部分第七章8節(jié)機(jī)械能守恒定律

應(yīng)用創(chuàng)新演練理解教材新知把握熱點(diǎn)考向考向一考向二隨堂基礎(chǔ)鞏固第七章機(jī)械能守恒定律課時(shí)跟蹤訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二第8節(jié)機(jī)械能守恒定律考向三機(jī)械能是系統(tǒng)內(nèi)所有物體的動(dòng)能和勢(shì)能之和，即E＝Ek＋Ep。在只有重力做功時(shí)，重力勢(shì)能與動(dòng)

能相互轉(zhuǎn)化，二者之和保持不變；在只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功時(shí)，彈性勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，二者之和保持不變。在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互

相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變，這叫做機(jī)械能守恒定律。機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式為：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp。1.動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化動(dòng)能與重力勢(shì)能間的轉(zhuǎn)化：只有重力做功時(shí)，若重力做正功，則重力勢(shì)能

轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；若重力做負(fù)功，則

動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。動(dòng)能與彈性勢(shì)能間的轉(zhuǎn)化：彈力做正功，彈性勢(shì)能

轉(zhuǎn)化為

動(dòng)能；彈力做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為

彈性勢(shì)能。2．機(jī)械能物體由于機(jī)械運(yùn)動(dòng)而具有的能叫機(jī)械能。它是動(dòng)能和勢(shì)能

(包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)的統(tǒng)稱。機(jī)械能是狀態(tài)量，是標(biāo)量，沒有方向但有正負(fù)之分。1.如圖7－8－1所示，質(zhì)量為m的蘋果，從離地面高為H的樹上由靜止開始下落，樹下有一深度為h的坑。若以地面為零勢(shì)能參考平面，則當(dāng)蘋果落到坑底時(shí)重力(

)勢(shì)能減少了

A．－mghC．mg(H＋h)B．mgHD．mg(H－h(huán))解析：重力勢(shì)能的減少量等于重力在該過程中做的功Ep1－Ep2＝mg(H＋h)。答案：C圖7－8－1[自學(xué)教材]1．推導(dǎo)內(nèi)容在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化

，而總的機(jī)械能

保持不變

。守恒定律表達(dá)式Ek2－Ek1＝

Ep1－Ep2

，即ΔEk增＝

ΔEp減。Ek2＋Ep2＝

Ek1＋Ep1

。E2＝

E1

。4．守恒條件只有重力

或彈力做功。[重點(diǎn)詮釋]1．對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解從能量轉(zhuǎn)化的角度看，只有系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，無其他形式能量(如內(nèi)能)之間的轉(zhuǎn)化。從系統(tǒng)做功的角度看，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，包括以下三種情況：①物體只受重力或彈力作用。②除重力和彈力外，雖受其他力，但其他力不做功。如圖7－8－2所示，如不計(jì)空氣阻力，小球在擺動(dòng)過程中細(xì)線的拉力不做功，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒。圖7－8－2③除重力和彈力外，其他力做功的代數(shù)和為零。如圖7－8－3所示，A、B構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略繩的質(zhì)量和繩與滑輪間的摩擦，在A向下、B向上的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)A和FB都做功，但對(duì)于A、B組成的系統(tǒng)WA＋WB＝0，不存在機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，則A、B構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。圖7－8－3(3)機(jī)械能守恒定律的多種表達(dá)方式：①E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，任意時(shí)刻、任意位置的機(jī)械能總量相等。②ΔEk＝－ΔEp或|ΔEk|＝|ΔEp|，在一段時(shí)間內(nèi)動(dòng)能(或勢(shì)能)的增加量等于勢(shì)能(或動(dòng)能)的減少量。③ΔEA＝－ΔEB或|ΔEA|＝|ΔEB|，如果系統(tǒng)內(nèi)只有兩個(gè)物體發(fā)生機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，A物體機(jī)械能的增加量等于B物體機(jī)械能的減少量。2．判斷機(jī)械能是否守恒的方法從做功的角度來判斷：分析物體或系統(tǒng)受力情況(包括內(nèi)力和外力)，明確各力做功的情況，若除重力或彈力外，其他力不做功或做功代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒。從能量轉(zhuǎn)化的角度來判斷：若物體或系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，而無機(jī)械能和其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒。3．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的基本思路應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)，相互作用的物體間的力可以是

