2022年安徽省滁州市博士中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2022年安徽省滁州市博士中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p：對于?x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命題q：奇函數(shù)f（x）的圖象必過原點．則下列結(jié)論正確的是(

)A．p∧q為真 B．（?p）∨q為真 C．p∧（?q）為真 D．?p為真參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】判斷兩個命題的真假，判斷推出結(jié)果即可．解：命題p：對于?x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，顯然是真命題；命題q：奇函數(shù)f（x）的圖象必過原點．例如y=，函數(shù)是奇函數(shù)，但是不經(jīng)過原點，所以是假命題，?q是真命題，所以p∧（?q）為真是正確的．故選：C．【點評】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查命題的否定，基本知識的考查．2.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A由圖知在時取到最大值，且最小正周期滿足故，.所以或由逐個檢驗知3.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（

）A． B． C． D．參考答案：A4.已知，由如右程序框圖輸出的（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.若曲線y=與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，則實數(shù)a=（）A．﹣2 B． C．1 D．2參考答案：C【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)然后求出公共點的斜率，利用向量相等，有公共點解方程即可求出a的值．【解答】解：曲線y=的導(dǎo)數(shù)為：y′=，在P（s，t）處的斜率為：k=．曲線y=alnx的導(dǎo)數(shù)為：y′=，在P（s，t）處的斜率為：k=．曲線y=與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故選：C．6.集合，,,則等于(

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知函數(shù)，則是

A．單調(diào)遞增函數(shù)

B．單調(diào)遞減函數(shù)

C．奇函數(shù)

D．偶函數(shù)參考答案：D8.設(shè)集合，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】求解不等式確定集合A,B，然后進行交集運算即可.【詳解】求解不等式可得：，求解不等式可得，結(jié)合交集的定義可知.故選：A.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，不等式的解法，交集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9.是單位向量，

=1

則的范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D設(shè)

設(shè)所以所以所以=1即以為圓心，1為半徑的圓上的點與距離所以最長：過圓心加半徑

最短：過圓心減半徑所以注意：學(xué)會題目和圖形之間的轉(zhuǎn)換，題干的運用，最重要的是不要缺少題干中的條件運用10.若是虛數(shù)單位，則乘積的值是（

）

A．-15

B．3

C．-3

D．5

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形，AA1=3，E是AA1的中點，過C1作C1F⊥平面BDE與平面ABB1A1交于點F，則CF與平面ABCD所成角的正切值為．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】連結(jié)AC、BD，交于點O，當(dāng)C1F與EO垂直時，C1F⊥平面BDE，從而F∈AA1，進而∠CAF是CF與平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：連結(jié)AC、BD，交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，則當(dāng)C1F與EO垂直時，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF與平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，則=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF與平面ABCD所成角的正切值為．故答案為：．【點評】本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．12.如圖，已知AB和AC是網(wǎng)的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D．過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=，則線段CD的長為

． 參考答案：略13.(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，過作圓的切線，過A作的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=

．參考答案：略14.如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，

然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形P3，P4，…，Pn，…，

記紙板Pn的面積為Sn，則Sn＝_____參考答案：15.如圖所示，橢圓的左，右頂點分別為，線段是垂直于橢圓長軸的弦，連接相交于點，則點的軌跡方程為____________．參考答案：故填：.考點：1.軌跡方程；2.橢圓方程.【方法點睛】本題考查了交軌法求軌跡方程，屬于中檔題型，首先根據(jù)和兩點的坐標，表示直線和,然后兩個方程消參后就是交點的軌跡方程，消參多選擇的方法多采用代入消參，或四則消參，比如兩個式子相加，相減，或相除，相乘，再根據(jù)點在拋物線上，得到軌跡方程.16.已知函數(shù)的圖象由的圖象向右平移個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則=

.參考答案：略17.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則

．參考答案：5因為，所以，即，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，且在點處的切線方程為.(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求的取值范圍；

(Ⅲ）設(shè)為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時值的個數(shù)并說明理由.參考答案：解：(Ⅰ），∴，又，∴．

…………………3分(Ⅱ）；∴由得，∴或．

…………………5分∵，當(dāng)且僅當(dāng)或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點．

…………………6分若，即，當(dāng)時；當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，若，即時，當(dāng)時；當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，綜上，的取值范圍是．

…………………8分(Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)兩切線的傾斜角分別為，則，∵，∴均為銳角，

…………9分當(dāng)，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則；當(dāng)，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，則．由得，，得，即，此方程有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形．……11分由得，，得，即，

