線性時不變系統(tǒng)的時域分析

線性時不變系統(tǒng)的時域分析第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月基本內(nèi)容：（1）

系統(tǒng)的定義及表示（2）

系統(tǒng)的基本性質(zhì)（3）

線性時不變系統(tǒng)的時域描述（4）

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（5）

單位沖激響應(yīng)第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月重點難點：（1）

零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法；（2）

沖激響應(yīng)的求解方法；第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一、系統(tǒng)的定義及表示系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號的變換器、處理器。系統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。系統(tǒng)的表示方法（1）數(shù)學(xué)表達(dá)式：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。（2）系統(tǒng)框圖：形象地表示其功能。第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)表達(dá)式：微分方程和差分方程常用的系統(tǒng)描述方法是數(shù)學(xué)方程，包括有用于連續(xù)系統(tǒng)的微分方程和用于離散系統(tǒng)的從差分方程。列寫系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程有兩條基本依據(jù)：（1）系統(tǒng)內(nèi)部元器件或子系統(tǒng)的連接關(guān)系（拓?fù)浼s束）；（2）另一條是元器件或子系統(tǒng)的電氣特性（性能約束）。

第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的框圖表示法框圖法就是用一個方框來表示一個系統(tǒng)或子系統(tǒng)，而方框中的符號表示輸入和輸出之間的關(guān)系

:第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)我們主要討論線性時不變系統(tǒng)。第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)的基本性質(zhì)系統(tǒng)的基本特性包括有線性、時不變性、因果性和穩(wěn)定性等。1.線性如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿足疊加性和比例性，則該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。疊加性

比例性線性系統(tǒng)例1-17－例1-20第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.時不變性

時不變性的含義是，如果系統(tǒng)的輸入在時間上有一個平移

t0，則由其引起的響應(yīng)也產(chǎn)生一個同樣的平移.例1-14－例1-16第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.因果性

如果一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出只與系統(tǒng)當(dāng)前時刻的輸入和過去的輸入有關(guān)，而與系統(tǒng)未來的輸入無關(guān)，則這個系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)。

例1-12第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月4.穩(wěn)定性

有界輸入產(chǎn)生有界輸出，則這個系統(tǒng)就是穩(wěn)定系統(tǒng)。

所謂有界，即輸入或輸出的最大幅值是一個有限值。

例系統(tǒng)

y[n]=nx[n]就是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，因為，當(dāng)輸入

x[n]是有界時，系統(tǒng)的輸出卻有界，它將隨著

n值的增加而增加，直至無窮。

第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月三、線性時不變系統(tǒng)的時域描述

線性時不變系統(tǒng)也簡稱為LTI系統(tǒng)，其分析方法建立在信號分解的基礎(chǔ)之上。線性時不變系統(tǒng)具有的線性和時不變性，其響應(yīng)必然是系統(tǒng)對這些基本信號響應(yīng)的組合。

連續(xù)時間LTI系統(tǒng)用微分方程描述；離散時間LTI系統(tǒng)用差分方程描述。第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程及其求解

對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，如果

x(t)為輸入，y(t)為輸出，則描述輸入和輸出之間的微分方程為：第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月這個常系數(shù)線性微分方程，其完全解由齊次解和特解兩部分組成。齊次解是微分方程在輸入為0時的齊次方程的解（式2.111）而特解則是在輸入的作用下滿足微分方程式(2.109)

的解。第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月對于式(2.109)的微分方程，相應(yīng)的齊次方程為特征方程為解此特征方程就可求得特征根。第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)特征根是單根、重根、共軛復(fù)根，齊次解的形式也有所不同，一般有三種情況。⑴如果特征根

a1

、a2

、···an

都是單根，則齊次解的形式為

第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月⑵如果在特征根中，

是

k

重特征根

am

，則與

am

相對應(yīng)的齊次解為:第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶如果特征根中有共軛復(fù)根

，則共軛復(fù)根所對應(yīng)的齊次解為:在上述三種齊次解中，Ci

是待定系數(shù)，它的確定與特解有關(guān)。舉例2.14

第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月常見激勵信號的特解形式

第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的特解與激勵信號有關(guān)，根據(jù)不同的激勵信號，特解也有不同的形式。幾種常見的激勵信號，特解的形式見表2.1所示。特解的求解過程一般是將表2.1中和激勵信號相對應(yīng)、并具有待定系數(shù)B的特解代入微分方程后求出待定系數(shù)

B，這樣也就求出了特解。第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的齊次解和特解求出以后，其完全解的形式也就確定下來了。但是，完全解中的待定系數(shù)則需要由方程給定的初值來確定。為求得這些初值，我們將系統(tǒng)在激勵信號加入前瞬間的狀態(tài)定義為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，記為

y(k)(0-)；而將系統(tǒng)在激勵信號加入后瞬間的狀態(tài)定義為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，記為y(k)(0+)，確定系統(tǒng)完全響應(yīng)所需要的初值是初始狀態(tài)

y(k)(0+)，（系統(tǒng)的初始狀態(tài)就是系統(tǒng)在

t=0+

時刻的響應(yīng)）。

第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的完全解、齊次解和特解是數(shù)學(xué)上的名詞；在信號與系統(tǒng)的術(shù)語中，微分方程的解就是系統(tǒng)的響應(yīng)。微分方程的完全解稱為完全響應(yīng)齊次解稱為自由響應(yīng)（與激勵信號無關(guān)）特解稱為強迫響應(yīng)（和激勵信號有關(guān)）完全響應(yīng)＝自由響應(yīng)＋強迫響應(yīng)第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程求解（1）差分方程離散系統(tǒng)的基本部件有移位器（也叫做延時器或延遲器）、相加器和倍乘器，這些基本部件常用以下框圖來表示：

