離散系統(tǒng)時域描述差分方程

1第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1差分的定義連續(xù)函數(shù)，采樣后為簡寫一階向前差分：二階向前差分：n階向前差分：一階向后差分：二階向后差分：n階向后差分：2第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2差分方程差分方程是確定時間序列的方程

連續(xù)系統(tǒng)微分用差分代替一般離散系統(tǒng)的差分方程：差分方程還可用向后差分表示為：代替代替3第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3線性常系數(shù)差分方程的迭代求解差分方程的解也分為通解與特解。通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強迫運動。例3-1已知差分方程，試求解：采用遞推迭代法，有：4第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-1采用MATLAB程序求解解序列為：k=0，1，…，9時，n=10;%定義計算的點數(shù)c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定義輸入輸出和點數(shù)的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%繪輸出響應圖，每一點上用o表示MATLAB程序：c=0，1.0000，1.5000，1.7500，1.8750，1.9375，1.9688，1.9844，1.9922，1.9961，……差分方程的解序列表示說明：另一個求解方法是利用z變換求解。5第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3.7應用實例6第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1z變換定義1.z變換采樣信號采樣信號的z變換注意：z變換中，z-1代表信號滯后一個采樣周期，可稱為單位延遲因子。7第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月采樣脈沖序列進行z變換的寫法：在實際應用中，對控制工程中多數(shù)信號，z變換所表示的無窮級數(shù)是收斂的，并可寫成閉和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、極點形式：8第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.z反變換求與z變換相對應的采樣序列函數(shù)的過程稱為z反變換。z反變換唯一，且對應的是采樣序列值。

z變換只能反映采樣點的信號，不能反映采樣點之間的行為。9第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2z變換的基本定理1．線性定理2．實位移定理（時移定理）(1)右位移（延遲）定理(2)左位移（超前）定理3．復域位移定理

10第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2z變換的基本定理4．初值定理5．終值定理

若存在極限，則有：假定函數(shù)全部極點均在z平面的單位圓內(nèi)或最多有一個極點在z=1處，則

11第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3求z變換及反變換方法1.z變換方法(1)級數(shù)求和法(根據(jù)定義)例3-6求指數(shù)函數(shù)的z變換

12第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月利用s域中的部分分式展開法1.z變換方法(2)F(s)的z變換（L反變換）

(z變換)(采樣)例3-7試求的z變換。解：另一種由F(s)求取F(z)的方法是留數(shù)計算方法。本書對此不予討論13第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月利用MATLAB軟件中的符號語言工具箱進行F(s)部分分式展開已知，通過部分分式展開法求F(z)。F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)；%傳遞函數(shù)F(s)進行符號定義[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項式pdenF=sym2poly(denF)；%將分子轉(zhuǎn)化為一般多項式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展開MATLAB程序：運行結(jié)果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=[]（此題無K值）對應部分分式分解結(jié)果為：14第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.z變換方法(3)利用z變換定理求取z變換式例3-8已知f(t)=sint的z變換的z變換。解：利用z變換中的復位移定理可以很容易得到

試求15第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.z變換方法(4)查表法實際應用時可能遇到各種復雜函數(shù)，不可能采用上述方法進行推導計算。實際上，前人已通過各種方法針對常用函數(shù)進行了計算，求出了相應的F(z)并列出了表格，工程人員應用時，根據(jù)已知函數(shù)直接查表即可。具體表格見附錄A。

部分分式

查表求和

部分分式

查表求和

16第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.z反變換方法(1)查表法（可以直接從表中查得原函數(shù)）如已知z變換函數(shù)F(z)，可以依F(z)直接從給定的表格中求得它的原函數(shù)f*(t)。17第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.z反變換方法(2)部分分式法（較復雜，無法直接從表格中查其原函數(shù)）

部分分式

查表求和

查表18第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月部分分式法例子例3-9求下式的z反變換MATLAB程序：Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%進行符號定義F=Fz/′z′；[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項式pdenF=sym2poly(denF)；[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展開查表可得其中19第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.z反變換方法(3)冪級數(shù)展開法（長除法）例3-10已知，求對該例，從相關(guān)系數(shù)中可以歸納得：20第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4差分方程z變換解法例3-11用z變換法求差分方程利用z變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：(1)對每一項做z變換(2)歸納整理特解通解

(3)z反變換查表得部分分式展開假設(shè)初始條件為零，上式第2項為零21第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析

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3.7應用實例

22第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義定義：在初始條件為零時，離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)又稱為z傳遞函數(shù)輸出量z變換輸入量z變換輸出的采樣信號：圖3-6脈沖傳遞函數(shù)23第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2脈沖傳遞函數(shù)特性離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時，其脈沖響應的z變換。若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，當其輸出端加入虛擬開關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。?/p>

（1）對G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應（2）對采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應為（3）對離散脈沖響應做z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應用脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號無關(guān)。24第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2脈沖傳遞函數(shù)特性2.脈沖傳遞函數(shù)的極點與零點極點當G(z)是G(s)由通過z變換得到時，它的極點是G(s)的極點按z=e-sT的關(guān)系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點位置不僅與G(s)的極點有關(guān)，還與采樣周期T密切相關(guān)。當采樣周期T足夠小時，G(s)的極點都將將密集地映射在z=1附近。零點G(z)的零點是采樣周期T的復雜函數(shù)。采樣過程會增加額外的零點。若連續(xù)系統(tǒng)G(s)沒有不穩(wěn)定的零點，且極點數(shù)與零點數(shù)之差大于2，當采樣周期較小時，G(z)總會出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點，變成非最小相位系統(tǒng)。

