2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試卷含詳解

上海市曹楊第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）?函Jx)=tan2x-?I3J的最小正周期為2.等差數(shù)列的｝中，若％=°,且為+6=14,則4=.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,1遇到紅燈的概率都是3,則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路11時第一次遇到紅燈的概率是? 3cos(a+β]=-cos(a-β)=- , ,A.己知 ( 5,k 5,PIIjtaimtan/?=.已知向量”二（4,3）石=（2，-1）,則向量日在向量4方向上的投影的坐標(biāo)為.方程cos2x-SlnX=O在［°，句的解為.己知兔數(shù)Z滿足IZl=4,argZ=arctan2.若Z是實系數(shù)一元二次方程3/+樂+c=°的一個根，則“+°=..設(shè)數(shù)列｛"J的前〃項和為S%若S"=3-3αf,,則?S”=..已知甲袋中有2個白球、3個紅球、5個黑球；乙袋中有4個白球、3個紅球、3個黑球,各個球的大小與質(zhì)地相同.若從兩袋中各取一球，則2個球顏色不同的概率為..如圖，在?A8C中，A8=4,AC=3,/4=90。，若尸。為圓心為A的單位圓的一11.已知數(shù)列｛4｝和｛￡｝滿足:①％=4=°;②%+】=%+〃%二b〃和磯=an*i+〃中有且僅有一個成立，那么"；十5的值為._1√3..0=一不+虧1? 八、nη?5=[cιω2+bω+cIa,b,c∈[0,11）nl.1?.己知2 2（1為虛數(shù)單位）.設(shè)集合I 1L」/,則集合S中的元素在兔平面上對應(yīng)點所形成圖形的面積為.二、選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）.下列敘述隨機事件的頻率與概率的關(guān)系中，說法正確的是A.頻率就是概率 B.頻率是隨機的，與試驗次數(shù)無關(guān)C.概率是穩(wěn)定的，與試驗次數(shù)無關(guān) D.概率是隨機的，與試驗次數(shù)有關(guān).為了得到函數(shù)y=sm（2x+g）的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x--的圖象（）??/A.向左平移g個單位

2b向左平*個單位C向右平移1個單位2D向右平吟個單位.四邊形ABCz)中，AB//CD9若/=/從后+〃4萬(/1,〃￡1<),且無+〃=3,則S=（）∣A6∣1A.- B.3 C.? D.23 216設(shè)實數(shù)給出如下兩個命題：①存在],使得SlnX,cosλ-,taιιx,CotX按某種順序可組成等差數(shù)列：②存X,使得SmX,cosx,ta?i?,COtX按某種順序可組成等比數(shù)列.則（）A.①②均為真命題 B.①為真命題，②為假命題C①為假命題，②為真命題 D.①②均為假命題三、解答題（本大題滿分52分，本大題共有5題）.在δA6C中，角A、8、C的對邊分別為“、b、c,且osιn5+JOcosA=0?（1）求角A的大?。唬?）若6=4,δA5C的面積S=2√T,求δΛ5C的周長.?.已知α,beR,且b≠0,及數(shù)Z=。+加Q為虛數(shù)單位）滿足Z+*∈R?（1）求∣Z∣;?(2)若關(guān)于X的方程。F+*χ+2=0有實根，求Z的所有可能值.Z.已知函數(shù)/(x)=ASInQyX+8)(A>0,g>0,0<8<])的部分圖象如圖所示，其中P、。分別為函數(shù)/(M圖象相鄰的一個最高點和最低點，其橫坐標(biāo)分別為1和4,且OPOQ=O.(2)記/(#=ASln(OX+0),求函數(shù)y=∕(x+l)+∕(x-l),x∈[[,∣]的值域..如圖，在z√M5中，|。4|=4,|。聞=2,。為45邊上一點，且麗=2兩.(1)設(shè)。戶=Xo4+yO月，求實數(shù)A丁的值; JT (2)若〈。4。6〉=§,求M?M的值；(3)設(shè)點。滿足。0=；QA,求證：IPAI=2∣PQ∣.2L對于無窮數(shù)列｛可｝,設(shè)集合A=｛x∣x=∕,“≥1｝.若A為有限集，則稱數(shù)列｛為｝為“丁數(shù)列”.(1)已知數(shù)列｛q｝滿足q=2,∕+∣=±-,判斷｛q｝是否為“7數(shù)列”，并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)y=∕W的表達(dá)式為∕")=3∣x+l∣-∣x+2∣,數(shù)列也｝滿足‰=∕k)?若｛q｝為“丁數(shù)列”，求首項外的值;(3)設(shè)%=cos(fmz).