變力，也可以是恒力，只要符合守恒條件，機(jī)械能就守恒，而且機(jī)械能守恒定律，只涉及物體系的初、末狀態(tài)的物理量，而不需分析中間過程的復(fù)雜變化，使處理問題得到簡化，應(yīng)用的基本思路如下：選取研究對(duì)象——物體系或物體。根據(jù)研究對(duì)象所經(jīng)歷的物理過程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒。恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對(duì)象在過程的初、末狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能。根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程，進(jìn)行求解。4．機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理的比較兩大規(guī)律比較內(nèi)容機(jī)械能守恒定律動(dòng)能定理表達(dá)式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk應(yīng)用范圍只有重力和彈力做功時(shí)無條件限制兩大規(guī)律比較內(nèi)容機(jī)械能守恒定律動(dòng)能定理物理意義其他力(重力、彈力以外)所做的功是機(jī)械能變化的量度合外力對(duì)物體做的功是動(dòng)能變化的量度關(guān)注角度守恒的條件和始末狀態(tài)機(jī)械能的形式及大小動(dòng)能的變化及改變動(dòng)能的方式(合外力做功情況)[特別提醒]除重力外還有其他力做功且做功不為零時(shí)，其他力做功數(shù)值等于機(jī)械能的變化量。由于應(yīng)用動(dòng)能定理不需要滿足什么條件，所以涉及到功能關(guān)系問題時(shí)還是優(yōu)先考慮動(dòng)能定理。2.如圖7－8－4所示，一輕質(zhì)彈簧一端固

定于O點(diǎn)，另一端系一重物，將重物從與懸點(diǎn)O在同一水平面且彈簧保持原長的A點(diǎn)無初速度地釋放，讓它自由擺下，不計(jì)空氣阻力。在重物從A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)

B的過程中，下列說法中正確的是

()A．重物的重力勢(shì)能減小

C．重物的機(jī)械能不變B．重物的重力勢(shì)能增大

D．重物的機(jī)械能減小圖7－8－4解析：重物從A點(diǎn)釋放后，在從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，重物的重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，彈簧逐漸被拉長，即彈簧的彈性勢(shì)能逐漸增大。所以，重物減小的重力勢(shì)能一部分轉(zhuǎn)化為重物的動(dòng)能，另一部分轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能。對(duì)重物來說，它的機(jī)械能減小。答案：AD[例1]

如圖7－8－5所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是

(

)圖7－8－5A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機(jī)械能守恒

B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)任何阻力時(shí)A加速下落，B加速上升過程中，A、B機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒[思路點(diǎn)撥]

解答本題應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：(1)理解機(jī)械能守恒的條件。

(2)靈活選擇判斷方法。[解析]

甲圖中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成

的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)。乙圖中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對(duì)B做負(fù)功，機(jī)械能不守恒，但從能量特點(diǎn)看A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B錯(cuò)。丙圖中繩子張力對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，代數(shù)和為零，A、B機(jī)械能守恒，C對(duì)。丁圖中動(dòng)能不變，勢(shì)能不變，機(jī)械能守恒，D對(duì)。[答案]

CD[借題發(fā)揮]判斷機(jī)械能是否守恒，可以從各力的做功情況著手分析，也可以從能量轉(zhuǎn)化情況著手分析；要根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇合適的分析方法。1．如圖7－8－6所示，下列四個(gè)選項(xiàng)的圖中，木塊均在固定的斜面上運(yùn)動(dòng)，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的，圖A、B中的F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運(yùn)動(dòng)，圖C中的木塊向上運(yùn)動(dòng)。在這四個(gè)圖所示的運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒的是

(

)圖7－8－6解析：機(jī)械能守恒的條件是只有重力做功，沒有其他力做功，A、B中除重力外，有其他外力F做功，故機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；C中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，C正確；D中斜面是粗糙的，除重力外，有摩擦力做功，機(jī)械能不守恒，D錯(cuò)誤。答案：C[例2]