設(shè)，，當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，由于，且，所以，則，即方程在有唯一解，直線能與軸圍成一個等腰三角形．

因此，當(dāng)時，有兩處符合題意，所以直線能與軸圍成等腰三角形時，值的個數(shù)2．

………14分略19.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，且an+2=（1+2|cos|）an+|sin|，n∈N*．（1）證明：數(shù)列{a2n}（n∈N*}為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設(shè)bk=a2k+（﹣1）k﹣1λ?2（λ為非零整數(shù)），試確定λ的值，使得對任意k∈N*都有bk+1＞bk成立．參考答案：解：（1）設(shè)n=2k（k∈N*）∵a2k+2=（1+2|coskπ|）a2k+|sinkπ|=3a2k，又a2=3，∴當(dāng)n∈N*時，數(shù)列{a2n}為首項為3，公比為3的等比數(shù)列；…4'（2）設(shè)n=2k﹣1（k∈N*）由a2k+1=（1+2|cos（k﹣）π|）a2k﹣1+|sin（k﹣）π|=a2k﹣1+1∴當(dāng)k∈N*時，{a2k﹣1}是等差數(shù)列∴a2k﹣1=a1+（k﹣1）?1=k…6'又由（1）當(dāng)k∈N*時，數(shù)列{a2k}為首項為3，公比為3的等比數(shù)列∴a2k=a2?3k﹣1=3k…6'綜上，數(shù)列{an}的通項公式為…8'（3）bk=a2k+（﹣1）k﹣1λ?2=3k+（﹣1）k﹣1λ?2k，∴bk+1﹣bk=3k+1+（﹣1）kλ?2k+1﹣3k﹣（﹣1）k﹣1λ?2k=2?3k+（﹣1）kλ?3?2k由題意，對任意k∈N*都有bk+1＞bk成立∴bk+1﹣bk=2?3k+（﹣1）kλ?3?2k＞0恒成立即2?3k＞（﹣1）k﹣1λ?3?2k對任意k∈N*恒成立…11'①當(dāng)k為奇數(shù)時，2?3k＞λ?3?2k?λ＜對任意k∈N*恒成立∵k∈N*，且k為奇數(shù)，∴≥=1∴λ＜1…13'②當(dāng)k為偶數(shù)時，2?3k＞﹣λ?3?2k?λ＞﹣對任意k∈N*恒成立∵k∈N*，且k為偶數(shù)，∴﹣≤﹣，∴λ＞﹣…15'綜上：有﹣＜λ＜1…12'∵λ為非零整數(shù)，∴λ=﹣1．…16'略20.在四棱錐P-ABCD中，，，，，為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.（1）求二面角的余弦值；（2）線段PC上是否存在一點M，使異面直線DM和PE所成角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）（2）存在點M為線段PC的三等分點滿足題意，詳見解析【分析】（1）利用向量法求二面角的余弦值；（2）設(shè)，利用向量法得到，解方程即得解.【詳解】設(shè)是中點，為正三角形，則，平面平面，面，又∵，，所以為正三角形，，建立如圖所示空間直角坐標系，則，于是，，(1)設(shè)平面的法向量為，由得一個法向量為，平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則由圖知為銳角，所以，二面角的余弦值為.(2)設(shè)，則，，所以解得或，所以存在點M為線段PC的三等分點.【點睛】本題主要考查空間二面角的求法，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）如果關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分別在、、三種情況下去掉絕對值符號得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（2）將不等式變?yōu)椋?，可得到分段函?shù)的解析式，分別在每一段上求解出的最小值，從而得到在上的最小值，進而利用得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，恒成立當(dāng)時，，解得：綜上所述，不等式的解集為：（2）由得：由（1）知：令當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，恒成立

【點睛】本題考查分類討論求解絕對值不等式、含絕對值不等式的恒成立問題的求解；求解本題恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過分離變量構(gòu)造出新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的比較，進而通過分類討論得到函數(shù)的解析式，分段求解出函數(shù)的最值.22.已知函數(shù)f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）當(dāng)△=1﹣8a≤0，即時，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）當(dāng)△＞0，即時，由2x2﹣x+a=0解得或i）當(dāng)時，0＜x1＜x2，所以當(dāng)或時f′（x）＞0當(dāng)時f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）當(dāng)a≤0時，所以當(dāng)時f′（x）＞0，當(dāng)時f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞），無單減區(qū)間．當(dāng)時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為．當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞）