考點05三角函數（20種題型8個易錯考點）（原卷版）

考點05三角函數（20種題型8個易錯考點）【課程安排細目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點清單三、題型方法四、易錯分析五.刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共2小題）1．（2021?上海）已知f（x）＝3sinx+2，對任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，則下列選項中，θ可能的值是（）A． B． C． D．2．（2020?上海）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件二．填空題（共5小題）3．（2022?上海）函數f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期為．4．（2022?上海）若tanα＝3，則tan（α+）＝．5．（2021?上海）已知θ＞0，存在實數φ，使得對任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，則θ的最小值是．6．（2020?上海）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），則x＝．7．（2020?上海）函數y＝tan2x的最小正周期為．三．解答題（共1小題）8．（2020?上海）已知函數f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．二二、考點清單一．任意角的概念一、角的有關概念1．從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角．2．從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角．3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ+α（k∈Z）．【解題方法點撥】角的概念注意的問題注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．二．終邊相同的角終邊相同的角：k?360°+α（k∈Z）它是與α角的終邊相同的角，（k＝0時，就是α本身），凡是終邊相同的兩個角，則它們之差一定是360°的整數倍，應該注意的是：兩個相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個角則不一定相等，也就是說，終邊相同是兩個角相等的必要條件，而不是充分條件．還應該注意到：A＝{x|x＝k?360°+30°，k∈Z}與集合B＝{x|x＝k?360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相應的與x軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°，k∈Z}；與x軸負方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+180°，k∈Z}；與y軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+90°，k∈Z}；與y軸負方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+270°，k∈Z}【解題方法點撥】終邊相同的角的應用（1）利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0，2π）范圍內的一個角α與2π的整數倍的和，然后判斷角α的象限．（2）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角．三．象限角、軸線角在直角坐標系內討論角（1）象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認為這個角是第幾象限角．（2）若角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．【解題方法點撥】（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．（2）角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．四．弧度制1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．規(guī)定：正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．2．弧度制把弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，比值與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關．【解題方法點撥】角度制與弧度制不可混用角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．五．弧長公式弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α．【解題方法點撥】弧長和扇形面積的計算方法（1）在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長，α（0＜α＜2π）為圓心角，S是扇形面積．六．扇形面積公式弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α．【解題方法點撥】弧長和扇形面積的計算方法（1）在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長，α（0＜α＜2π）為圓心角，S是扇形面積．七．任意角的三角函數的定義任意角的三角函數1定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．【解題方法點撥】利用三角函數的定義求三角函數值的方法利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值，需確定三個量：（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．八．三角函數線幾何表示三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線．九．三角函數的定義域【概念】函數的定義域指的是函數在自變量x的取值范圍，通俗的說就是使函數有意義的x的范圍．三角函數作為一類函數，也有定義域，而且略有差別．