四川省綿陽市玉林鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析

四川省綿陽市玉林鄉(xiāng)中學高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，左視圖是正方形，則該幾何體的體積是(

)A. B. C. D.參考答案：A分析：由三視圖還原原幾何體，，再由體積公式求解．詳解：個幾何體是由一個正方體截去一個三棱錐后和一個圓柱組成的組合體，其體積為故選A.點睛：本題考查由三視圖求組合體的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題2.已知某隨機變量X的概率密度函數(shù)為P(x)=,則隨機變量X落在區(qū)間(1,2)內(nèi)的概率為(

)A．e2+e

B．

C．e2-e

D．參考答案：D3.已知、為雙曲線：的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，直線與圓相切，且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：C4.

已知等差數(shù)列的通項公式為，則的展開式中含項的系數(shù)是該數(shù)列的A、第項

B、第項

C、第項

D、第項參考答案：答案：D解析：∵的展開式中含項為系數(shù)是∴由得

故：選D；

5.定義在上的函數(shù)是它的導函數(shù)，且恒有成立，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A6.給出下列四個命題:①“若為的極值點,則”的逆命題為真命題;②“平面向量的夾角是鈍角”的充分不必要條件是③若命題,則;④命題“,使得”的否定是:“均有”.其中不正確的個數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C本題考查命題及其關(guān)系,邏輯聯(lián)結(jié)詞,充要條件,全稱量詞與特稱量詞.“若為的極值點,則”的逆命題:“若,則為的極值點”為假命題,即①不正確“平面向量的夾角是鈍角”的必要不充分條件是,即②不正確;若命題,則;即③不正確;特稱命題的否定為全稱命題,即④正確.即不正確的個數(shù)是3.選C.7.已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，則A∩B=（）A．{（1，2）} B．（1，2） C．{1，2} D．{（1，2），（﹣1，﹣2）}參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】方程思想；定義法；集合．【分析】根據(jù)集合交集的定義轉(zhuǎn)化求方程組的公共解即可．【解答】解：∵A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，∴A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（1，2）}，故選：A．【點評】本題主要考查集合的基本運算，根據(jù)集合交集的定義轉(zhuǎn)化求方程組的公共解是解決本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：D9.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98

D．98參考答案：A10.已知不等式組（其中）表示的平面區(qū)域的面積為4，點在該平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為(

)（A）9

（B）6

（C）4

（D）3參考答案：D由題意，要使不等式組表示平面區(qū)域存在，需要，不等式組表示的區(qū)域如下圖中的陰影部分，面積，解得，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若不等式，當時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

參考答案：已知函數(shù)，若不等式，當時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

12.如圖所示，在確定的四面體中，截面平行于對棱和.(1)若⊥，則截面與側(cè)面垂直；(2)當截面四邊形面積取得最大值時，為中點；(3)截面四邊形的周長有最小值；(4)若⊥，，則在四面體內(nèi)存在一點P到四面體ABCD六條棱的中點的距離相等.上述說法正確的是

．參考答案：②④13.若函數(shù)，則的最小正周期為

；

．參考答案：

；

14.已知的展開式各項系數(shù)之和為256，則展開式中含x2項的系數(shù)為

．參考答案：28

15.已知向量均為單位向量，若它們的夾角是，則等于

.參考答案：略16.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊．若，b2﹣a2=ac，則cosB=．參考答案：【考點】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化，結(jié)合余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即可求出cosB的值．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得=2，∴c=2a；再由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴b2=5a2﹣4a2cosB；又b2﹣a2=ac，∴b2=a2+ac=4a2，因此4a2=5a2﹣4a2cosB，解得cosB=．故答案為：．17.（3分）計算=．參考答案：2考點：二階矩陣．專題：計算題；矩陣和變換．分析：利用行列式的運算得，=2×3﹣1×4=2．解答：=2×3﹣1×4=2，故答案為：2．點評：本題考查了矩陣的運算，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）如圖，已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．參考答案：解析:（Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程，圓的圓心為,半徑.--------------------1分由,得直線,即,--------------------2分由直線與圓相切,得,或(舍去).-------------------4分

當時,,

故橢圓的方程為-------------------5分（Ⅱ）設,直線,代入橢圓的方程并整理得:,

-------6分設、,則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實數(shù)解，

-------8分

（Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標軸不垂直,-----------6分由可設直線的方程為，直線的方程為----------------7分將代入橢圓的方程并整理得:,解得或,因此的坐標為,即---------9分將上式中的換成,得.------------------10分直線的方程為------------------11分化簡得直線的方程為，------------------13分因此直線過定點.------------------14分

