2023年廣東省廣州市黃埔區(qū)北京師大廣州實驗學校中考數(shù)學二模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的相反數(shù)等于()

A.B.C.D.

2.如圖是一個正方體的展開圖，該正方體按如圖所示的位置擺放，此時這個正方體朝下的一面的字是()

A.中B.國C.夢D.強

3.下列運算中，正確的是()

A.B.

C.D.

4.按照如圖所示的計算程序，若，則輸出的結(jié)果是()

A.B.C.D.

5.已知一次函數(shù)函數(shù)值隨自變量的增大而減小，且，則函數(shù)的圖象大致是()

A.B.

C.D.

6.在中，若，則的度數(shù)是()

A.B.C.D.

7.在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“”，其規(guī)定則為，如，根據(jù)這個規(guī)則，則方程的解為()

A.B.C.D.

8.某校舉辦了“玉龍書韻”主題演講比賽活動，參賽的名選手成績?nèi)绫?，則位選手成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是()

成績

人數(shù)

A.，B.，C.，D.，

9.如圖，中，，，點的坐標為，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當點的對應點落在上時，點的坐標為()

A.

B.

C.

D.

10.如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，沿勻速運動到點，設(shè)點運動的路程為，的面積為，那么與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象是()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．

12.已知是方程的一個實數(shù)根，則的值為______．

13.是的內(nèi)接正六邊形一邊，點是優(yōu)弧上的一點點不與點，重合且，與交于點，則的度數(shù)為______．

14.我國北方有一個習俗：過年包餃子時會隨機在餃子中包上糖果或硬幣，我們稱其為“幸運餃子”吃到“幸運餃子”的人新的一年的日子會甜甜美美、萬事如意小亮家共煮了個餃子，其中有個“幸運餃子”，小亮從中隨機挑選了一個餃子正好是“幸運餃子”的概率是______．

15.如圖，矩形的對角線交于點，點是矩形外一點，，，，連接交于點、連接若，則線段的長為______．

16.如圖，正方形的邊長為，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為______；

三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

計算．

18.本小題分

如圖，，，點，，在同一直線上，，，，求的長．

19.本小題分

已知．

化簡；

若，當時，求的值．

20.本小題分

為豐富課后服務(wù)內(nèi)容，某校開設(shè)了武術(shù)操、生活與數(shù)學、語言藝術(shù)、勞動制作四門校本課程，為了解學生對這四門校本課程的喜愛情況，對學生進行了隨機問卷調(diào)查，分別用、、、代表這四門課程，并對調(diào)查結(jié)果分析后繪制了如下兩幅圖不完整的統(tǒng)計圖．

請你根據(jù)圖中提供的信息完成下列問題：

求被調(diào)查學生的人數(shù)并將條形統(tǒng)計圖補充完整；

已知該校有名學生，估計該校學生喜愛課程的學生有多少人？

小黃和小埔參加校本課程學習，若每人從、、三門校本課程中隨機選取一門，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩人恰好選中同一門校本課程的概率．

21.本小題分

黃墻區(qū)已經(jīng)開通了以“交通惠民、智駕啟航”為主題的自動駕駛便民巴土線路，科學城和知識城自動駕駛便民巴土線開通試運營、某汽車公司計劃購進一批自動駕駛便民巴士嘗試進行銷售，據(jù)了解輛型巴士、輛型巴士的進價共計萬元；輛型巴士、輛型巴士的進價共計萬元．

求、兩種型號的巴士每輛進價分別為多少萬元？

若該公司計劃正好用萬元購進以上兩種型號的自動駕駛便民巴士兩種型號的巴士均購買，請你幫助該公司設(shè)計購買方案．

22.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，將向右平移得到，雙曲線交邊于點，交邊于點．

求，的值；

求點的坐標．

23.本小題分

如圖，在矩形中，，，是線段上一點．

尺規(guī)作圖：作點關(guān)于的對稱點；

連接，當剛好落在線段上時，求；

連接，當剛好落在線段上時，求．

24.本小題分

如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，將矩形沿折疊，點落在點處，連接．

如圖，求證：；

如圖，若，求．

點在邊上運動的過程中，的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時線段的長；若不存在，請說明理由．

