高中數(shù)學(xué)-指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

2/2第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念教材分析本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.2.1節(jié)《指數(shù)函數(shù)的概念》。從內(nèi)容上看它是學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，以及函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過實際問題的探究，建立的第四個函數(shù)模型。其研究和學(xué)習(xí)過程，與先前的研究過程類似。先由實際問題探究，建立指數(shù)函數(shù)的模型和概念，再畫函數(shù)圖像，然后借助函數(shù)圖像討論函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用建立的指數(shù)函數(shù)模型解決問題。體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般方法，讓學(xué)生充分感受，數(shù)學(xué)建模、直觀想象、及由特殊到一般的思想方法。教學(xué)目標(biāo)和核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法．(重點)2.理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點(難點)3.培養(yǎng)勇于探索的精神，體會由特殊到一般的研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。a.數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)的概念；b.邏輯推理：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)特點；c.數(shù)學(xué)運算：待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)解析式；d.直觀想象：指數(shù)函數(shù)圖像；e.數(shù)學(xué)建模：在實際問題中建立指數(shù)函數(shù)模型；教學(xué)重難點重點：理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法．難點：理解指數(shù)函數(shù)增長變化迅速的特點；課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程設(shè)計意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境對于冪QUOTEax(a>0ax(a>0，我們已經(jīng)把指數(shù)QUOTE（二）、探索新知問題１隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區(qū)自2011年起采取了不同的應(yīng)對措施，Ａ地提高了景區(qū)門票價格，而Ｂ地則取消了景區(qū)門票．下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表，分別畫出Ａ，Ｂ兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖觀察圖象和表格，可以發(fā)現(xiàn)，Ａ地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增加量大致相等（約為１０萬次）；Ｂ地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律．我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的．能否通過對Ｂ地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請你試一試．從2002年起，將Ｂ地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

2002做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率．增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個很重要的量．結(jié)果表明，Ｂ地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1＝0.11，是一個常數(shù)像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長．因此，Ｂ地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長．顯然，從２００１年開始，Ｂ地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；……x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為２００１年的y倍，那么y＝1.11x（x∈[０，＋∞））．①這是一個函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量．問題２當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為狆，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，那么；死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)1；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)2；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)3；……死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p)5730．根據(jù)已知條件，（1-p)5730＝QUOTE1212,從而1-p=QUOTE(12)15730(12)15730,所以p=1-QUOTE(設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳１４含量為y，那么y=（1-p)x，即QUOTEy=((12)15730)xy=((12)15730)x,（x∈[如果用字母a代替上述①②兩式中的底數(shù)1.11和QUOTE(12)15730，那么函數(shù)y＝1.11x和QUOTEy=((12)可以表示為QUOTEy=axy=ax指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是___.思考：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?1．思考辨析(1)y＝x2是指數(shù)函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝2－x不是指數(shù)函數(shù)．()(3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√（三）典例解析例1．已知指數(shù)函數(shù)設(shè)f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，應(yīng)先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；解：因為f(x)＝ax,且f(3)=π,則QUOTEa3a3=π，解得QUOTEa