【三角函數的定義域】以下所有的k都屬于整數．①正弦函數：表達式為y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]單調遞增，其他區(qū)間單調遞減．②余弦函數：表達式為y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]單調遞增，其他區(qū)間單調遞減．③正切函數：表達式為y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在區(qū)間單調遞增．④余切函數：表達式為y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在區(qū)間單調遞減．⑤正割函數：表達式為y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx?cosx＝1．⑥余割函數：表達式為y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx?sinx＝1．【考點點評】這是一個概念，主要是熟記前面四種函數的定義域，特別是他們各自的單調區(qū)間和各自的周期，在書寫的時候一定不要忘了補充k∈Z．十．三角函數值的符號三角函數值符號記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．十一．三角函數的周期性周期性①一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．②對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f（x）的最小正周期．③函數y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解題方法點撥】1．一點提醒求函數y＝Asin（ωx+φ）的單調區(qū)間時，應注意ω的符號，只有當ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sint的相應單調區(qū)間求解，否則將出現錯誤．2．兩類點y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．3．求周期的三種方法①利用周期函數的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．③利用圖象．圖象重復的x的長度．十二．誘導公式【概述】三角函數作為一個類，有著很多共通的地方，在一定條件下也可以互相轉化，熟悉這些函數間的關系，對于我們解題大有裨益．【公式】①正弦函數：表達式為y＝sinx；有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數：表達式為y＝cosx；有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數：表達式為y＝tanx；tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx④余切函數：表達式為y＝cotx；cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．【應用】1、公式：公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα．公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α2、誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限．3、在求值與化簡時，常用方法有：（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．（2）和積轉換法：利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉化．（3）巧用“1”的變換：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．4、注意：（1）利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數為銳角三角函數，其步驟：去負→脫周→化銳．特別注意函數名稱和符號的確定．（2）在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號．（3）注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化．十三．運用誘導公式化簡求值利用誘導公式化簡求值的思路1．“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數化為任意正角的三角函數．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數化為0°到360°的三角函數，利用公式二將大于180°的角的三角函數化為0°到180°的三角函數．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．十四．正弦函數的圖象正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ十五．正弦函數的單調性三角函數的單調性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．十六．正弦函數的奇偶性和對稱性【正弦函數的對稱性】正弦函數是定義域為R的奇函數，既然是奇函數，那么其圖象關于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+，k∈z．十七．余弦函數的圖象正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調性遞增區(qū)間：（k∈Z）；遞減區(qū)間：（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ十八．余弦函數的單調性三角函數的單調性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．十九．正切函數的圖象正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調性遞增區(qū)間：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ二十．正切函數的單調性和周期性三角函數的單調性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．【正切函數的周期性】正切函數y＝tanx的最小正周期為π，即tan（kπ+x）＝tanx．二十一．