解一元二次方程課件-

21.2解一元二次方程21.2.1配方法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一利用平方根的定義解一元二次方程

一般地,對(duì)于方程x2=p,(1)當(dāng)p>0時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,x1=,x2=-;(2)當(dāng)p=0時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,x1=x2=0;(3)當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x2≥0,所以方程x2=p無(wú)實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二名師解讀:利用平方根的定義解一元二次方程的方法也叫做直接開(kāi)平方法,適合解一邊是關(guān)于某個(gè)未知數(shù)的完全平方式,另一邊是非負(fù)數(shù)的形式的一元二次方程.具體步驟如下:(1)將方程化為x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的形式;(2)兩邊開(kāi)平方,得知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例1

用直接開(kāi)平方法解下列方程:(1)x2-9=0;(2)4(x-2)2-3=0;(3)x2-6x+9=7;(4)(x-2)2=(2x+5)2.分析:(1)先變形得到x2=27,然后利用直接開(kāi)平方法求解;(2)先變形得到(x-2)2=,然后利用直接開(kāi)平方法求解;(3)先變形得到(x-3)2=7,然后利用直接開(kāi)平方法求解;(4)先兩邊開(kāi)方得到x-2=±(2x+5),然后解一元一次方程即可.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二(1)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的解的類型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同號(hào)且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同號(hào)且a≠0).法則:先把方程化為“左平方,右常數(shù)”,再開(kāi)平方取正負(fù),分開(kāi)求得方程解.(2)運(yùn)用整體思想,可把被開(kāi)方數(shù)看成整體.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二用配方法解一元二次方程通過(guò)配成完全平方的形式來(lái)解一元二次方程的方法,叫做配方法.名師解讀:配方法就是通過(guò)配方,使一元二次方程轉(zhuǎn)化為可以用直接開(kāi)平方法求解的形式,最終實(shí)現(xiàn)了“降次”的目的,這種方法“原則”上適用于任何形式的一元二次方程求解.一般步驟如下:(1)將方程化成一般形式并把二次項(xiàng)系數(shù)化成1.(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù))(2)移項(xiàng),使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù).(3)配方,方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二(4)原方程變?yōu)?x+n)2=p的形式:①當(dāng)p>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根②當(dāng)p=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-n;③當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,都有(x+n)2≥0,所以方程無(wú)實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性質(zhì),左右兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半(與系數(shù)的符號(hào)無(wú)關(guān))的平方即可.

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例3

用配方法解方程:x2+x-20=0.分析:因?yàn)轭}目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步驟進(jìn)行即可.解:∵x2+x-20=0,∴x2+x=20.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1.

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例4

用配方法解方程:2x2-4x=1.分析:題目要求利用配方法解一元二次方程,觀察發(fā)現(xiàn)方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不為1,因此先把二次項(xiàng)系數(shù)化成1,然后方程左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式,右邊化為常數(shù)即可.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二用配方法解一元二次方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”時(shí),先化成“1”,然后按照二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的方法進(jìn)行即可.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一特殊配方巧解一元二次方程例1

解方程4x2-4x-1=0.分析:方法一:按照常規(guī)的配方法去解;方法二:按照常規(guī)的配方法去解,但是不需要先把二次項(xiàng)系數(shù)化成1,觀察等號(hào)的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù),只要在方程的左右兩邊同時(shí)加上2,左端即變成一個(gè)完全平方式,右端是一個(gè)非負(fù)數(shù),就可以直接平開(kāi)方求出方程的解.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二此種解法告訴我們配方法可以靈活運(yùn)用,當(dāng)左邊二次項(xiàng)系數(shù)為一個(gè)數(shù)的完全平方時(shí),可以不必將二次項(xiàng)系數(shù)化成1,只要按照方法二的解法進(jìn)行即可.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用配方法判定二次三項(xiàng)式的符號(hào)例2

用配方法證明:不論x為任何實(shí)數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.分析:本題主要考查利用配方法說(shuō)明代數(shù)式的值恒大于0,說(shuō)明一個(gè)二次三項(xiàng)式恒大于0的方法是通過(guò)配方將二次三項(xiàng)式化成“a2+正數(shù)”的形式,根據(jù)完全平方的非負(fù)性來(lái)證明.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二證明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1,又∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+1>0,即x2-6x+10>0.∴不論x為任何實(shí)數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二要說(shuō)明一個(gè)式子恒大于0,只要把這個(gè)式子表示成“a2+正數(shù)”的形式即可;若要說(shuō)明一個(gè)式子恒小于0,只要把這個(gè)式子表示成“-a2-正數(shù)”即可.