有不穩(wěn)定零點的連續(xù)系統(tǒng)G(s)，只要采樣周期取得合適，離散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點的G(z)

。25第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3差分方程與脈沖傳遞函數(shù)1.由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程，設(shè)初始條件為零。兩端進行z變換脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征多項式系統(tǒng)輸出26第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3差分方程與脈沖傳遞函數(shù)2.由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程z反變換z反變換27第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

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3.7應用實例

28第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換1.采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)29第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換2.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)30第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換3.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)疊加定理有：31第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2閉環(huán)反饋系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)圖3-10采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)E(z)=R(z)-B(z)B(z)=G2G3H(z)U(z)E(z)=R(z)-G2G3H(z)U(z)C(z)=G2G3(z)U(z)U(z)=G1(z)E(z)C(z)=G2G3(z)G1(z)E(z)E(z)=R(z)/[1+G1(z)G2G3H(z)]

一般系統(tǒng)輸出z變換可按以下公式直接給出：32第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.3計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1.數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)控制算法，通常有以下兩種形式：差分方程脈沖傳遞函數(shù)D(z)連續(xù)傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)D(z)(z變換法)(第5章的離散法)33第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.3計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)2.連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)計算機輸出的控制指令u*(t)是經(jīng)過零階保持器加到系統(tǒng)的被控對象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被控對象組成。

被控對象傳遞函數(shù)圖3-11連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)34第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.3計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)3.閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取例3-12求下圖所示計算機控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知T=1秒。

解：T=1s35第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月利用Matlab相應命令進行Z變換c=[00.6321]d=[1.0000-0.3679]MATLAB命令：num=[1];den=[1,1];[c,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh')計算輸出即得到36第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.4干擾作用時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出根據(jù)線性系統(tǒng)疊加定理，可分別計算指令信號和干擾信號作用下的輸出響應。圖3-13有干擾時的計算機控制系統(tǒng)R(s)單獨作用時的系統(tǒng)輸出[N(s)=0]干擾單獨作用時的系統(tǒng)輸出[R(s)=0]共同作用時的系統(tǒng)輸出37第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析

3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

3.7應用實例

38第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.1離散系統(tǒng)頻率特性定義在離散系統(tǒng)中，一個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性是指，在正弦信號作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復數(shù)比隨輸入正弦信號頻率變化的特性。頻率特性定義：圖3-14離散系統(tǒng)的頻率特性39第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.2離散系統(tǒng)頻率特性的計算離散系統(tǒng)頻率特性的指數(shù)形式

幅頻特性相頻特性1.數(shù)值計算法——按表達式逐點計算它的幅相頻率特性。連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：例3-13要求繪制它們的頻率特性。40第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab符號語言實現(xiàn)Gs=sym(′1/(s+1)′)；%傳遞函數(shù)F(s)T=0.5；[numGs,denGs]=numden(Gs)；%提取分子分母%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z變換[pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′)；w=0:0.1:19；[mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w)；[dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；fori=1:1:90ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360endendfori=1:1:190ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,′blue′);holdon;plot(w,dmag,′red′);Gridon;axis([0,19,0,1.2]);figure(2);plot(w,pha,′blue′);holdon;plot(w,dpha,′red′);Gridon;axis([0,19,-200,200]);41第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-15例3-13的幅頻和相頻特性曲線42第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.2離散系統(tǒng)頻率特性的計算2.幾何作圖法43第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.3離散系統(tǒng)頻率特性的特點1.特點(1)周期性：周期為(2)幅頻特性為的偶對稱(3)相頻特性為的奇對稱說明：由于離散環(huán)節(jié)頻率特性不是的有理分式函數(shù)，在繪制對數(shù)頻率特性時，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對數(shù)頻率特性。

44第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.應注意問題離散環(huán)節(jié)頻率特性不是的有理分式函數(shù)，在繪制對數(shù)頻率特性時，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對數(shù)頻率特性。(2)離散環(huán)節(jié)頻率特性形狀與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性形狀有較大差別，特別是當采樣周期較大以及頻率較高時，由于混疊，使頻率特性形狀有較大變化，主要表現(xiàn)有:高頻時會出現(xiàn)多個峰值；可能出現(xiàn)正相位；僅在較小的采樣周期或低頻段與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性相接近。45第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1離散系統(tǒng)時域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析

3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

3.7應用實例

46第46頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.7應用實例求下圖所示天線計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程并利用MATLAB軟件計算系統(tǒng)的單位階躍響應及開環(huán)對數(shù)頻率特性。圖3-26天線控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖47第47頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月電樞控制的直流電動機加天線負載的傳遞函數(shù)機電時間常數(shù)

電機傳動系數(shù)

速度閉環(huán)傳統(tǒng)函數(shù)速度閉環(huán)回路增益

速度回路時間常數(shù)

天線角速度