2-8-一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)（解析版）-2023年升初三人教版暑假銜接教材

?2.8一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識考點(diǎn)一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)1.求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)2.利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小3.利用交點(diǎn)解決部分面積問題題型精析題型精析知識點(diǎn)一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)知識點(diǎn)一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題求函數(shù)y=kx+m與函數(shù)y=ax2+bx+c交點(diǎn)的方法是：聯(lián)立構(gòu)造一元二次方程若Δ>0時兩個函數(shù)有_______交點(diǎn).若Δ=0時兩個函數(shù)有_______交點(diǎn)（相切）.若Δ<0時兩個函數(shù)有_______交點(diǎn).題型一求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)題型一求一次、二次函數(shù)的交點(diǎn)例1求函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).例1例2若函數(shù)與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，求m的取值范圍.例2變1求函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).變1變2若函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，求m的取值范圍.變2題型二利用交點(diǎn)解決問題題型二利用交點(diǎn)解決問題類型一類型一利用交點(diǎn)比較函數(shù)大小例1如圖，拋物線與直線相交于點(diǎn)，，則關(guān)于的不等式的解集為________．例1【答案】【分析】根據(jù)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和函數(shù)的圖象得出不等式的解集即可．【詳解】拋物線與直線相交于點(diǎn)，，關(guān)于的不等式的解集為，故答案為：．例2如圖，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是________．例2【答案】【分析】根據(jù)題意得出當(dāng)時，則，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得出x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得出當(dāng)時，則，則從圖象看，關(guān)于x的不等式的解集為，故答案為：．變1如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為________．變1【答案】或【分析】由求關(guān)于的不等式的解集，即求一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象下方時（包括交點(diǎn)），x的取值范圍，再結(jié)合圖象即可得解．【詳解】解：∵求關(guān)于的不等式的解集，即求一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象下方時（包括交點(diǎn)），x的取值范圍，又∵結(jié)合圖象可知當(dāng)和時，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象下方，∴關(guān)于的不等式的解集為或．故答案為：或．變2如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是________．變2【答案】【分析】根據(jù)圖象可得點(diǎn)A右側(cè)與點(diǎn)B左側(cè)拋物線在直線上方，進(jìn)而求解．【詳解】解：整理不等式，可得，∵直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，∴的解集為，故答案為：．類型二類型二利用交點(diǎn)解決面積問題在解決某些二次函數(shù)的面積問題時，如“面積相等”、“面積最大”等問題時，我們可以利用直線的平行來解決這類問題.例1若函數(shù)與相較于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P是二次函數(shù)位于MN下方的一個動點(diǎn)，例1則當(dāng)面積最大時，求P點(diǎn)的坐標(biāo).PP【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)P到MN的距離最大時，三角形的面積最大.【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為P，此時三角形的面積最大.例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．例2（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；[]（2）在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使△AQC的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；[]（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△AQC和△AQP面積相等時，請求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．變1如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸正半軸交于點(diǎn)D（4，0），設(shè)M是點(diǎn)C，D間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.變1（1）求拋物線的解析式；[]（2）當(dāng)m為何值時，△MAB面積S取得最大值？請說明理由.【分析】以MN為底，“底定高最大”則面積最大，所以當(dāng)M到AB的距離最大時，三角形的面積最大.【解答】如圖所示，做一條與一次函數(shù)平行的直線，平移該直線，使得直線與二次函數(shù)相切，切點(diǎn)為M，此時三角形的面積最大.變2在例1中，若點(diǎn)P在MN上方運(yùn)動，且滿足，求P點(diǎn)的坐標(biāo).變2【分析】以MN為底，“同底等高”則面積相等，所以當(dāng)P到MN的距離與O到MN的距離相等時，兩個三角形的面積相等.【解答】變3在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA=1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．變3（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；[][]（2）拋物線上的動點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，則不等式的解為________．【答案】【分析】根據(jù)圖象可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖象可得：當(dāng)時，則有；故答案為．2.如圖，二次函數(shù)y=（x+2）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（-1，0）及點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍．【解題思路】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱求點(diǎn)B坐標(biāo)．（2）根據(jù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求解．