21.2.2公式法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的判別式

一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式,通常用希臘字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)當(dāng)Δ>0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ<0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)數(shù)根.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二拓展講解:(1)判別式Δ=b2-4ac與一元二次方程根的情況的關(guān)系是相互的,即:①b2-4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;②b2-4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③b2-4ac<0?方程無(wú)實(shí)數(shù)根.(2)特別地:①一元二次方程有實(shí)根指的是有兩個(gè)不等實(shí)根和兩個(gè)相等實(shí)根,即此時(shí)應(yīng)有b2-4ac≥0;②一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí),不能說(shuō)成無(wú)解,因?yàn)榉匠虩o(wú)解,只是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例1

(2015·長(zhǎng)春)方程x2-2x+3=0的根的情況是(

)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解析:把a(bǔ)=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況.∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.答案:C知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二解答這類判斷一元二次方程根的情況的問(wèn)題,只要計(jì)算出判別式Δ=b2-4ac的值,根據(jù)判別式的符號(hào)即可確定.

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二公式法當(dāng)Δ≥0時(shí),方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根可寫為

的形式,這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表達(dá)了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)果.解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí),把各項(xiàng)系數(shù)直接代入求根公式,可以避免配方過(guò)程而直接得出根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二拓展講解:用公式法解一元二次方程的步驟是:(1)把一元二次方程化為一般形式;(2)確定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac≥0,則把a(bǔ),b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac<0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),必須把原方程的根寫成

的形式,這樣才能說(shuō)明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,而不是只有一個(gè)根.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例2

用公式法解下列方程.(1)x2-x=-2;(2)x2-2x=2x+1;(3)(3x-1)(x+2)=11x-4.分析:把各方程整理為一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被稱為“萬(wàn)能法”,但是使用時(shí),一定要先把一元二次方程化成一般形式,同時(shí)注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),而且要先計(jì)算b2-4ac的值,確定了根的情況后才能套用公式.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?(1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0.分析:(1)因?yàn)榉匠痰淖筮吺峭耆椒叫问?右邊是正整數(shù),所以利用直接開(kāi)平方法求解;(2)由于方程的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)為1,并且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù),所以利用配方法求解較好;(3)雖然方程的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)為1,但是一次項(xiàng)系數(shù)是奇數(shù),如果用配方法會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù),所以利用公式法解方程.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以說(shuō)是“通法”,即能解任何一個(gè)一元二次方程.但對(duì)某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接開(kāi)平方法簡(jiǎn)便.因此,在遇到一道題時(shí),應(yīng)根據(jù)題目自身的特點(diǎn)靈活地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ庖辉畏匠?

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二根據(jù)根的判別式確定字母的值或取值范圍例2

m為何值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1:(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?(3)沒(méi)有實(shí)數(shù)根?分析:回答各個(gè)問(wèn)題,只要根據(jù)方程的根的情況,確定判別式Δ=b2-4ac的取值,列出相應(yīng)的方程或不等式,解相應(yīng)的方程或不等式即可確定字母m的值或取值范圍.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問(wèn)題的一般方法是根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于未知字母的方程或不等式,通過(guò)解方程或不等式來(lái)求字母的值或確定字母的取值范圍.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三例3

已知關(guān)于x的方程(k-1)x2-6x+9=0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;(3)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求k的值,并求此方程的根.分析:由于題目中沒(méi)有指出所給方程是一元二次方程,所以需要分類討論解答:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;當(dāng)k不等于1時(shí),方程為一元二次方程,得到根的判別式大于等于0,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范圍;(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式大于0,即可得到k的范圍;(3)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式等于0,即可得到k的值.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;若k≠1,方程為一元二次方程,∵方程有實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.綜上,k的范圍為k≤2.(2)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k>0,且k-1≠0,解得k<2且k≠1.(3)∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程為x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問(wèn)題時(shí),注意觀察題目是否說(shuō)明所給方程是一元二次方程,如果沒(méi)有,要分類討論解答.如果指出所給方程是一元二次方程,一般根據(jù)題目所給出的根的情況列出方程或不等式,通過(guò)解方程或解不等式求出結(jié)果.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三與判別式有關(guān)的綜合題例4