正切函數的奇偶性與對稱性三角函數的奇偶性、周期性和對稱性1．判斷三角函數的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數式化為一個角的一種三角函數，再根據函數奇偶性的概念、三角函數奇偶性規(guī)律、三角函數的周期公式求解．2．求三角函數的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數周期公式；（3）借助函數的圖象．二十二．函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換函數y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．【解題方法點撥】1．一個技巧列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為，利用這一結論可以較快地寫出“五點”的坐標．2．兩個區(qū)別（1）振幅A與函數y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．3．三點提醒（1）要弄清楚是平移哪個函數的圖象，得到哪個函數的圖象；（2）要注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數應為，而不是|φ|．二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式根據圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點確定．二十四．三角函數的最值【三角函數的最值】三角函數的最值其實就是指三角函數在定義域內的最大值和最小值，涉及到三角函數的定義域、值域、單調性和它們的圖象．在求三角函數最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復合三角函數化為只含有一個三角函數的一元函數．二十五．同角三角函數間的基本關系1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：＝tanα．2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解題方法點撥】誘導公式記憶口訣：對于角“±α”（k∈Z）的三角函數記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數值前面加上當α為銳角時，原函數值的符號”．二十六．兩角和與差的三角函數（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．二十七．二倍角的三角函數【二倍角的三角函數】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可．二十八．半角的三角函數【半角的三角函數】半角的三角函數關系主要是指正切函數與正余弦函數之間的關系（正余弦的半角關系其實就是二倍角關系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．二十九．三角函數的恒等變換及化簡求值【概述】三角函數的恒等變化主要是指自變量x數值比較大時，如何轉化成我們常見的數值比較小的而且相等的三角函數，主要的方法就是運用它們的周期性．【公式】①正弦函數有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．三十．三角函數中的恒等變換應用1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：＝tanα．2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三十一．三角函數應用1．三角函數模型的簡單應用：1）在生活中的應用；2）；在建筑學中的應用；3）在航海中的應用；4）在物理學中的應用．2．解三角函數應用題的一般步驟：（1）閱讀理解材料：將文字語言轉化為符號語言；（2）建立變量關系：抽象成數學問題，建立變量關系；（3）討論變量性質：根據函數性質討論變量性質；（4）作出結論．【解題方法點撥】1、方法與技巧：（1）在生產生活中，常常有一些與角有關的最值問題，需要確定以角作為變量的三角函數來解決．（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準確解讀題目中的術語和有關名詞．（3）要能根據題意，畫出符合題意的圖形．（4）對計算結果，可根據實際情況進行處理．2、注意：（1）建立三角函數關系式關鍵是選擇適當的角作為變量．（2）解決應用問題要注重檢驗．（3）選擇變量后，要根據題中的條件，確定角的范圍．三十二．解三角形1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝三三、題型方法一．弧度制（共1小題）1．（2023?青浦區(qū)二模）已知函數的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的圖像仍是函數圖像，則θ可取值的集合為．二．扇形面積公式（共3小題）2．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知扇形圓心角α＝60°，α所對的弧長l＝6π，則該扇形面積為．3．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知一個半徑為4的扇形圓心角為θ（0＜θ＜2π），面積為2π，若tan（θ+φ）＝3，則tanφ＝．4．（2023?奉賢區(qū)校級模擬）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅（1470﹣1523）的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為cm2．三．任意角的三角函數的定義（共5小題）5．（2023?徐匯區(qū)二模）若角α的終邊過點P（4，﹣3），則＝．6．（2023?浦東新區(qū)校級三模）在平面直角坐標系xOy中，角α以Ox為始邊，其終邊經過點P（1，2），則sinα＝．7．（2023?普陀區(qū)校級三模）已知角α的終邊過點P（﹣1，2），則tanα的值為．8．（2023?楊浦區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，A（，）在以原點O為圓心半徑等1的圓上，將射線OA繞原點O逆時針方向旋轉α后交該圓于點B，設點B的橫坐標為f（α），縱坐標g（α）．（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果，求f（α）?g（α）的值．9．（2023?楊浦區(qū)校級三模）已知α是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點，且，則x的值是．