第三章控能觀復(fù)習(xí)內(nèi)容

2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式1北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分問題：系統(tǒng)運動方程是時變的傳遞函數(shù)不存在？多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣不好處理？能否反映系統(tǒng)的中間變量的變化？非線性系統(tǒng)如何描述？高階線性微分方程求解方法：拉氏變換一階線性微分方程組2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式例2.4.1研究RLC電路，試找出輸出電壓uc(t)隨輸入電壓ur(t)變化的規(guī)律。解dt

L

L

Lc

rdi(t)

=

-

R

i(t)

-

1

u

(t)

+

1u

(t)duc

(t)

=

1

i(t)dt

c2北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分

-

-

0

1

0

i(t)

L

i(t)

L

R

1

dt

L

di(t)

=

dtuc

(t)

+

1

u

(t),

u

(t)

=

(1

0)r

cC

uc

(t)

duc

(t)

2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式例2.4.2如圖：由質(zhì)量為m的木塊、彈性系數(shù)為K的彈簧和阻尼系數(shù)為B的系統(tǒng)，試找出木塊的位移x(t)與外力f(t)之間的關(guān)系。解dtdv(t)

=

-

K

x(t)

-

B

v(t)

+

1

f

(t)dt

m

m

mdx(t)

=

v(t)3北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分

-

-

00

10)

v(t)

x(t)

x(t)

=

(1

+

1

f

(t)

m

v(t)

x(t)

B

m m

K

dt

dv(t)

dt

=

dx(t)

在例2.4.2中取：x1(t)=x(t),

x2(t)=v(t),

u(t)=f(t),y(t)=x(t)

0

-m

m

-

B

,

b

=

1

,

c

=

(1

0)

m0

1

KA

=2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式在例2.4.1中?。簒1(t)=uc(t),

x2(t)=i(t)，u(t)=ui(t),y=uc10

1

0-,

c=

(1

0)

L

,

b

=1

R

L

-

L

C

A

=

1

x2

(t

)

x

(t

)

?。簒(t

)=

y(t)

=

cx(t)x(t)

=

Ax(t)

+

bu(t)4北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分狀態(tài)空間的基本概念狀態(tài)變量——一組能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的相互獨立的最小個數(shù)的變量。x1(t),

x2(t),…,

xn(t)狀態(tài)向量——以狀態(tài)變量為分量構(gòu)成的向量，維數(shù)與狀態(tài)變量的個數(shù)相同，一般等于系統(tǒng)中儲能元件的個數(shù)。

xT(t)=(x1(t),

x2(t),…,

xn(t))狀態(tài)空間——以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的歐氏空間。2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式6北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分狀態(tài)變量的特點獨立性：狀態(tài)變量之間線性獨立；多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實際上存在無窮多種方案；等價性：兩個狀態(tài)向量之間只差一個非奇異線性變換；現(xiàn)實性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量；抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義。2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程和輸出方程-狀態(tài)空間表達(dá)式x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

狀態(tài)方程

y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)輸出方程線性系統(tǒng)

狀態(tài)空間表達(dá)式n維系統(tǒng)的狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式寫成向量形式7北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式

y(t)

=

g(x(t),

u(t),

t)輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式寫成向量形式：y=g（x，u，t）狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式x(t)

=

f

(x(t),

u(t),

t)8北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式9北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分與狀態(tài)空間表達(dá)式相關(guān)的術(shù)語當(dāng)：p

=q

=1時,B(t

)是n維列向量,C(t

)是n維行向量,稱系統(tǒng)

為SISO

(Single

Input

Single

Output

)—單輸入單輸出系統(tǒng),或稱為單變量系統(tǒng)。當(dāng)：p

>=1,q

>=1時,B(t

)是n

·

p維矩陣,C(t

)是q

·

n維矩陣,稱系統(tǒng)為MIMO(Multi

Input

Multi

Output

)—多輸入多輸出系統(tǒng),或稱為多變量系統(tǒng)。一般稱：A(t)—系統(tǒng)矩陣,B(t)—輸入矩陣或控制矩陣,C(t

)—輸出矩陣,D(t

)—傳遞矩陣或直接控制矩陣x1

+

x2x1

fi

?

fi?x.x

fi2fi

xx

fi

k

fi

k

x10北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分加法器：積分器：放大器：2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式的方框圖表示與模擬結(jié)構(gòu)圖表示2.4

狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式

y(t)

=

C(t)x(t)

+

D(t)u(t)x(t)

=

A(t)x(t)

+

B(t)u(t)u(t)∫B(t)C(t)A(t)D(t)x(t)x(t)y(t)表示系統(tǒng)信號的傳遞關(guān)系11北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分+2.4

狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式模擬結(jié)構(gòu)圖用來反映系統(tǒng)狀態(tài)變量間的信息傳遞關(guān)系

-

C

CR

L

y

=

(0

1)x

0

1

1

x

+

L

u

1

0

x

=

1∫∫uy1CR1C1L1L1x2x1x2x--2y

=

x1

212北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分L

Lx

=

1

x

-

1

x2

C

1

CR

2x

=

-

1

x

+

1

u2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式13北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分狀態(tài)空間表達(dá)式建立方法由物理機(jī)理分析直接建立由微分方程建立由傳遞函數(shù)建立由物理機(jī)理分析直接建立的步驟由牛頓定理，基爾霍夫定律等寫出運動方程選擇適當(dāng)狀態(tài)變量寫出狀態(tài)空間表達(dá)式2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式14北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分（2）由微分方程建立的方法微分方程不含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項微分方程含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項y(n)

+

ay(n-1

)

+

...+

a y

=

b

u(t)0

0n-1n-1y(n)

+

ay(n-1)

++

a y

=

b

u(m)

++

b

u0

m

02.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式微分方程不含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項y(n)

+ay(n-1

)

+

...+

a y

=

b

u(t)0

0n-1=(

n

-

1

)x

n

-

1x

1

=

yx

2

=

y

=

x

1x

3

=

y

=

x

2..x

n

=

y0+

b

0

u-

....

-

a-

a x

1=

x

nn

-

1

x

nx

n

=x

n

-

1x

1

=

x

2x

2

=

x

3..整理得能控標(biāo)準(zhǔn)型15北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式另一種取狀態(tài)變量的方法

xxn

=

yn-1(n-1)

12n-1(n-2)2n-1

n-1+

a

y(n-3)

+...

+

a

yx

=

yx

=

y

+

a

y(n-2)

+...

+

a

y

+

a

y2

1=

y

+a

y所以有16北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式整理得.1

b0

1

ux

=

x

+

1

-an

-1

0

0

-a00

-a

0

y

=

(0

1)x能觀標(biāo)準(zhǔn)型17北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分a2a1a0b0b1b2b3uuuuy2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式微分方程含有輸入項的導(dǎo)數(shù)項y

+

a2

y

+

a1

y

+

a0y

=

b3u

+

b2u

+

b1u

+

b0u18北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分yy

y2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式b0b1b2b3a2a1a0uyx1x2x319北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式需要確定系數(shù)20北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分0

1

1

2

3

3

02y

=

x1

+

b3u

3=

x3

+

b1ux

=

-a

x

-

a

x

-

a

x

+

b

uxx1

=

x2

+

b2ux1

=

y

-

b3ux2

=

x1

-

b2u

=

y

-

b3u

-

b2ux3

=

x2

-

b1u

=

y

-

b3u

-

b2u

-

b1ux4

=

x3

-

b0u

=

y

-

b3u

-

b2u

-

b1u

-

b0u=

-a0

x1

-

a1

x2

-

a0

x32.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式用代數(shù)方法確.定待定系數(shù)。.

...

..

....

...

..

.y

=

x1

+

b3

uy

=

x2

+

b3

u+

b2uy

=

x3

+

b3

u+

b2

u+

b1uy

=

x4

+

b3

u+

b2

u+

b1

u+

b0u其中x 輔助狀態(tài)帶入方程后4

.....

.4

32..1

0.2

3

2

3

2

2

2

1....

..