(解法二)若直線存在斜率，則可設直線的方程為：，-------1分代入橢圓的方程并整理得:,

-------6分由與橢圓相交于、兩點，則是上述關(guān)于的方程兩個不相等的實數(shù)解，從而

-------8分由得，整理得：

由知.此時,因此直線過定點.-------12分若直線不存在斜率，則可設直線的方程為：，將代入橢圓的方程并整理得:,當時,,直線與橢圓不相交于兩點，這與直線與橢圓相交于、兩點產(chǎn)生矛盾!當時,直線與橢圓相交于、兩點，是關(guān)于的方程的兩個不相等實數(shù)解，從而但,這與產(chǎn)生矛盾!------13分因此直線過定點.-------14分注：對直線不存在斜率的情形，可不做證明.19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有兩個不同的零點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）記兩個零點分別為x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（I）依題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同跟等價于函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，畫出圖象即可得出．（Ⅱ）由（I）可知x1，x2分別為方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，因此原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），原式等價于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．因此原式等價于．即恒成立．令，則不等式在t∈（0，1）上恒成立．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（I）依題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同跟等價于函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．又，即當0＜x＜e時，g'（x）＞0；當x＞e時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．從而．又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→∞，在x→+∞時，g（x）→0，所以g（x）的草圖如下：可見，要想函數(shù)與函數(shù)y=a在圖象（0，+∞）上有兩個不同交點，只需．（Ⅱ）由（I）可知x1，x2分別為方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，所以原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2）．因為λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等價于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等價于．因為0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，則不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，則，當λ2≥1時，可見t∈（0，1）時，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)遞增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意；當λ2＜1時，可見當t∈（0，λ2）時，h'（t）＞0；當t∈（λ2，1）時，h'（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）時單調(diào)遞增，在t∈（λ2，1）時單調(diào)遞減．又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．綜上所述，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．20.（1）已知函數(shù)f（x）=mlnx與函數(shù)h（x）=（x＞0）的圖象有且只有一條公切線，求實數(shù)m的值．（2）已知函數(shù)y=lnx﹣（ax+b）有兩個不同的零點x1，x2，求證：＜x1x2＜．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）f（x）在點（a，mlna）處的切線為y=（x﹣a）+mlna，h（x）在點（b，）處的切線為y=（x﹣b）+，由這兩條切線重合知，問題即當m在什么范圍內(nèi)時，關(guān)于（a，b）的方程有唯一一組解，由此入手能求出m．（2）問題等價于有兩個不同的零點x1，x2，求證1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，嘗試使用構(gòu)造函數(shù)的方法證明極值點偏移不等式．由此能證明＜x1x2＜．【解答】解：（1）f（x）在點（a，mlna）處的切線為y=（x﹣a）+mlna，h（x）在點（b，）處的切線為y=（x﹣b）+，由這兩條切線重合知，問題即當m在什么范圍內(nèi)時，關(guān)于（a，b）的方程有唯一一組解，∵a，b的值一一對應，如果在方程組中消去b，得到mlna+﹣m﹣=0，此方程組對a＞0有唯一解，不好計算；如果在方程組中消去a，得到mln（2m）﹣m+2mlnb+=0，對b＞0有唯一解，記左邊為g（b），則有g(shù)′（b）=，方程組有解時，有m＞0，∴g（b）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（b）min=g（）=m﹣﹣mln（2m），而當b→0與b→+∞時，均有g(shù)（b）→+∞，∴當且僅當這個最小值等于0時，方程g（b）=0有唯一解．最后解方程m﹣﹣mln（2m）=0，由題意知m=是它的解，考慮h（m）=m﹣﹣mln（2m），有h′（m）=﹣ln（2m），∴h（m）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴是h（m）=0的唯一解，∴m=．（2）問題等價于有兩個不同的零點x1，x2，求證1+b﹣lna＜x1+x2＜﹣2lna，嘗試使用構(gòu)造函數(shù)的方法證明極值點偏移不等式．右邊不等式：∵，∴a＞0，其極值點為x=﹣lna，又∵函數(shù)f1（x）的二階導函數(shù)，∴構(gòu)造函數(shù)，則h1（x）=f1（x）﹣g1（x）的二階導數(shù)：，∴在（﹣∞，﹣lna）上，，在（﹣lna，+∞）上，，結(jié)合，在R上，，結(jié)合h1（﹣lna）=0，在（﹣∞，﹣lna）上，h1（x）＞0，在（﹣lna，+∞）上，h1（x）＜0，如圖，∴二次函數(shù)的零點x3，x4（x3＜x4）滿足：x1＜x3＜x2＜x4，∴x1+x2＜x3+x4=﹣2lna，左邊不等式：此時無法通過構(gòu)造二次函數(shù)證明，設f2（x）=lnx﹣（ax+b），則其導函數(shù)，∴其極大值點為x=，欲證明的不等式為：lnx1+lnx2＞1+b﹣lna，即，構(gòu)造函數(shù)，其中g(shù)2（x）與f2（x）在x=處的函數(shù)值、導數(shù)值和二階導函數(shù)值均相等，則可以求得，此時h2（x）=f2（x）﹣g2（x）的導函數(shù)：≥0，結(jié)合，得h2（x）在x=的兩側(cè)異號，如圖，∵函數(shù)g2（x）的零點x5，x6（x5＜x6）即方程=0的兩根，有，∴x5＜x1＜x6＜x2，∴．綜上：＜x1x2＜．21.（本小題滿分13分）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出與an的關(guān)系式；（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）.參考答案：（Ⅰ）由題意得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.整理得.由題意，解得.故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為４０００元.【點評】本題考查遞推數(shù)列問題在實際問題中的應用，考查運算能力和使用數(shù)列知識分析解決實際問題的能力.第一問建立數(shù)學模型，得出與an的關(guān)系式，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決.22.（12分）一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.（1）求的值.

（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