第二邏輯代數(shù)

第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1邏輯代數(shù)的三種基本運算第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月變量的取值：邏輯0、邏輯1。與運算或運算非運算變量的表示：用字母表示1、三種基本邏輯運算一、邏輯變量二、基本邏輯運算與基本邏輯門邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)下一頁前一頁退出第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯表達式F=A

B=AB與邏輯真值表與邏輯關系表1）與邏輯開關A開關B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF邏輯符號只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生與邏輯運算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示運算規(guī)則：見0為0,全1為1第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯表達式F=A+B或邏輯真值表2）或邏輯ABF1邏輯符號決定某一事件結果的任意條件成立時候，結果發(fā)生發(fā)生ABF101101001110N個輸入：F=A+

B+...+N或邏輯運算符，也有用“∨”、“∪”表示運算規(guī)則：見1為1,全0為0下一頁前一頁退出第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月3）非邏輯當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，非邏輯真值表邏輯符號AF1AF0110邏輯表達式F=A“-”非邏輯運算符2、復合邏輯運算與非邏輯運算F1=AB或非邏輯運算F2=A+B與或非邏輯運算F3=AB+CD第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月1）異或運算ABF101101001100ABF=1邏輯符號ABF1011010000112）同或運算邏輯表達式F=AB=AB

ABF=1邏輯符號3、其他常見運算運算規(guī)則：相同為0,相異為1運算規(guī)則：相同為1,相異為0下一頁前一頁退出邏輯表達式F=AB=AB+AB

第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月ABF100100000111ABFVLVLVLVLVHVL0ABF01001011111VLVHVHVLVHVH電平關系正邏輯負邏輯高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示4、正邏輯與負邏輯（與門）（或門）高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示下一頁前一頁退出第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯符號：&=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA國外符號：下一頁前一頁退出第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月1、基本公式公理交換律結合律分配律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月0-1律重疊律互補律自等律A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=A

A=A還原律下一頁前一頁退出第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月AB=A+BA+B=AB反演律吸收律A+AB=A某乘積項的部分因子恰好是另一乘積項的全部，則該乘積項多余下一頁前一頁退出A

（A

+B）=A2、常用公式第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月AB+ABC=AB+C

某乘積項的部分因子恰好是另一乘積項的補，則該部分因子多余例：A+AB=A+B

消因律第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)包含律若兩個乘積項的部分因子恰好互補，而第三個乘積項含有前兩項剩余因子之積，則第三個乘積項多余AB+AC+BCD=AB+AC下一頁前一頁退出第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3邏輯代數(shù)的基本定理第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月1、代入定理代入規(guī)則：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例：

AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律下一頁前一頁退出第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月反演規(guī)則：對于任意一個邏輯函數(shù)式F，做如下處理：若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”

換成“.”;常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注：①保持原函數(shù)的運算次序--先與后或，必要時適當?shù)丶尤肜ㄌ枹诓粚儆趩蝹€變量上的非號有兩種處理方法非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變例：F(A、B、C)其反函數(shù)為或下一頁前一頁退出2、反演定理第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對偶式：對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對偶式F′，也稱對偶函數(shù)

對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應的對偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。使公式的數(shù)目增加一倍。求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。注：函數(shù)式中有“”和“⊙”運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“”換成“⊙”，“⊙”換成“”。

例：其對偶式下一頁前一頁退出3、對偶定理第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4邏輯函數(shù)及其表示方法第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月F

=f（A、B、C、...）稱為邏輯函數(shù)。1、邏輯函數(shù)式2、邏輯圖輸入變量輸出變量例：F=ABF=A+BABF1下一頁前一頁退出一、邏輯函數(shù)及其表示方法

F=AB+C＆AB≥1CF第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月描述邏輯函數(shù)各個變量取值組合和函數(shù)值對應關系的表格真值表的寫法：列出所有變量的取值組合及相應的輸出函數(shù)值n個變量有2n種組合ABF1011010000113、真值表ABF101101000011下一頁前一頁退出第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月4、波形圖反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時序圖第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例：ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開，F(xiàn)滅0000C合，A、B中有一個合，F(xiàn)亮11C合，A、B均斷，F(xiàn)滅0真值表到函數(shù)式挑出函數(shù)值為1的項1101111101111每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項這些乘積項作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC下一頁前一頁退出二、各種表示方法間的相互轉換第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月F=ABC+ABC+ABC乘積項用與門實現(xiàn)，和項用或門實現(xiàn)下一頁前一頁退出函數(shù)式到邏輯圖第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

1

＆＝1≥1ABC邏輯圖到函數(shù)式CBCA⊕BA⊕B+BCA⊕B+BCF=第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月真值表到波形圖ABCF00000100101110011011101100001101101111101111CAB第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三、邏輯函數(shù)的標準形式1、函數(shù)表達式的常用形式

一個邏輯函數(shù)可以寫成幾種不同類型的形式。例如：F(A、B、C)

③“與非―與非”式②“或―與”式④“或非―或非”式⑤“與―或―非”式上述①式為“與-或”表達式，也稱“積之和”表達式；②式為“或-與”表達式也稱“和之積”表達式；兩者為邏輯函數(shù)的基本形式①“與―或”式下一頁前一頁退出第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月最小項：n個變量有2n個最小項，記作mi3個變量有23（8）個最小項m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）1）最小項和最大項乘積項和項最小項二進制數(shù)十進制數(shù)編號最小項編號i-各輸入變量取值看成二進制數(shù)，對應的十進制數(shù)2、邏輯函數(shù)的標準形式

下一頁前一頁退出第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項

最小項的性質：同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0。即mimj=0(i≠j)全部最小項之和為1，即任意一組變量取值，只有一個最小項的值為1，其它最小項的值均為0具有相鄰性的兩個最小項之和可合并成一項并消去一個因子。

相鄰性：兩個最小項僅有一個因子不同

例：ABC+ABC=AB第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2）標準積之和(最小項）表達式式中的每一個乘積項均為最小項F(A、B、C、D)例：求函數(shù)F(A、B、C)的標準積之和表達式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補律，補上所缺變量C下一頁前一頁退出第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的標準積之和表達式

從真值表找出F為1的對應最小項解:011331101551110661111771然后將這些項邏輯加F(A、B、C)下一頁前一頁退出第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月3）最大項n個變量有2n個最大項，記作in個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的和項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）同一組變量取值任意兩個不同最大項的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項之積為0，即任意一組變量取值，只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1最大項：最大項的性質：下一頁前一頁退出第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月4）最小項與最大項的關系相同編號的最小項和最大項存在互補關系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干個最小項之和表示的表達式F，其反函數(shù)F可用等同個與這些最小項相對應的最大項之積表示。

例：m1m3m5m7==下一頁前一頁退出第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5邏輯函數(shù)的化簡第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的簡化依據(jù)

邏輯電路所用門的數(shù)量少

每個門的輸入端個數(shù)少

邏輯電路構成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性下一頁前一頁退出第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方法：并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B消項：利用A+AB=A消去多余的項AB配項：利用和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項BC消元：利用消去多余變量A一、公式法的化簡下一頁前一頁退出第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例：試簡化函數(shù)解：利用反演律配項加AB消因律消項AB下一頁前一頁退出第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

k圖為矩形圖。n個變量的函數(shù)--k圖有2n個小方格，分別對應2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，1、卡諾圖（K圖）三變量K圖二變量K圖四變量K圖AB1010

m0

m1

m2

m3ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m70001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD二、圖形法的化簡第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月K圖的特點

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，圖中幾何相鄰的最小項在邏輯上相鄰。有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四變量K圖2、卡諾圖的特點上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?，只有一個因子不同下一頁前一頁退出第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月1、已知函數(shù)為最小項之和表達式(最大項之積表達式），存在的最?。ù螅╉棇母裉?（0），其余格均填0（1）。2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項對應的方格填1，其余格均填0。例子3、函數(shù)為一個復雜的運算式，則先將其變成與或式(或與式)，再用直接法填寫。例子3、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)下一頁前一頁退出例子第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月4、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)（1）畫圈①相鄰的1

圈在一起，，圈為矩形。②圈中1的個數(shù)為2n個③圈越大越好④所有的1必須圈完⑤1

可以重復圈，但每個圈中至少有一個未被圈過的1下一頁前一頁退出第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）合并最小項每個圈一項保留未變化的因子0100011110001110CDAB例：Y=AB+AC+BC+CDAB1111AC1111

BC1111CD1111Y=C+D+AB

最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式下一頁前一頁退出第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月0100011110001110CDAB例：Y=A+DY=ABC+ABD+CD+ABC+ACD+ACD111111111111例：Y=ABC+AB+AD+C+BD0100011110001110CDAB11111111111111Y=C+D+B下一頁前一頁退出第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月0100011110001110CDAB例：1111111Y=ABCD+ABD+ACD+ABCDY=AC+BD0100011110001110CDAB例：Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD1

111

1

1Y=BC+BD下一頁前一頁退出第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例：Y=∏M(5,7,13,15)下一頁前一頁退出0100011110001110CDAB0000

1111

11

11

1111Y=b+d第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月AB5、具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡（1）約束項約束：對輸入變量所加的限制，這組變量叫做具有約束的變量例：水塔中裝有兩個水位檢測傳感器，當水位高于傳感器時，輸出為1，否則為0，當水位高于A時，水位溢出報警器Y1輸出為1，當水位低于B時，水位過低報警器Y2輸出為1。

A

BY1Y2

00010100101110約束項：不會出現(xiàn)的變量取值所對應的最小項下一頁前一頁退出第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月如果在輸入變量的某些取值下，不管函數(shù)值是0還是1,都不影響邏輯電路的功能；那末，在這些變量取值下，其值等于1的最小項稱為任意項.

約束項和任意項統(tǒng)稱為無關項.（2）任意項（3）無關項（4）無關項的表示無關項可用∑d(……）表示。例：∑d(m2，m5，m7）約束項也可表示為m2＋m5＋m7＝0下一頁前一頁退出或d（m2+m5+m7）第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月AB（6）具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡例：水塔中裝有兩個水位檢測傳感器，當水位高于傳感器時，輸出為1，否則為0，當水位高于A時，水位溢出報警器Y1輸出為1，當水位低于B時，水位過低報警器Y2輸出為1。

A

BY1Y2

00010100101110

在卡諾圖和真值表中，無關項對用的取值用×（Φ）表示××AB1010

AB1010

Y1Y200×110×0Y1=AY2=B×可圈可不圈第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知函數(shù)：

求其最簡與或式0100011110001110CDAB解：填函數(shù)的卡諾圖111111100000化簡不考慮約束條件時：考慮約束條件時：0100011110001110CDAB1111111××××00000下一頁前一頁