第三講非齊次定解問題

第三講非齊次定解問題第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，則對于任意的常數C1、C2，函數是方程的解。典型例子：聲學中把弦線振動時所發(fā)出的復雜的聲音分解成各種單音的疊加。第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月利用疊加原理，上述初邊值問題可以分解為下面兩個初邊值問題：2.非齊次弦振動方程由于方程中非齊次項的出現，故若直接以代入方程，不能實現變量分離。第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月下面，我們求解上述初邊值問題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分別是上述初邊值問題(I)和(II)的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值問題的解。這樣求解初邊值問題就轉化為分別求解齊次方程帶非齊次初始條件的初值問題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題(II)單獨初始振動狀態(tài)對振動過程的影響。單獨考慮外力因素對振動過程的影響。第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月3.齊次化原理現在討論非齊次方程的初邊值問題為了求解此問題，我們可以利用下述的齊次化原理，把非齊次方程的求解問題轉化為相應的齊次方程的問題來解決，這樣就可以直接利用前面關于齊次方程的結果。第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月由弦振動方程的推導過程來看，自由項f(x,t)=F(x,t)/ρ表示時刻t時在x處單位質量受到的外力，而?u/?t表示速度。如果我們把一個時間段[0,t]劃分成若干小的時段?tj

=tj+1-tj(j=1,2,…,m)，在每一個小的時段?tj中，f(x,t)可以看作與時間無關，從而以f(x,tj)來表示。于是在時段?tj中自由項所產生的速度改變量為f(x,tj)?tj。如果把這個速度改變量看作在時刻t=tj

時的初始速度，它所產生的振動可以由下面的齊次方程的初值問題描述：第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月將其解記為?(x,t；tj,?tj)，按照疊加原理，自由項f(x,t)所產生的效果可以看成無數個這種瞬時作用的疊加，這樣定解問題(II)的解u(x,t)應表示為由于(2.16)為線性方程，所以?(x,t；tj,?tj)與?tj成正比，即如果記W(x,t;τ)為如下齊次方程的定解問題的解那么有?(x,t;tj,?tj)=?tjW(x,t;tj)成立。于是定解問題(II)的解可以表示為第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月于是我們可以得到如下的齊次化原理：若W(x,t;τ)是初邊值問題(2.28)的解(其中τ是參數)，則初邊值問題(II)的解可以表示為為了寫出W(x,t;τ)的具體表達式，在初邊值問題(2.28)中作變換t’=t-τ，于是有第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2.29)與初邊值問題(Ⅰ)

屬于同一類，直接利用前面分離變量法的結果我們得到：第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

于是根據齊次化原理，初邊值問題(II)的解為

可以證明，在f(x,t)二階連續(xù)可導，且在邊界滿足f(0,t)=f(l,t)=0的假設下，上面的級數確實是初邊值問題(II)的解。第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2.6.3,p42第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-4.非齊次邊界條件的情形前面兩節(jié)討論的問題都是齊次邊界條件，但大多實際并非都是齊次的，因此需要討論非齊次邊界條件問題?，F討論弦振動方程具有非齊次邊界條件的初邊值問題，即假設連續(xù)性條件和邊界取值條件滿足第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月1．邊界條件的齊次化：為此引入新的未知函數和輔助函數，令若能找到函數，具備性質其滿足齊次邊界條件則新函數2．輔助函數的選取第14頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月對于任意的t，在平面上，滿足條件，即過兩點的曲線有無窮多個，取最簡單的直線。令得：故有第15頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一個非齊次方程問題，其求解方法前面已講過。對于其它類型的非齊次邊界條件問題：（1）則（2）3.把