【解答過程】解：（1）將（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，解得m＝﹣1，∴y＝（x+2）2﹣1，當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于軸對稱，對稱軸為直線x＝﹣2，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣4，3）．（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，3），由圖象可知，（x+2）2+m≥kx+b時，x≤﹣4或x≥﹣1．3.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（2）是拋物線上異于點(diǎn)的動點(diǎn)，若的面積與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）令，求出點(diǎn)坐標(biāo)，令，求出、點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意可知點(diǎn)到軸的距離為3，由此求點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）令，則，，令，則，解得或，，；（2），，的面積與的面積相等，點(diǎn)到軸的距離為3，點(diǎn)坐標(biāo)為或，或，．4.如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)在左側(cè)）．（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）連接和．在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為，可把拋物線解析式設(shè)為，再把點(diǎn)代入解析式，求出即可得到拋物線解析式；再令，解方程即可求出，坐標(biāo)；（2）連接交軸與，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的解析時為，然后用待定系數(shù)法求出的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程求出的值即可．【解答】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線解析式為，拋物線與軸交于點(diǎn)，，解得，，令，則，解得，，，；（2）存在，理由：連接交軸與，如圖所示：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的解析時為，把，代入解析式得：，解得，直線的解析時為，令，則，，，，若，則，，化簡得：，解得（舍去），，．5.如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與軸的另一個交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，求四邊形面積最大時點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）先求出點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可求解；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，利用面積和差關(guān)系可求解；【解答】解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，拋物線的解析式為：；（2）如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，拋物線與軸的交點(diǎn)為、，，，，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，四邊形面積，當(dāng)時，四邊形面積有最大值，此時點(diǎn)；6.如圖所示，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，使得四邊形的面積最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形面積的最大值．【分析】（1）化為頂點(diǎn)式求解即可；（2）先求出的面積，然后判斷出的面積最大時四邊形面積最大，求出直線的解析式，設(shè)過點(diǎn)與軸平行的直線與相交于點(diǎn)，表示出，再表示出的面積，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及的面積，最后求解即可；【解答】解：（1），拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）令，則，解得，，點(diǎn)，，令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，的面積最大時四邊形面積最大．設(shè)直線的解析式為，則，，．設(shè)過點(diǎn)與軸平行的直線交于點(diǎn)，，，則，，當(dāng)時，的面積最大，最大值為，此時，，所以，當(dāng)點(diǎn)時，四邊形面積最大，最大值為．7.如圖，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）把三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得，，的值，即求出解析式；（2）由等底等高的兩個三角形的面積相等，可求點(diǎn)的坐標(biāo)；【解答】解：（1）把，，三點(diǎn)代入拋物線解析式得：，解得：，該拋物線的解析式為①；（2）存在，理由：由，則頂點(diǎn)，對稱軸為直線，，，，，，直線解析式為，點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作，交拋物線于，此時與的面積相等，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，則直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并整理得：，解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；對于直線，設(shè)交軸于點(diǎn)，令，解得：，即點(diǎn)，則，取點(diǎn)使，過點(diǎn)作的平行線，如上圖，則點(diǎn)，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立和得：，則△，無解，故在點(diǎn)的右側(cè)不存在點(diǎn)，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；8.如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，連接交對稱軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，位于直線的上方（點(diǎn)與，不重合），過作軸的平行線交于點(diǎn)；①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；[]②在①的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積與的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)頂點(diǎn)式為，利用待定系數(shù)法代值求解即可得到答案；（2）①當(dāng)時，則，得到點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式得到解析式為，由，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得到，利用兩點(diǎn)之間距離公式列方程求解即可得到答案；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)在直線的同側(cè)時，如圖所示，由四邊形是平行四邊形，得，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，求得點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)時，延長交軸于，在上截取，則，過點(diǎn)作的平行線交拋物線于點(diǎn)，如圖所示，，設(shè)直線的解析式為，將代入得到直線的解析式為，點(diǎn)，從而有，由，，得到與的距離與與的距離相等，從而，根據(jù)直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，即可得到答案．【解答】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式，把代入，解得，拋物線解析式為；（2）①當(dāng)時，則，，，點(diǎn)，