōu)點是簡單易行,缺點是，當(dāng)總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計矩法估計第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2、最大似然估計法(MLE)最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學(xué)家費歇

.

費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).概率論與數(shù)理統(tǒng)計第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個試驗如有若干個可能的結(jié)果A,B,…,若在一次試驗中結(jié)果A出現(xiàn)，一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大．概率論與數(shù)理統(tǒng)計最大似然估計第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月似然函數(shù)實質(zhì)上是樣本的聯(lián)合分布律于是定義下面的似然函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計最大似然估計第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月求最大似然估計量的一般步驟為：（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計值

（4）最后得到最大似然估計量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解似然函數(shù)例1概率論與數(shù)理統(tǒng)計最大似然估計第57頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月這一估計量與矩估計量是相同的.概率論與數(shù)理統(tǒng)計最大似然估計第58頁，課件共62頁，創(chuàng)