已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求證:無(wú)論k取何值,它總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰三角形一邊a=3,另兩邊為方程的根,求k的值及三角形的周長(zhǎng).分析:(1)計(jì)算方程的根的判別式,若Δ=b2-4ac≥0,則方程有實(shí)數(shù)根;(2)已知a=3,則a可能是底,也可能是腰,分兩種情況求得b,c的值后,再求出△ABC的周長(zhǎng).注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn).拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)證明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴無(wú)論k取何值,它總有實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)a=3是等腰三角形的底時(shí),則Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,則方程為x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為2+2+3=7;當(dāng)a=3是等腰三角形的腰時(shí),則a=3是方程的一個(gè)根,將x=3代入x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此時(shí)方程變?yōu)閤2-5x+6=0,解方程得x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底為2,周長(zhǎng)為3+3+2=8.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問(wèn)題,首先根據(jù)根的判別式確定字母的取值范圍,同時(shí)注意結(jié)合等腰三角形的相關(guān)概念及三角形的三邊關(guān)系分類討論解答.

21.2.3因式分解法知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)因式分解法先因式分解,使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名師解讀:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:①將方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的一次因式的積;③令每個(gè)因式分別為零,得到兩個(gè)一元一次方程;④解這兩個(gè)一元一次方程,得出它們的解,它們的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也適合于一元“高次”(次數(shù)大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.知識(shí)點(diǎn)例1

方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是(

)A.-1,-6 B.2,3 C.-2,-3 D.1,6解析:觀察方程的特點(diǎn),可以用配方法和公式法求解,但是發(fā)現(xiàn)方程的右端為0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進(jìn)行分解,表示成兩個(gè)一次式的乘積,因此可以使用因式分解法求解.∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0,∴x1=2,x2=3.答案:B知識(shí)點(diǎn)因式分解法解一元二次方程的理論根據(jù)是如果兩個(gè)因式的積等于零,那么,這兩個(gè)因式至少要有一個(gè)等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來(lái)說(shuō),能用因式分解法求解的一元二次方程應(yīng)盡量用因式分解法,這種方法快速、方便,準(zhǔn)確率高,當(dāng)使用因式分解法比較困難時(shí),再考慮運(yùn)用公式法等.

知識(shí)點(diǎn)例2

解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程變形后,提取公因式可化為積的形式,然后利用“兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解;(2)方程左邊能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進(jìn)行因式分解.知識(shí)點(diǎn)解:(1)方程變形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知識(shí)點(diǎn)利用因式分解法解一元二次方程時(shí),先考慮提公因式法,再考慮公式法,只要能把方程的右邊化為0,左邊變成兩個(gè)一次式的乘積即可.同時(shí)特別注意方程兩邊不能同除以含有未知數(shù)的式子(有可能為零).

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

解方程:3x(x-1)=1-x.分析:觀察方程,方程右邊的“1-x”如果移到方程左邊,則變?yōu)椤皒-1”,此時(shí)有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移項(xiàng),得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,∴x-1=0或3x+1=0,∴x1=1,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),或方程的各項(xiàng)中有含有未知數(shù)的一次式的公因式時(shí),應(yīng)選用因式分解法求解.由于因式分解法是把一個(gè)一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程,它充分體現(xiàn)“降次”在解題中的作用.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例2

方程(x+3)2=25的根是(

)A.5,-5 B.2,-2 C.8,2 D.-8,2解析:觀察原方程,方程的左邊是(x+3)的完全平方式,右邊是一個(gè)非零常數(shù)25,宜選用直接開(kāi)平方法.兩邊開(kāi)平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,∴x1=-8,x2=2.答案:D拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程,一般適宜用直接開(kāi)平方法求解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例3

解方程:x2-2x-11=0.分析:本題若用因式分解法或直接開(kāi)平方法都有一定的困難,但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)是“1”,一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù),可選用配方法求解.解:移項(xiàng),得x2-2x=11,方程兩邊都加上12(一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二配方法適合于解任何一元二次方程,特別適合于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的2倍的方程.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例4

解方程:4x2-6x-3=0.分析:本題的各項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有什么明顯的特點(diǎn),利用上述三種方法解都比較麻煩,所以考慮使用公式法求解.解:∵a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二

當(dāng)所求解的一元二次方程沒(méi)有明顯的簡(jiǎn)便解法時(shí),就選擇公式法,公式法適用于求解任何一元二次方程.