第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月下圖是一個簡單的離散系統(tǒng)，它由一個延時器、一個相加器和一個倍乘器組成。根據(jù)圖中各個部件的連接關(guān)系和各個部件的基本功能，寫出該系統(tǒng)輸入

x[n]和輸出

y[n]之間的關(guān)系為：

一階差分方程

第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月N

階離散系統(tǒng)的差分方程為：

離散系統(tǒng)差分方程的形式類似于連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，只不過這里用差分信號替代了微分方程中的微分信號而已。（2）差分方程的求解

對于一階差分方程式，如果輸入信號

x[n]=d[n]，則輸出信號

y[n]將如何求得呢？

第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月求解差分方程的方法有兩種：（1）迭代法，也叫做遞歸法，這種方法易于用計算機求解，但不易給出一個閉式的解答。（2）經(jīng)典法，這種方法完全可以按照微分方程的求解方式進(jìn)行，其完全解也分為齊次解和特解兩部分。例2.15第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)特征根的性質(zhì)，差分方程的齊次解也有以下三種形式：

⑴如果特征根

a1、a2

、···an

都是單根，則齊次解的形式為

⑵如果在特征根中，

am

是

K重特征根，則齊次解中與

am

相對應(yīng)的有

K

項，其形式為第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月⑶如果特征根中有共軛復(fù)根，則共軛復(fù)根所對應(yīng)的齊次解為

第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月差分方程的特解形式:

第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月4．差分方程的應(yīng)用差分方程的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：(1)描述本身就是離散系統(tǒng)的事件，如銀行利率、股市行情、人口統(tǒng)計等；

(2)用來仿真連續(xù)系統(tǒng)，也就是用一個離散系統(tǒng)來近似連續(xù)系統(tǒng)。舉例：

第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月y(t)與y[n]計算結(jié)果的比較第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月四、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

1．起始狀態(tài)對系統(tǒng)的影響

用線性方程

y(t)=ax(t)+b來描述的系統(tǒng)可能不是一個線性系統(tǒng)！為什么？

如果方程中沒有常數(shù)項

b

，則

y(t)=ax(t)所描述的系統(tǒng)就是一個線性系統(tǒng)。第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月將系統(tǒng)的響應(yīng)分為兩部分：（1）與激勵信號無關(guān)，完全由某些“常數(shù)”決定；（2）完全由激勵信號確定。結(jié)論：完全由激勵信號確定的響應(yīng)與激勵信號之間就可能滿足線性關(guān)系了。舉例說明第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月如果系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(0－)0，則系統(tǒng)的輸出

y(t)和系統(tǒng)的輸入

x(t)之間就不滿足線性和時不變性。然而，只要

y(0－)=0，

y(t)和

x(t)之間就能夠滿足線性和時不變的關(guān)系。

第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)加上零狀態(tài)響應(yīng)：

第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月零輸入響應(yīng)：在激勵信號

x(t)為0，或者不考慮激勵信號的作用時，由系統(tǒng)起始狀態(tài)

y(k)(0-)產(chǎn)生的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)起始狀態(tài)

y(k)(0-)為0，或者不考慮系統(tǒng)的起始狀態(tài)時，由激勵信號

x(t)產(chǎn)生的響應(yīng)。第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月重要意義：（1）零狀態(tài)響應(yīng)能夠真實地反映系統(tǒng)特性；（2）系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用卷積的方法求解。第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2．零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解

零輸入響應(yīng)的求解

零輸入響應(yīng)的解的形式應(yīng)和微分方程齊次解的形式相同，它應(yīng)是微分方程齊次解中的一部分。

如果一個

N階微分方程的

N

個特征根

ai

都是單根，則零輸入響應(yīng)

yzi(t)可寫為：待定系數(shù)

Ci

完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)

y(k)(0-)確定

第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

零狀態(tài)響應(yīng)的求解

齊次解中剩下的一部分將和特解一起組成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)有3種求解方法（1）零狀態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－零輸入響應(yīng)；（2）利用系統(tǒng)從起始狀態(tài)

y(k)(0-)到初始狀態(tài)

y(k)(0+)的跳變量yD(k)(0)來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；（3）卷積法

第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月在特征根都是單根的情況下，零狀態(tài)響應(yīng)的形式為：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念同樣適用于離散系統(tǒng)，而且，它們的求解方法也相同。第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例：已知

y(0-)=3/2，求自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月解：自由響應(yīng)：1/2e-3t

強迫響應(yīng)：1零輸入響應(yīng)：

零狀態(tài)響應(yīng)：完全響應(yīng)：第42頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月五、單位沖激響應(yīng)

單位沖激響應(yīng)也簡稱為沖激響應(yīng)，常用符號

h(t)或

h[n]表示。單位沖激響應(yīng)是系統(tǒng)在單位沖激信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)；或者說，是系統(tǒng)在零狀態(tài)的條件下對單位沖激信號激勵時的響應(yīng)。第43頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.沖激響應(yīng)的特點

沖激響應(yīng)的形式和齊次解的形式相同，即沖激響應(yīng)的特點：⑴沖激響應(yīng)由系統(tǒng)的特征根組成；⑵沖激響應(yīng)的形式與齊次解的形式相同；⑶沖激響應(yīng)中的待定系