.(x

+

b

u+

b

u+

b

u+

b

u)

+a

x

+

a

b

u+

a

b

u+

a

b

u

+a1

x2

+

a1b3

u+

a1b2u

+a0

x1+

a0

b3u

=

b3

u+

b2

u+

b1

u+

b0u1

2

2

1

3

121北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分b3

=

b3b2

+

a2

b3

=

b2b

+

a

b

+

a

b

=

b21

2

b3

1

0

01

0a2

1a

a0

b3

b

a0

b

2

2

=

b1

a10

b1

b

a1

b

0

0

0

b0

+

a2

b1

+

a1b2

+

a0

b3

=

b0整理有解此方程即可得b0

,

b1

,

b2

,

b32.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式22北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分

01

0

1

b

=

bn

n-1n-1

a

aa

b

bn

0

狀態(tài)空間表達(dá)式為：

b

0)x

+

bnu

y

=

(110

1

0

bn-1

n-1

0x

+

u-

a

-

a0

x

=

推廣到n維：間表達(dá)式描述的系統(tǒng)，試寫出其狀態(tài)空2

1a =18

, a

=192

,

a

=640解640

y

=160u

+

640u2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空例2.4.2

由微分方程所間表達(dá)式。y+18y

+192

y

+b3=0

,

b2=0β3=b3=0β2=b2-a2β3=0β1=b1-a2β2-a1β3=160β

=b -a β

-a

β

-a

β0

0

2

1

1

2

0

3=640-18*160=-2240b3

=

b3b2

+

a2

b3

=

b2b1

+

a2

b2

+

a1b3

=

b1b0

+

a2

b1

+

a1b2

+

a0

b3

=

b00, b1=160

,

b0=640系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：23北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分

0

0)xy

=(1-22400-18-640x

=

01

0

0

1

x

+

160

-192

0

.2.4

狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式24北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分

bn-1

-

an-1bn

)x

+

bnu

y

=

(b0

-

a0bn1

0

1

0x

+

.

u

.

0-

a

-

a

.

.

-

an-1b1

-

a1bn

.

.01

.

.000

.

.0..

....

.1x

=

另一種實現(xiàn)形式：2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式能控標(biāo)準(zhǔn)型：能觀標(biāo)準(zhǔn)型：25北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式（3）由傳遞函數(shù)建立傳遞函數(shù)微分方程并聯(lián)分解(極點互異的情況)G(s)

=

b(s

-

z1)(s

-

zm

)(s

-

p1)(s

-

pn

)當(dāng)p1…pn兩兩互異時，傳函可分解為：i26北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分s

-

pcii=1nG(s)

=i

iic

=

lim(s

-

p

)G(s)sfi

pi

=

1,,

n.其中...c2s

-

p2cns

-

pn?c1s

-

p1u27北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分y此時，系統(tǒng)的狀態(tài)模擬圖可繪為：2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式??xn

=

pn

xn

+

uy

=

c

x

+

+

c

x

1

1

n n

x1

=

p1

x1

+

u

?p

n

x

+ux

=

y

=

(c1

cn

)x

p11

1如圖所選狀態(tài)，則有：c1p1pncnxnx1uy2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型28北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分已知系統(tǒng)傳函為：=

s(s

+

2)(s

+

3)2

6(s

+1)

求狀態(tài)空間表達(dá)式。c3

c4c11

c12G(s)+

+=

(s

+3)2

+

s

+3

s

+2

s11c

=

1

lim(s+3)2

G(s)

=lim6(s+1)

=-4sfi

-3

s(s+2)0!sfi

-3c12=

1

lim

d

6(

s

+

1)

=

-

10

1!

s

fi

-3

ds

s(

s

+

2)

3將G(s)分解為：求以上4個系數(shù)：3c

=lim(s

+2)G(s)

=lim

6(s

+1)

=3sfi

-2

s(s

+3)2sfi

-22

=

6(s

+1)

13c4

=limsG(s)

=limsfi

0

(s

+2)(s

+3)sfi

0取111143x

(s)

=

u(s)su(s)

s

+

2x

(s)

=x2

(s)

=

s

+

3

u(s)

(s

+

3)x1

(s)

=

2

u(s)解2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式例2.4.4G(s)29北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分114321sx

(s)

=

1

u(s)u(s)

s

+

2x

(s)

=u(s)

s

+

31x2

(s)

=x

(s)(s

+

3)x

(s)

==

u23222=

-3

x

+

u=

-2

x

+

u=

-3

x

1

+

x

2x

x

x

x

131

-

,

3,

x310y

=-4,整理有：x

+

u

1

1000

1

0-3

1

0

0

0

-3

0

0

0

-20

0

0x

=3

1

-

,

3,

x310y

=

-

4,2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型30北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分現(xiàn)在考慮運動對象的狀態(tài)方程與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)某p輸入q輸出的對象的狀態(tài)方程和輸出方程如下：31北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動化系2021年7月16日1時12分在零初值條件下，對式（