福建省福州市市第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省福州市市第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)f（x）的圖象可由g（x）=2sin2x﹣1的圖象向右平移個(gè)單位得到D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得T==π，選項(xiàng)A正確；由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，故當(dāng)k=0時(shí)，可得函數(shù)一條對(duì)稱(chēng)軸為x=，選項(xiàng)B正確；g（x）=2sin2x﹣1的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的圖象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的圖象，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，顯然f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．2.為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像(

)A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A3.某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)～N(110，102)，若P(100≤≤110)=0．35，則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：B略4.某學(xué)校為了更好的培養(yǎng)尖子生，使其全面發(fā)展，決定由3名教師對(duì)5個(gè)尖子生進(jìn)行“包教”，要求每名教師的“包教”學(xué)生不超過(guò)2人，則不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．120參考答案：B【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】先分組5個(gè)尖子生分為（2，2，1），再分配即可．【解答】解：5個(gè)尖子生分為（2，2，1），故其分組的方法有=15種，再分配給3名教師，共有15A33=90種，故選：B．5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A.16π B.12π C. D.參考答案：C【分析】先還原幾何體，再由圓柱和圓錐的體積公式求解即可.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為圓柱挖去兩個(gè)圓錐，圓柱的底面半徑為2，高是4，圓錐的底面半徑為2，高分別為1和3．則該幾何體的體積.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體及組合體的體積的求解，屬于基礎(chǔ)題.6.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.若實(shí)數(shù)x，y滿足則z=3x+2y的最小值是(

)A.0

B.1

C.

D.9

參考答案：B作出不等式組表示的可行域（如下圖），令，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值0，故此時(shí)取得最小值1.8.設(shè)、是兩個(gè)命題，若是真命題，那么（

）A．是真命題且是假命題

B．是真命題且是真命題

C．是假命題且是真命題

D．是假命題且是假命題

參考答案：D9.定義在上的函數(shù),是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則（）A．B．

C．D．參考答案：D10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是A.

B.

C.

D.參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.參考答案：(e,1)【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．

12.若R，i是虛數(shù)單位，則=

.參考答案：答案：513.執(zhí)行右面的框圖，若輸出結(jié)果為，則輸入的實(shí)數(shù)的值是______.參考答案：略14.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，若A，B，C依次成等差數(shù)列且a2+c2=kb2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（1，2]【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用角A、B、C成等差數(shù)列B=，利用a2+c2=kb2，可得k=sin（2A﹣）+，即可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差數(shù)列，∴B=π﹣（A+C）=π﹣2B，解之得B=，∵a2+c2=kb2，∴sin2A+sin2C=ksin2B=，∴k=[sin2A+sin2（﹣A）]=[sin2A+cos2A+sinAcosA）]=sin（2A﹣）+，∵0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜sin（2A﹣）≤1，∴1＜sin（2A﹣）+≤2，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，2]．故答案為：（1，2]．15.已知，，，且向量，的夾角是60°，則m=

．參考答案：設(shè)，由，可得，，又向量，的夾角是，∴，解得：∴，即故答案為：

16.已知某幾何體的三視圖如圖所示，這該幾何體的體積為，表面積為．參考答案：288,336.【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)三視圖得出三視圖得出該幾何體是放倒的直三棱柱，利用給出的數(shù)據(jù)的體積，面積求解．【解答】解：根據(jù)三視圖得出該幾何體是放倒的直三棱柱．該幾何體的體積為8×6×12=288，該幾何體的表面積為12×（6+8）+2×+12×=12×14+48+120=336故答案為；288，336【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的三視圖運(yùn)用，關(guān)鍵是確定幾何體的直觀圖，根據(jù)幾何體的性質(zhì)判斷直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．17.已知，則的最小值為_(kāi)_________。參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.選修4—1：幾何證明選講如圖,已知圓O的直徑，C、D是圓O上的兩個(gè)點(diǎn)，于，交于，交于，．

（Ⅰ）求證：C是劣弧BD的中點(diǎn)；（Ⅱ）求證：。參考答案：19.已知函數(shù).(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.參考答案：：(1)方法1：，，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故，∴.方法2：由題意知方程僅有一實(shí)根，由得()，令，，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，所以要使僅有一個(gè)零點(diǎn)，則.方法3：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)即為直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，由得，∴，∴，所以實(shí)數(shù)的值為1.(2)由(1)知，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∵，令得，，，即.20.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，為等邊三角形，G是線段SB上的一點(diǎn)，且平面．（1）求證：G為SB的中點(diǎn)；（2）若F為SC的中點(diǎn)，連接GA，GC，F(xiàn)A，F(xiàn)G，平面SAB⊥平面ABCD，，求三棱錐的體積．參考答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，∵平面，平面平面，平面，∴，而為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)．（2）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，取的中點(diǎn)，連接，∵為等邊三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而，菱形的面積為，∴，∴．21.在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，E為AD的中點(diǎn)，∠BAD=120°，PA=AB=BC=AD，F(xiàn)是線段PB上動(dòng)點(diǎn)，記（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；（Ⅱ）設(shè)二面角F﹣CD﹣E的平面角為θ，當(dāng)tanθ=時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；二面角的平面角及求法．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）由已知得四邊形AEBC為平行四邊形，AB∥CE，由此能證明CE∥平面PAB．（Ⅱ）法一：過(guò)F作FH∥AP交AB于點(diǎn)H，由已知得FH⊥平面ABCD，過(guò)H作HG⊥CD交直線CD于點(diǎn)G，連接FG，則∠FGH即為二面角F﹣CD﹣E的平面角，延長(zhǎng)AB與DC交于點(diǎn)Q，設(shè)FH=a，則HG=2a，由此能求出．（Ⅱ）法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出．解答： 解：（Ⅰ）證明：∵E為AD的中點(diǎn)，，∴AE=BC，又AD∥BC，∴四邊形AEBC為平行四邊形，AB∥CE，又CE?平面PAB，AB?平面PAB，∴CE∥平面PAB．（Ⅱ）解法一：過(guò)F作FH∥AP交AB于點(diǎn)H，∵PA⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，過(guò)H作HG⊥CD交直線CD于點(diǎn)G，連接FG，則FG⊥CD，∴∠FGH即為二面角F﹣CD﹣E的平面角，，延長(zhǎng)AB與DC交于點(diǎn)Q，設(shè)FH=a，則HG=2a，又∵，∴∠BQC=30°，∠PBA=45°，在Rt△HGQ中，HQ=4a，Rt△PHB中，BH=FH=a，則BQ=3a，HA=2a，∴．（Ⅱ）解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則由，得，由已知得F（λ，