四．三角函數的周期性（共8小題）10．（2023?嘉定區(qū)二模）函數y＝sin2x的最小正周期是．11．（2023?普陀區(qū)校級模擬）記函數的最小正周期為T．若，且，則ω＝（）A． B． C． D．12．（2023?黃浦區(qū)二模）函數y＝4cos2x+3的最小正周期為．13．（2023?上海模擬）函數y＝sin2（πx）的最小正周期為．14．（2023?奉賢區(qū)二模）下列函數中，以π為最小正周期且在區(qū)間單調遞增的是（）A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝|cosx| D．f（x）＝|sinx|15．（2023?松江區(qū)校級模擬）已知函數y＝sin（2ωx+φ），（ω＞0）的最小正周期為1，則ω＝．16．（2023?寶山區(qū)校級三模）已知函數，則函數f（x）的最小正周期是．17．（2023?長寧區(qū)二模）（1）求簡諧振動y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；（2）若函數在區(qū)間（0，m）上有唯一的極大值點，求實數m的取值范圍；（3）設a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函數y＝f（x）在區(qū)間（0，π）上是嚴格增函數，求實數a的取值范圍．五．運用誘導公式化簡求值（共1小題）18．（2023?奉賢區(qū)校級三模）已知，則＝．六．正弦函數的圖象（共3小題）19．（2023?青浦區(qū)校級模擬）已知f（x）＝sin2x，關于該函數有下列四個說法：①f（x）的最小正周期為2π；②f（x）在[﹣，]上單調遞增；③當x∈[，]時，f（x）的取值范圍為[﹣，]；④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．420．（2023?徐匯區(qū)校級三模）設函數f（x）＝sin（ωx+）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]21．（2023?黃浦區(qū)校級模擬）已知函數，其中ω＞0，若f（x）在區(qū)間上恰有2個零點，則ω的取值范圍是．七．正弦函數的單調性（共5小題）22．（2023?奉賢區(qū)校級模擬）已知w＞0，函數在區(qū)間上單調遞減，則w的取值范圍是（）A． B．（0，2] C． D．23．（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知在上是嚴格增函數，且該函數在上有最小值，那么φ的取值范圍是．24．（2023?長寧區(qū)校級三模）已知．（1）求方程f（x）＝0的解集；（2）求函數y＝f（x）在[0，π]上的單調增區(qū)間．25．（2023?黃浦區(qū)模擬）設a∈R，f（x）＝sin2x+acosx．（1）是否存在a使得y＝f（x）為奇函數？說明理由；（2）當a＜﹣4時，求證：函數y＝f（x）在區(qū)間上是嚴格增函數．26．（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知函數f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．（1）若函數f（x）在區(qū)間[a，]上遞增，求實數a的取值范圍；（2）若函數f（x）的圖象關于點Q（x1，y1）對稱，且x1∈[﹣]，求點Q的坐標．八．正弦函數的奇偶性和對稱性（共1小題）27．（2023?浦東新區(qū)模擬）設（其中），若點為函數y＝f（x）圖像的對稱中心，B，C是圖像上相鄰的最高點與最低點，且|BC|＝4，則下列結論正確的是（）A．函數y＝f（x）的對稱軸方程為 B．函數的圖像關于坐標原點對稱 C．函數y＝f（x）在區(qū)間（0，2）上是嚴格增函數 D．若函數y＝f（x）在區(qū)間（0，m）內有5個零點，則它在此區(qū)間內有且有2個極小值點九．余弦函數的圖象（共1小題）28．（2023?楊浦區(qū)二模）若存在實數φ，使函數f（x）＝cos（ωx+φ）﹣在x∈[π，3π]上有且僅有2個零點，則ω的取值范圍為．一十．余弦函數的單調性（共1小題）29．（2023?楊浦區(qū)校級模擬）函數y＝2cosx的嚴格減區(qū)間為．一十一．正切函數的圖象（共1小題）30．（2023?寶山區(qū)校級模擬）函數y＝tan（x﹣）的部分圖象如圖所示，則（+）?＝．一十二．函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共4小題）31．（2023?楊浦區(qū)校級三模）將函數的圖像上的各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再沿著x軸向右平移個單位，得到的函數的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．32．（2023?寶山區(qū)校級模擬）已知，函數y＝f（x），x∈R的最小正周期為π，將y＝f（x）的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于y軸對稱，則φ的值是．33．（2023?徐匯區(qū)校級模擬）將函數f（x）＝2sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數g（x）的圖象，若對滿足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值為，則φ＝．34．（2023?黃浦區(qū)二模）若函數y＝f（x）的圖像可由函數的圖像向右平移φ（0＜φ＜π）個單位所得到，且函數y＝f（x）在區(qū)間上是嚴格減函數，則φ＝．一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共2小題）35．（2023?浦東新區(qū)校級三模）函數在一個周期內的部分取值如表：xf（x）a1a﹣a﹣1則a＝．36．（2023?嘉定區(qū)模擬）已知A∈R，實數ω＞0，，函數y＝f（x）的部分圖像如圖所示，若該函數的最小正零點是，則ω＝．一十四．三角函數的最值（共6小題）37．（2023?金山區(qū)二模）若函數（常數ω＞0）在區(qū)間（0，π）沒有最值，則ω的取值范圍是．38．（2023?閔行區(qū)校級二模）若函數f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最小值為﹣2，則常數φ的一個取值為．39．（2023?松江區(qū)二模）已知，則的最小值為．40．（2023?嘉定區(qū)校級三模）函數f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是．