若數(shù)列｛凡｝為“T數(shù)列”，求實數(shù)，的取值集合.上海市曹楊第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）?函數(shù)”加tan2x-?I3J的最小正周期為【答案】-2【詳解】利用正切型函數(shù)的最小正周期公式可知:函數(shù)/(x)=3?2x~τ\')的最小正周期為7=+.在等差數(shù)列｛《）中，若生=。，且為+%=14,則%=【答案】2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】設(shè)公差為d,依題意得al+2d=0q+4d+q+7d=14'al÷2J=02q+11"=14解得J1C,所以%=q+3d=2,d=2故答案為：2..某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個路II,假設(shè)在各路II是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是L,則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路II時第一次遇到紅燈的概3率是2【答案】I【詳解】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口首次遇到紅燈”為事件A,則所求概率為?1??p(A)=-×-=-t故答案為晨4己知COS(α+∕7)=±,cos(6Z-/?)=1,則tanαtan∕7二【答案】I【分析】利用兩角和差余弦公式將cos（。+/?）和cos（2-Z7）分別展開，再將兩式進(jìn)行加和減，可求得SinaSIn/7和CoSaCOS/7,兩式相除即可求得結(jié)果.即〈【詳解】cos(cr+/7)=cosacos/7-sincrsin/7=?...cos(σ-∕7)=cosacos∕7+smcrsm∕7=∣...j,4 2口+二得：2cosacos/?=-,解得：cos<zcos/7=—；□一□得:—2sui6zsinβ= ,解得：SinaSin4=：?CSinaSln。5?.β.tanatan∕?= =彳=一.COSaCOs/? 425故答案為：?.【點睛】本題考查兩角和差余弦公式的應(yīng)用，涉及到同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..已知向量￡=(4,3),8=(2,-1),則向量〃.在向量￡方向上的投影的坐標(biāo)為.(431【答案】##(0.8,06)k??/【分析】利用向量的數(shù)量積運算以及投影坐標(biāo)的概念求解.【詳解】由題得。％=5,問=5,∣8∣=6,cos<%6>=f^=g,所以向量6在向量￡方向上的投影數(shù)量為Wcos<a,b>=^-=lt與向量［的同向單位向量為==,av??/廠-Γa(43所以向量6在向量￡方向上的投影的坐標(biāo)為bcos<〃，">?==a?JJ_ (?t3、故答案為：.b5).方程cos2x-sinX=0在［θ,乃］的解為..….π54、【答殺】~∑--7~?00【分析】先由余弦的二倍角公式變形可得2sιι∕x+sιnx-1=0,再解關(guān)于SInX的二次方程,再在XqO,句求解即可.【詳解】解：因為cos2x-SinX=0,所以2sin?x+sinx-l=0，解得SlnX=-I或SinX=L,2又x∈[0,4∣,所以X=I或%=?，6 6故答案為：<~7^~Γ>-OO【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式，重點考查了解三角方程，屬基礎(chǔ)題..已知兔數(shù)Z滿足IZI=J5^,argz=arctan2.若Z是實系數(shù)一元二次方程3/+6x+C=O的一個根，則〃+。=.【答案】9【分析】根據(jù)題意求出Z=I+萬，然后根據(jù)Z是實系數(shù)一元二次方程3犬+以+c=0的一個根即可求解.【詳解】設(shè)Z=x+yi(xsR,yCR),因為aιgz=aιctan2,所以2=2,且兔數(shù)Z在第一象限，X又更數(shù)Z滿足IZl=J所以z=l+2i,因為Z是實系數(shù)一元二次方程3/+bx+c=O的一個根，則有3(1+2i>+欠1+2i)+c=0,也即Q2+2b)i+b+c-9=0f[12+2/7=0所以4C八，則b+c=9,[b+c-9=Q故答案為：9..設(shè)數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和為S“，若S”=3—3。“，則IIIYS”=.