綜上所述,因式分解法和直接開(kāi)平方法雖然簡(jiǎn)便,但并非所有的方程都可使用;配方法適用于任何一個(gè)一元二次方程,但過(guò)程比較麻煩;而公式法是在配方法的基礎(chǔ)上,利用其導(dǎo)出的求根公式直接求解,比配方法簡(jiǎn)單得多,但又不如直接開(kāi)平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程時(shí),要注意方法的選擇,可參考如下原則:

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二(1)當(dāng)一元二次方程的左邊為完全平方式,右邊為非負(fù)數(shù)或者左右兩邊都是完全平方式時(shí),可利用直接開(kāi)平方法;

(2)當(dāng)一個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí),適合用配方法;

(3)當(dāng)一元二次方程的兩邊有公因式或易于寫成左邊是兩個(gè)因式的積,右邊是0的形式時(shí),易采用因式分解法來(lái)解;

(4)在上述三種方法都不易求解的情況下,可利用公式法求解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用“換元法”解可化為一元二次方程的方程例5

解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:設(shè)x2-3x=y,則原方程可化為y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.當(dāng)y=-2時(shí),x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;當(dāng)y=4時(shí),x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根據(jù)以上材料,請(qǐng)解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通過(guò)閱讀可知,根據(jù)整體思想,利用“換元法”能解“可化為一元二次方程的一元高次方程”,此問(wèn)題中,可以把“(2x2-3x)”看做一個(gè)整體,令(2x2-3x)=y,則原方程變?yōu)閥2+5y+4=0,先求得y的值,再進(jìn)一步可求得原方程的解.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二解:設(shè)2x2-3x=y,原方程轉(zhuǎn)化為y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.當(dāng)y1=-4時(shí),2x2-3x+4=0,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)所給出的方程比較“復(fù)雜”,或者不易直接求解時(shí),可以利用“換元法”求解,利用換元法解方程的基本步驟為:

(1)先選取換元的“基本單元”,將方程換元成“新方程”,注意換元后,僅含有新設(shè)的未知數(shù);

(2)解新方程,得出新未知數(shù)的值;

(3)將新未知數(shù)還原成“基本單元”,即還原成含原未知數(shù)的方程;

(4)解所還原后的幾個(gè)方程,得到原方程的解.

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系由于二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的方程可以化簡(jiǎn)成x2+px+q=0的形式,所以當(dāng)方程有兩個(gè)根x1,x2時(shí),一定有一次項(xiàng)系數(shù)p=-(x1+x2),常數(shù)項(xiàng)q=x1·x2.名師解讀:由x1+x2=-p,x1·x2=q知,若已知x1,x2,p,q這四個(gè)量中的任何兩個(gè),都能確定另外兩個(gè),利用這種關(guān)系可以解答相關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例1

(2015·遵義模擬)如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2,x2=-1,那么p,q的值分別是(

)A.1,-2 B.-1,-2 C.-1,2 D.1,2解析:觀察可以發(fā)現(xiàn),方程的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”,所以有p=-[2+(-1)]=-1,q=2×(-1)=-2.答案:B知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二解答這類問(wèn)題,關(guān)鍵是正確掌握二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”時(shí),不能使用.

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二例2

已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則

的值為(

)A.31 B.29 C.25 D.17解析:此題若先解方程求得兩個(gè)根,再代入求值,計(jì)算量會(huì)很大,但是根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,容易求得x1與x2的和與積,如果再把所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)變成用兩根的和與積表示出來(lái)的式子,“整體代入”求值則比較方便.∵x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個(gè)根,∴x1+x2=5,x1x2=-2.答案:A知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二解答這類求代數(shù)式的值的問(wèn)題,先利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整體代入”的思想代入求值.

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二

知識(shí)點(diǎn)二二次項(xiàng)系數(shù)不是“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為:兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù),兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.用式子表示為

這個(gè)關(guān)系還叫做韋達(dá)定理.名師解讀:利用這兩個(gè)關(guān)系式可以解答“已知其中的三個(gè)量,求另外的兩個(gè)量的問(wèn)題”,還可以解答求代數(shù)式的值的問(wèn)題.要特別注意等式中的a,b,c所表示的含義.知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二解答這類問(wèn)題,先求出方程的解再代入代數(shù)式求值,計(jì)算量會(huì)很大,一般先把求值的代數(shù)式進(jìn)行變形,使其變成包含兩根的和與兩根的積的式子,再利用整體代入的方法求值.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一利用韋達(dá)定理由方程的根確定原方程例1

已知α,β滿足α+β=5,且αβ=6,則以α,β為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程是(

)A.x2+5x+6