a

=QUOTEπ13π13,于是f(x)＝QUOTEπx3πx3，所以f(0)=QUOTEπ0π0=1，f(1)=QUOTEπ13π13=QUOTE3π3π，f(-3)=QUOTEπ-1π-1=QUOTE1π1π跟蹤訓(xùn)練1：已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且QUOTEf-32=39則f(－2)＝________.解析：設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得aeq\s\up12(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).[規(guī)律方法]1．在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住三點：(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為1.2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法例２（1）在問題１中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，Ａ地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間Ａ，Ｂ兩地旅游收入變化情況．解：（１）設(shè)經(jīng)過x年，游客給Ａ，Ｂ兩地帶來的收入分別為f（x）和g（x），則f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用計算工具可得，當(dāng)x=0時，f（0）－g（0）＝412000．當(dāng)x≈10.22時，f（10.22）≈g（10.22）．結(jié)合圖可知：當(dāng)x＜10.22時，f（x）＞g（x），當(dāng)x＞10.22時，f（x）＜g（x）．當(dāng)x＝14時，f（14）－g（14）≈347303．這說明，在2001年，游客給Ａ地帶來的收入比Ｂ地多412000萬元；隨后10年，雖然f（x）＞g（x），但g（x）的增長速度大于f（x）；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實際情況，在2011年2月某個時刻就有f（x）＝g（x），這時游客給Ａ地帶來的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客給Ｂ地帶來的收入超過了Ａ地；由于g（x）增長得越來越快，在2015年，Ｂ地的收入已經(jīng)比Ａ地多347303萬元了．開門見山，通過對指數(shù)冪運算及函數(shù)概念和性質(zhì)學(xué)習(xí)的鋪墊，提出研究課題：指數(shù)函數(shù)。培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。探究問題：探究1.通過景區(qū)門票價格制定與參觀景區(qū)人數(shù)，兩個變量函數(shù)關(guān)系的建立，體會數(shù)學(xué)源于生活，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)；通過典例問題的分析，讓學(xué)生體驗實際問題分析方法，及指數(shù)函數(shù)變化特點。培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力；探究2.通過生物體死亡時間與體內(nèi)碳14含量，函數(shù)關(guān)系的建立，體會指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的廣泛性，并建立指數(shù)函數(shù)的概念。體會由特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)；通過典例分析，進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的概念，及認(rèn)識到指數(shù)函數(shù)變化迅速的特點；三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－x【答案】D[由指數(shù)函數(shù)的定義可知D正確．]2.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）．【答案】C[由指數(shù)函數(shù)的增長速度及定義，可知C正確．]3．已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)[由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]4．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝2，則f(x)＝________.【答案】eq\r(2)x[設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則f(2)＝a2＝2，∴a＝eq\r(2)(a＝－eq\r(2)舍去)，∴f(x)＝eq\r(2)x.]通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固指數(shù)函數(shù)的概念，及了解指數(shù)函數(shù)變化特點，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。四、小結(jié)1、指數(shù)函數(shù)概念函數(shù)y=ax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.函數(shù)的定義域是R.五、作業(yè)學(xué)案29學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識要點，及運用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯點；指數(shù)函數(shù)的概念通過之前學(xué)習(xí)冪函數(shù)，學(xué)生對函數(shù)和圖象的認(rèn)識已有了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：知識層面：學(xué)生已初步掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)和簡單的指數(shù)運算技能。能力層面：學(xué)生在初中已經(jīng)掌握了用描點法描繪函數(shù)圖象的方法，通過前面學(xué)習(xí)了集合與函數(shù)概念后初步具備了數(shù)形結(jié)合的思想。情感層面：學(xué)生對數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但是探究問題的能力以及數(shù)學(xué)建模和抽象能力還有欠缺。指數(shù)函數(shù)的概念效果分析本節(jié)課的內(nèi)容遵循研究冪函數(shù)的過程和方法：“背景—概念—圖像和性質(zhì)—應(yīng)用”，體現(xiàn)了函數(shù)研究的一般思路。對于指數(shù)函數(shù)，以兩地景區(qū)游客流量變化的問題為例，通過一次函數(shù)直線增長的對比，引入指數(shù)函數(shù)，突出指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點，體現(xiàn)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的必要性。再以碳14的衰減問題為例，介紹指數(shù)函數(shù)衰減特點，以幫助學(xué)生更好地把握指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。本節(jié)課的難點是抽象、概括指數(shù)函數(shù)的概念。因為學(xué)生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動，由具體問題和圖象進(jìn)行歸納、演繹，并通過抽象概括或推理得出本質(zhì)，從而得到有關(guān)概念，在這個過程中學(xué)生會遇到困難。指數(shù)函數(shù)的概念《指數(shù)函數(shù)的概念》是人教A版高中數(shù)學(xué)（必修）第一冊4.2.1的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了《指數(shù)》一節(jié)內(nèi)容之后編排的。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以對指數(shù)和函數(shù)的概念等知識進(jìn)一步鞏固和深化，又可以為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)、對數(shù)函數(shù)尤其是利用互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系來研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下堅實的概念和圖象基礎(chǔ)，又因為《指數(shù)函數(shù)》是進(jìn)入高中以后學(xué)生遇到的第一個系統(tǒng)研究的函數(shù)，對高中階段研究對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等完整的函數(shù)知識，初步培養(yǎng)函數(shù)的應(yīng)用意識打下了良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以《指數(shù)函數(shù)》不僅是本章《函數(shù)》的重點內(nèi)容，也是高中學(xué)段的主要研究內(nèi)容之一，有著不可替代的重要作用。此外，《指數(shù)函數(shù)的概念》的知識與我們的日常生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究有著緊密的聯(lián)系，尤其體現(xiàn)在細(xì)胞分裂、借貸利率的計算和考古中的年代測算等方面，因此學(xué)習(xí)這部分知識還有著廣泛的現(xiàn)實意義。本節(jié)內(nèi)容的特點之一是概念性強(qiáng)，特點之二是凸顯了數(shù)學(xué)圖形在研究函數(shù)性質(zhì)時的重要作用。第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念選擇題1．下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）．①②

③

④A.0 B. C. D.2．若有意義，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3．一個模具廠一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的m倍，那么該模具廠這一年中產(chǎn)量的月平均增長率是()A．B．C．－1D．－14.函數(shù)f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠15．已知函數(shù)，則的值為（）A．81 B．27 C．9 D．6．放射性物質(zhì)的半衰期定義為每經(jīng)過時間，該物質(zhì)的質(zhì)量會衰退原來的一半，鉛制容器中有兩種放射性物質(zhì)，，開始記錄時容器中物質(zhì)的質(zhì)量是物質(zhì)的質(zhì)量的2倍，而120小時后兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，已知物質(zhì)的半衰期為7.5小時，則物質(zhì)的半衰期為（）A．10小時 B．8小時 C．12小時 D．15小時二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝則f(2)＝________.8．已知則=__________.9．已知函數(shù)的值域為集合A，集合，則10.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到QUOTE0.30.3mg/ml,在停止喝后，血液中的酒精含量以每小時QUOTE25%25%的速度減少．為保障交通安全,法律規(guī)定,駕駛員血液中的酒精含量不得超過QUOTE0.080.08mg/ml．那么此人至少過小時才能開車(精確到QUOTE11小時)．三、解答題11．已知指數(shù)函數(shù)QUOTEy=g(x)y=g(x)滿足QUOTEg(3)=8g(3)=8，定義域為R的函數(shù)QUOTEf(x)=g(x)-g(-x)f(x)=g(x)-g(-x)．QUOTE(1)(1)求QUOTEy=g(x)y=f(x)y=g(x)y=f(x)的解析式；QUOTE(2)