【答案】3【分析】根據(jù)數(shù)列S”的關(guān)系求出數(shù)列｛〃”｝的通項公式以及前〃項和為S”，再用極限求解.3【詳解】當(dāng)〃=1時，S∣=3-3q,即《=—,4當(dāng)〃≥2時，S〃_】=3—3%τ,=S“—S,-=3—3%—（3—3q,τ）得到%= ，43 3所以數(shù)列｛∕｝是以q=:為首項，-為公比的等比數(shù)列,4 4/?V 「，3Yr所以?！?一，所以S〃=31-a,\4/ 14J所以IlmS〃=Iim3=3,故答案為：3.9.已知甲袋中有2個白球、3個紅球、5個黑球；乙袋中有4個白球、3個紅球、3個黑球,各個球的大小與質(zhì)地相同.若從兩袋中各取一球，則2個球顏色不同的概率為.【答案】—##0.6825【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)占典概型公式求解即可.【詳解】由題，甲袋中共有10個球，乙袋中共有10個球，則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為IoxlO=I00,取出的2個球顏色不同，可能為：（甲白，乙紅），（甲白，乙黑），（甲紅，乙白），（甲紅，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙紅），則2個球顏色不同的基本事件數(shù)為（2x3+2x3）+（3x4+3x3）+（5x4+5x3）=68,所以P=68_17

iθθ^25故答案為:??.如圖，在?A5C中，TW=4，AC=3,ZA=90o,若尸。為圓心為A的單位圓的一條動直徑，則呼?麗的取值范圍是【答案】［-6,4］［分析］利用平面向量的線性運算可得出BP=AP-AB,CQ=AQ-AC=-AP-AC,運用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知，?A6C中，46=4,AC=3,ZA=90°,若尸。為圓心為A單位圓的一條動直徑，所以A為尸。的中點，IM=LAP=0<8C=5,因為5戶=A戶一A反酸=A0—AC=-AP-AC,所以加而=（衣—瓶）?（—衣—/）=（血—衣）（前+衣）=ABAC-AP2+AP?AB-AC）=-1+AP?CB,因為一A戶.圍≤AP?CS≤∣AP∣?∣Cδ∣,即一5≤Q?Sδ≤5所以一6≤-l+A戶.圍≤4,當(dāng)且僅當(dāng)AAC后同向時取最大值，反向時取最小值,所以麗?西的取值范圍是[-6,4],故答案為：[—6,4]/ 、 ，、 。4=4+〃cia.已知數(shù)列｛4｝和低｝滿足:①4=4=0；②仁_J和仁 中有且IZ,.1I—L?,. L?..I1—<Z,.+H〃+1Zl ∕l+lZl僅有一個成立，那么。：+〃：的值為【答案】225【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式結(jié)合累加法可求解.【詳解】若=。〃+〃=bn成立,則Ci6-Ci5=5,a5-a4=4,Ci4-cι5=3,az-cι2=2,cι1-cιl=1,以上式子累加得6—6=5+4+3+2+1=15,又因為q=0,所以4=15,又因為=b5=b4=b3=b2=bl=09所以〃；+/?；=225；%=4A÷ι=bn+〃成立，則∕=。5=。4=%=%=《=0，因為“一么=5也一〃4=4也一&=3也一N=2也一4=L以上式子累加得4—4=5+4+3+2+1=15,又因為A=0,所以4=15,所以〃；+母=225；故答案為:225..己知G=-g+弓i（ι為虛數(shù)單位）.設(shè)集合S={α療+Z?。+Cld"c?w[O,l]},則集合S中的元素在更平面上對應(yīng)點所形成圖形的面積為.【答案】3√3F【分析】先確定。力,C中的最小數(shù)為O,從而考慮。=O對應(yīng)的點集，作出圖形，結(jié)合圖形求面積.【詳解】l-i÷?Xi÷^x22 2 2=1二+"」-”=。,

2 2 22因為1+。+。？=于是不妨設(shè)。力,c中的最小數(shù)為0,否則4,aC同時減去最小數(shù)，對應(yīng)的〃療+勵+c不變,此外，若Z∈s,Z?。∈S,因此考慮。=0對應(yīng)的點集,然后逆時針旋轉(zhuǎn),將三部分求并集即得S,如圖,33由于儀υ的軌跡為線段OA,其中A(q-,l),然后將線段OA往右平移C(C∈[0,1]),劃過的區(qū)域即從υ+c表示發(fā)數(shù)對應(yīng)的點集，為平行四邊形。A5C,如圖所示,將該區(qū)域旋轉(zhuǎn)2次即得S,其面枳為±3.2故答案為：巫.2二、選擇題(本大題滿分12分，本大題共有4題).下列敘述隨機事件的頻率與概率的關(guān)系中，說法正確的是A.頻率就是概率 B.頻率是隨機的，與試驗次數(shù)無關(guān)C.概率是穩(wěn)定的，與試驗次數(shù)無關(guān) D.概率是隨機的，與試驗次數(shù)有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)頻率、概率的概念，可得結(jié)果.