41．（2023?楊浦區(qū)校級模擬）已知x，y∈R，則表達式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（）A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，無最小值 C．無最大值，有最小值 D．既無最大值，也無最小值42．（2023?徐匯區(qū)校級模擬）已知函數．（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）求f（x）在上的最大值與最小值．一十五．同角三角函數間的基本關系（共3小題）43．（2023?寶山區(qū)校級模擬）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）條件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要44．（2023?靜安區(qū)二模）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，則cosα＝．45．（2023?寶山區(qū)校級模擬）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），則tan2θ＝．一十六．兩角和與差的三角函數（共5小題）46．（2023?虹口區(qū)二模）已知x是第二象限的角，且，則＝．47．（2023?黃浦區(qū)校級三模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊記作a、b、c．已知，，則B﹣C＝．48．（2023?松江區(qū)模擬）已知函數，且，則α+β＝．49．（2023?普陀區(qū)校級三模）設函數，其中0＜ω＜2．（1）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調增區(qū)間；（2）若函數f（x）圖像在上存在對稱軸，求ω的取值范圍．50．（2023?徐匯區(qū)校級三模）如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（﹣1，2），賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧．（1）求ω的值和∠DOE的大??；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區(qū)域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置．一十七．二倍角的三角函數（共4小題）51．（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知，則＝（）A． B． C． D．52．（2023?松江區(qū)二模）已知，且，則tan2θ＝．53．（2023?浦東新區(qū)模擬）已知角x在第二象限，且，則tan2x＝．54．（2023?寶山區(qū)校級模擬）已知函數f（x）＝2sinxcosx+2cos2x．（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）將函數y＝f（x）圖象向右平移個單位后，得到函數y＝g（x）的圖象，求方程g（x）＝1的解．一十八．三角函數的恒等變換及化簡求值（共1小題）55．（2023?徐匯區(qū)校級模擬）已知α為銳角，且cos（+α）＝﹣，則tanα＝．一十九．三角函數中的恒等變換應用（共3小題）56．（2023?虹口區(qū)二模）對于函數，給出下列結論：（1）函數y＝f（x）的圖像關于點對稱；（2）函數y＝f（x）在區(qū)間上的值域為；（3）將函數y＝f（x）的圖像向左平移個單位長度得到函數y＝﹣cos2x的圖像；（4）曲線y＝f（x）在處的切線的斜率為1．則所有正確的結論是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）57．（2023?寶山區(qū)二模）已知函數．（1）求函數y＝f（x）的最小正周期和單調區(qū)間；（2）若關于x的方程f（x）﹣m＝0在上有兩個不同的實數解，求實數m的取值范圍．58．（2023?嘉定區(qū)校級三模）若關于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上在實數根，則實數m的取值范圍是．二十．三角函數應用（共2小題）59．（2023?靜安區(qū)二模）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個懸臂式屋頂摩天輪．摩天輪最高點離地面高度106米，轉盤直徑56米，輪上設置30個極具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野．游客從離樓頂屋面最近的平臺位置進入轎艙，開啟后按逆時針勻速旋轉t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，．若在t1，t2時刻，游客距離地面的高度相等，則t1+t2的最小值為（）A．6 B．12 C．18 D．2460．（2023?奉賢區(qū)校級三模）已知扇形OAB的半徑為1，，P是圓弧上一點（不與A，B重合），過P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，N為垂足．?（1）若，求PN的長；（2）設∠AOP＝x，PM，PN的線段之和為y，求y的取值范圍．四四、易錯分析易錯1：忽視角的范圍致錯1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D.eq\f(12,13)2．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為________．3．已知θ∈(0，π)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)，則sinθ＋cosθ＝________.4．在△ABC中，若C＝3B，則eq\f(c,b)的取值范圍為()A．(0,3) B．(1,3)C．(1，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，3)易錯2：對于含有二次根式的求值問題，開方時沒有注意正負5．化簡：2eq\r(sin8＋1)＋eq\r(2cos8＋2)＝()A．4cos4 B．－2sin4－4cos4C．4sin4 D．2sin4+4cos46．若eq\f(3π,2)<θ<eq\f(5π,2)，則eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosθ))等于()A．sineq\f(θ,4) B．coseq\f