25.本小題分

已知關(guān)于的方程．

求證：無論取任何實數(shù)時，該方程總有實數(shù)根；

若拋物線的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且為正整數(shù)，求值以及此時拋物線的頂點的坐標；

在的條件下，直線與軸交于點，與直線交于點現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線上．若平移的拋物線與射線含端點只有一個公共點，請直接寫出它的頂點橫坐標的值或取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反數(shù)等于．

故選：．

根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案．

本題考查了相反數(shù)的定義，掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，

與“中”字相對的面上的漢字是“國”，即此時這個正方體朝下的一面的字是國．

故選：．

正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．

本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：、，故選項錯誤；

B、，故選項錯誤；

C、，故選項錯誤；

D、，故選項正確；

故選：．

根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式分別判斷即可．

本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，冪的乘方和積的乘方，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握各自的運算法則．

4.【答案】

【解析】解：當時，，不合題意；

當時，，符合題意，

故選：．

將的值代入程序圖中的程序按要求計算即可．

本題主要考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運算，本題是操作型題目，按程序圖的要求運算是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：一次函數(shù)，

函數(shù)值隨自變量的增大而減小，

，

函數(shù)圖象過第二、四象限．

，

，

函數(shù)圖象與軸的交點在軸上方，即圖象經(jīng)過第一、二、四象限．

故選：．

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到，而，則，所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．

本題考查了一次函數(shù)性質(zhì)，一次函數(shù)、為常數(shù)，是一條直線，當，圖象經(jīng)過第一、三象限，隨的增大而增大；當，圖象經(jīng)過第二、四象限，隨的增大而減?。粓D象與軸的交點坐標為，熟記一次函數(shù)的圖象與、的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)的應用、特殊角的三角函數(shù)值的計算和三角形內(nèi)角和定理的應用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．

【解答】

解：由題意得，，，

即，，

解得，，，

，

故選：．

7.【答案】

【解析】解：由題意得：．

，

．

．

．

．

．

當時，．

這個方程的解為．

故選：．

通過題意，得然后解這個分式方程．

本題主要考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：位選手成績的中位數(shù)為分，眾數(shù)為分，

故選：．

根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可．

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義．

9.【答案】

【解析】解：如圖，過點作軸于點．

，

，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，

，

是等邊三角形，

，，

，

，，

，

，

故選：．

如圖，過點作軸于點證明是等邊三角形，解直角三角形求出，，可得結(jié)論．

本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．

10.【答案】

【解析】解：由題得當點在上時，的面積不變，

當點在上時，的面積隨的增大而減小，

當點在上時，的面積隨的增大而增大，

故選：．

分別分析由題得當點在上時、當點在上時、當點在上時的的面積隨的變化情況即可作答．

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象的應用，分析函數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：由題意得：，

解得：，

故答案為：．

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．

本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：是方程的一個實數(shù)根，

，

即，

．

故答案為：．

先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

13.【答案】

【解析】解：是的內(nèi)接正六邊形一邊，

，

，

，

，

．

故答案為：．

根據(jù)是的內(nèi)接正六邊形一邊，得出，再根據(jù)圓周角定理得出，由，得出，再由三角形外角性質(zhì)推出．

本題考查了圓的相關(guān)計算，熟練運用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：任意挑選一個餃子共有種等可能結(jié)果，其中正好是包有“幸運餃子”的有種結(jié)果，

所以小亮從中隨機挑選了一個餃子正好是“幸運餃子”的概率是．

故答案為：．

根據(jù)概率的求法，找準兩點：全部情況的總數(shù)；符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．