【詳解】頻率指的是：在相同條件下重夏試驗下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)除以總數(shù)，是變化的概率指的是：在大量重災(zāi)進(jìn)行同一個實驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就是事件A的概率，是不變的故選：C【點睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬基礎(chǔ)題..為了得到函數(shù)y=su3+g）的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x--的圖象（）??/A.向左平移4個單位2B.向左平移上個單位4C.向右平移￡個單位

2D向右平吟個單位【答案】B【分析】先將兩個三角的名字根據(jù)誘導(dǎo)公式化為相同，然后再平移即可一（ 2兀） （ππ?.（兀］［詳解］y=cos2x =cosZx =SIn2x——3√I62； （ 6Jππ將函數(shù)向左平移四個單位得:

4y=sm2∣ --=sm(2x+-).I4J63故選：B.在四邊形ABCO中，AB//CD,若A?=XA月+〃A萬R）,且久+〃=3,則P=（）IAsl1A.- B.3 C.? D.23 2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性表示以及運算結(jié)合圖形求解.如圖，過。作CE//AO,又因為A5//CO,所以四邊形A。CE是平行四邊形，所以*=瓶+ZB,又因為Ae=XA月+4A力（九〃∈R）,所以〃=1,通=尤而，又因為義+4=3,所以4=2,_ __CD所以衣=2而=麗,所以F=r=2.AB故選:D.設(shè)實數(shù)X∈(θ,;),給出如下兩個命題：①存在］,使得SInX,cosΛ-,ta∩Λ,CotX按某種順序可組成等差數(shù)列：②存在］,使得SInX,cosΛ-,ta∩Λ,CotX按某種順序可組成等比數(shù)列.則()A.①②均為真命題 B.①為真命題，②為假命題C①為假命題，②為真命題 D.①②均為假命題【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換即可求解.【詳解】假設(shè)角X與單位圓的交點為(。,〃)，(兀、因為x∈0,—,所以O(shè)vAvavl,4J則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知SInX=b,COSX=。，tan?=-,CotX=a b所以SinX,Cosx,tail%,CotX中SinX最小，CotX最大，若成等差數(shù)列，則SinX+cotX=COSX+tanx,即siιι2XcosX+cos2X=sinxcos2x+Silfx,即siιιXcosX(SinX-cosx)=(SinX-cosX)(Sinx+cosx),即siιιxcosx=siιιx+cos?,因為x∈Oq,所以工+工小礦,,則Sin(X+；)g所以$111%+(?0$不=忘5口1(.1+：)>1,而SlnXCOSXV1,故SinXeOSX=SinX+cosX不成立，所以SInX,cosx,taιιx,CotX不可能按某種順序組成等差數(shù)列；若成等比數(shù)列，則SlnXCOtX=COSXtanX,即CoSX=Sinx,因為x∈（θj],所以方程無解,I4；所以SInX,cosx,ta?i?,COtX不可能按某種順序組成等比數(shù)列;故選：D.三、解答題（本大題滿分52分，本大題共有5題）.在δA6C中，角A、B、C的對邊分別為“、b、c,KasinB+√3Z?cosA=O-（1）求角A的大小；（2）若b=4,δA8C的面積S=2√I,求δA8C的周長.【答案】（Dy（2）6+2√7【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）根據(jù)三角形的面枳公式和余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為。sin8+J?cosA=O,由正弦定理得SinASln5+JJsinbcosA=0，因為sm6≠0,所以s%A+JJcoSA=O，即tanA=-J?,因為A∈（0,兀），所以A=g.【小問2詳解】S=l?smA=√3c=2√3,所以c=2,由余弦定理得a=y∣b2+c2—2bccosA=2J7，所以δA5C的周長為6+2√7.2.已知〃力eR,且bWθ,及數(shù)Z=。+歷（1為虛數(shù)單位）滿足z+*∈R?Z（1）求|z|；?（2）若關(guān)于X方程^2+±x+2=0有實根，求Z的所有可能值.Z【答案】（1）√2（2）z=-l+i或z=-l-i【分析】（1）根據(jù)虛部等于零時復(fù):數(shù)為實數(shù)即可求解；（2）將原方程轉(zhuǎn)化為m+∕n）∕+（α-/H）X+2=0,根據(jù)方程有實數(shù)根，分類討論求解.