如圖7－8－7所示，質(zhì)量不計(jì)的輕桿一端安裝在水平軸O上，桿的中央和另一端分別固定一個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B(可以當(dāng)做質(zhì)點(diǎn))，桿長為l，將輕桿從靜止開始釋放，不計(jì)空氣阻力。當(dāng)輕桿通過豎直位置時(shí)，求：小球A、B的速度各是多少。圖7－8－7[思路點(diǎn)撥]

A球和B球單獨(dú)隨輕桿在空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)它們運(yùn)動(dòng)的快慢程度是不同的，即A、B球和輕桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，輕桿對(duì)A、B球做功，因此兩球機(jī)械能均不守恒，但以A、B(包括輕桿)作為一個(gè)系統(tǒng)，只有小球的重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。[解析]

對(duì)

A、B(包括輕桿)組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律1v2p

k

A1ΔE

＝ΔE

得mgl

＋mgl＝

m2

2

2B＋

mv2

①A2又因

A、B

兩球的角速度ω相等，則

v

＝ωl

②vB＝ωl③A5B聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)解得

v

＝

3

，v

＝2gl35gl。5[答案]

3gl52

3gl[借題發(fā)揮]對(duì)于多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，研究對(duì)象的選取是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，若選單個(gè)物體為研究對(duì)象時(shí)，機(jī)械能可能不守恒，但選此物體與其他幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，機(jī)械能卻是守恒的。若在上例中把輕桿換成輕繩，A、B兩球分別固定在繩的中點(diǎn)和端點(diǎn)，在上例情況下靜止釋放。請(qǐng)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)觀察現(xiàn)象并分析A、B整體機(jī)械能是否守恒。解析：現(xiàn)象：A球帶動(dòng)B球擺動(dòng)，A球先擺到豎直位置，在擺動(dòng)中繩對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，把A、B作為一個(gè)整體來研究，只有重力對(duì)其做功，故A、B整體機(jī)械能守恒。答案：見解析[例3]

如圖7－8－8所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上的某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。要求物塊能通過圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過5mg(g為重力加速度)。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。[思路點(diǎn)撥]圖7－8－8解答本題應(yīng)把握以下三點(diǎn)：明確物塊沿軌道運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。h的大小決定物塊在圓形軌道最高點(diǎn)受到的壓力大小。

(3)在圓形軌道最高點(diǎn)可利用向心力公式列式求解。[解析]

設(shè)物塊在圓形軌道最高點(diǎn)的速度為

v，取地面為零勢(shì)能面，由機(jī)械能守恒定律得1mgh＝2mgR＋

mv2①2物塊在圓形軌道最高點(diǎn)受的力為重力mg

和軌道的壓力FN。重力與壓力的合力提供向心力，則有v2mg＋FN＝m

R

②物塊能通過最高點(diǎn)的條件是FN≥0③由②③式得v≥gR④由①④式得h≥5R。2按題目的要求，有FN≤5mg⑤由②⑤式得v≤6Rg⑥由①⑥式得h≤5R。25則h

的取值范圍是R≤h≤5R。2[答案]

5R≤h≤5R[借題發(fā)揮]機(jī)械能守恒表達(dá)式若選用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，需選定零勢(shì)能面。與圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的問題需注意物體能通過圓形軌道最高點(diǎn)有臨界條件。2．如圖7－8－9所示，用細(xì)圓管組成的光滑軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑rR。有一質(zhì)量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圓管。圖7－8－9(1)若要小球能從C

端出來，初速度v0

需多大？1(2)在小球從C

端出來的瞬間，管壁對(duì)小球的壓力為2mg，那么小球的初速度v0

應(yīng)為多少？解析：(1)要使小球能運(yùn)動(dòng)到C

處，且從C

端出來，必須滿足122mv0

≥mg·2R，即：v0≥2

gR。①(2)以AB

所在平面為零勢(shì)面，則小球到達(dá)C

處時(shí)的重力勢(shì)能為2mgR，從B

到C

列機(jī)械能守恒方程：2mv

＝2mgR1

12