此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．

15.【答案】

【解析】解：，，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是矩形，

，，，

，

平行四邊形是菱形；

，

，

，

在與中，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

是等邊三角形，

，

．

故答案為：．

根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的判定定理即可得到平行四邊形是菱形，可得，由“”可證≌，可得，推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，解直角三角形即可得到結(jié)論．

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動

將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到≌

從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上

作，則即為的最小值

作，可知四邊形為矩形，

則，

故答案為：．

由題意分析可知，點為主動點，為從動點，所以以點為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得最小值．

本題考查了線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點的運動軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運用垂線段最短，構(gòu)造圖形計算，是極值問題中比較典型的類型．

17.【答案】解：

．

【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】證明：，，，

，，

，

，

在和中，

，

≌；

，．

，，

．

【解析】由，，可以得到，再根據(jù)，可以得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

19.【答案】解：

．

當時，

，

或，

當時，，

當時，．

【解析】根據(jù)分式的運算法則計算即可；

先解一元二次方程求得的值，再代入進行求解．

此題主要是考查了分式的運算和一元二次方程的解法，能夠熟練運用分式的運算法則化簡是解答此題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：被調(diào)查學生的人數(shù)為人；

課程人數(shù)為人，

補全圖形如下：

估計該校學生喜愛課程的學生有人；

列表如下：

，，，

，，，

，，，

共有種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選中同一門校本課程的結(jié)果有種，

所以兩人恰好選中同一門校本課程的概率為．

【解析】由學科人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；

總?cè)藬?shù)減去、、學科人數(shù)求得學科人數(shù)，從而補全圖形；

用總?cè)藬?shù)乘以樣本中學科人數(shù)所占比例即可；

先列出表格得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．

本題考查了列表法或樹形圖、用樣本估計總體、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等知識點，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：設(shè)型巴士的進價為萬元輛，型巴士的進價為萬元輛，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：型巴士的進價為萬元輛，型巴士的進價為萬元輛；

設(shè)購進輛型巴士，輛型巴士，

根據(jù)題意得：，

又，均為正整數(shù)，

或，

該公司共有種購買方案，

方案：購進輛型巴士，輛型巴士；

方案：購進輛型巴士，輛型巴士．

【解析】設(shè)型巴士的進價為萬元輛，型巴士的進價為萬元輛，根據(jù)“輛型巴士、輛型巴士的進價共計萬元；輛型巴士、輛型巴士的進價共計萬元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可求出結(jié)論；

設(shè)購進輛型巴士，輛型巴士，利用總價單價數(shù)量，可列出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．

本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．

22.【答案】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，

，

反比例函數(shù)為，

雙曲線經(jīng)過，

，

解得；

作軸于，則，

，即，

，

，

將向右平移個單位得到，

，

把代入得，，

點

【解析】根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，進而把點代入，即可求得的值；

根據(jù)點的坐標，利用平行線分線段成比例定理求得，從而求得平移的距離，進而求得點的坐標，代入解析式即可求得點的坐標．

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例圖象上點的特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，坐標與圖形的變化平移，三角形的面積，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：如圖所示，點即為所求；

四邊形是矩形，

，

，

當剛好落在線段上時，

點，點關(guān)于的對稱，

垂直平分，

，，

，

≌，

，

，

，

，

解得；

連接當剛好落在線段上時，

點，點關(guān)于的對稱，

垂直平分，

，，

，

≌，

，

，

，

，

，

≌，

，

，

．

【解析】根據(jù)題意作出圖形結(jié)論；

根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】證明：由折疊可知，，，，

，

，

；

解：過作交于點，交于點，

，

，

，

，

∽，

，

，，

，

，

在中，，

解得，

，

；

解：的度數(shù)存在最大值，理由如下：

過點作交延長線于點，

，，

，

當最大時，就最大，

當時，的值最大，此時、、三點共線，

設(shè)，則，，

，

，

，

，

解得舍或，

．

【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理可得，再等量代換即可證明；