【小問1詳解】2 2 1. 2(a-bι)Z+-=a+hi+ =a+bι+ Z a+bi (a+bi)(a-hi)=(α+^?r)+S--AV)1，因為Z+2eR,所以〃一一??θ,cr+lrα-+Zr Z cr+b^又b≠G,所以/+6?=2，即IZl=Ja,+b。=yf2;【小問2詳解】因為^2+2χ+2=0,∣z∣=7∑,所以療2+K+2=0,Z設(shè)實根為X,則(4+〃i)/+ i)x+2=O,. λ ax2+ax+2=O所以αχ-+αx+2+(Z?X--〃X)i=O,所以〈， ，bx^-bx=O因為Z?WO所以X=O或X=1,若X=0,則αd+αr+2=2=0無實數(shù)解，舍去；若X=I,則or，+αx+2=2α+2=0,所以α=-l,又由⑴知cJ+∕=2,所以b=±l,所以z=T+i或Z=-I-L.已知函數(shù)/(x)=ASInQyx+e)(A>0,G>0,0<e<])的部分圖象如圖所示，其中P、。分別為函數(shù)/(X)圖象相鄰的一個最高點和最低點，其橫坐標(biāo)分別為1和4,且OPOQ=O.(1)求的值，并求函數(shù)y=Asm(3x+°)的單調(diào)增區(qū)間；(2)記/(X)=ASIn(OX+0),求函數(shù)y=∕(x+l)+∕(x-l),X∈[!,∣]的值域.【答案】(1)A=2,ω=~,φ=-?,單調(diào)增區(qū)間為[6k—2,6k+l](&eZ)；3 6⑵[√2,2]【分析】(1)首先根據(jù)函數(shù)的周期求得。的值，設(shè)P(I,A),2(4,-A),利用赤?定求得A的值，然后通過代入點求得W的值，進(jìn)而通過解析式求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(2)首先通過(1)求得/(x+l)+∕(x-l)的解析式，進(jìn)而通過三角函數(shù)恒等變換公式將其化簡成正弦型函數(shù)，再通過函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)值域即可.【小問1詳解】由圖像得1=3,即7=6,所以包=6,得。=22 / 3設(shè)尸(LA),β(4,-A),由加?麗=4-A?=0，得A=2,又因為圖像經(jīng)過點(1,2),代入解析式得2sm(fχl+4=2,13 7即§4+9=5+2&乃，得夕=+ (&∈Z),因為O<0<∕,所以0=3，所以函數(shù)/(x)=2SinwX+.),令2人)一三≤2χ+2≤2k∕r+2,keZ,23 6 2解得6k-2≤x≤6k+l,kwZ,所以函數(shù)/CO的單調(diào)增區(qū)間為型-2,6〃+1］伙eZ)；【小問2詳解】因為/(?-?)=2sin[y(x-l)+-^]=2sin(yX-?^),f(x+l)=2sm[?^(x+l)÷^]=2sin(-^+?)=2cos生X,3 6 3 2 3所以y=2cosy%+2sin(yX-?^)33 63 6=cosyΛ+5∕3si∏yX=2sin(yΛ+因為J≤χ≤3,所以2≤2χ+2≤K,443 6 32當(dāng)gx+g=g,即X=I時，取得最大值，最大值為2；3 6 2當(dāng)令+/?’即時，取得最小值，最小值為夜所以尸（X）e[√∑,2]?20.如圖，在“145中，|。4|=4,|0可=2,。為45邊上一點，且麗=2麗.（1）設(shè)而=x0X+y而，求實數(shù)工、丁的值；（2）若〈。4,。6〉=冷，求。RM的值；（3）設(shè)點。滿足00=；函，求證：∣r4∣=2∣P0∣.2 1【答案】（I）X=；,），=,3 3（2）-8（3）證明見解析.【分析】⑴根據(jù)向量的減法運算和線性表示即可求解：（2）利用數(shù)量積的運算律求解：（2）用基底市,無表示出向量尸4尸0，再用數(shù)量積運算律表示出模長，即可得證.【小問1詳解】因為麗=2中，所以O(shè)戶-O月=2（04-O丹，—.2—1—? 2 1所以O(shè)P=WQA+908,所以x=_,y=_3 3 3 3+-OAOB

3333【小問3詳解】 3―. —,—>—,1—?I—?因為。Q=∕0A,所以PQ=OQQA-§03, ? I 因為方=§。4+§。月，∣OA∣=4,?OB1=2,BA=OA-OB =?θA^+^)B^-2OA?OB=20-2OAOB,―,I—.202—?―-所以∣PAF=t∣6AF=∕-∕θ4?O6,∣pρ∣2=?∣oa∣2÷?∣2-loA.δβ=^-lθA.≡,II1441I9∣I18 918所以I阿=4|喇,即I西卜2|畫，得證.2L對于無窮數(shù)列｛〃“｝,設(shè)集合A=｛x∣x=ql,"≥l｝.若A為有限集，則稱數(shù)列｛%｝為“丁數(shù)列”.(1)己知數(shù)列｛q｝滿足q=2,∕+∣