遼寧省朝陽市喀左第一高級中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析

遼寧省朝陽市喀左第一高級中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（sinβ，－cosβ），則｜a＋b｜的最大值為

（

）A．

B．2

C．2

D．4參考答案：B2.（5分）（2015秋?太原期末）已知函數(shù)f（x）在R上的導函數(shù)為f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，則不等式f（x）＞2ex的解集是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，2）參考答案：B【分析】造函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（0）=2，求得g（0）=2，繼而求出答案．【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，則有g（x）在R上單調(diào)遞增，∵f（0）=2，∴g（0）=2，∵不等式f（x）＞2ex，∴g（x）＞2=g（0），∴x＞0，故選：B．【點評】本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．3.已知三棱錐P—ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，則該三棱錐的外接球的表面積為

（

）

A．B．C．D．參考答案：B略4.函數(shù)的圖象大致是

()參考答案：A因為，所以舍去B,D;當時，所以舍C，選A.

5.已知三棱錐P-ABC，且點P到△ABC的三邊距離相等，則P點在平面ABC上的射影是△ABC的（

）

A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心參考答案：A6.點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長達到Q點，則Q的坐標為A. B. C. D.參考答案：【知識點】角的概念及任意角的三角函數(shù)C1【答案解析】A

點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，所以∠QOx=，

所以Q（cos，sin），所以Q（-，)．故選A．【思路點撥】由題意推出∠QOx角的大小，然后求出Q點的坐標．7.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}，則A∩B=（）A．{x|﹣8＜x＜2} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】化簡集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，B={x|x2+6x﹣16＜0}={x|﹣8＜x＜2}，A∩B={0，1}．故選：C．8.已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，以AD為折痕進行翻折，使∠BDC為直角，則過A，B，C，D四點的球的表面積為（

）A．3π

B．4π

C.5π

D．6π參考答案：C9.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．(－∞,2]

B．(－∞,1]

C．

D．參考答案：C10.設x，y滿足約束條件，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：計算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與（﹣1，﹣1）構(gòu)成的直線的斜率問題．解答：解：由z=，考慮到斜率以及由x，y滿足約束條件所確定的可行域，數(shù)形結(jié)合，由圖得當過A（0，4）時，z有最大值11，當過B（3，0）時，z有最小值，所以≤z≤11．故選

C．點評：本題利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點與（﹣1，﹣1）的斜率．屬于線性規(guī)劃中的延伸題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖3，△ABC的外角平分線AD交外接圓于D，若，則DC=

▲

.參考答案：12.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同，若圓柱M與球O的體積相等，則它們的表面積之比______.（用數(shù)值作答）參考答案：【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等，可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關系，進而求出圓柱和球的表面積后，即可得到S圓柱：S球的值．【詳解】∵設圓柱M底面圓的半徑與球O的半徑均為R，M的高為h則球的表面積S球＝4πR2又∵圓柱M與球O的體積相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h則S圓柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圓柱：S球，故答案為：.【點睛】本題考查的知識點是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中根據(jù)已知求出圓柱的高，是解答本題的關鍵．13.．在中，若=°,∠B=°，BC=，則AC=

參考答案：略14.已知圓錐的母線長為，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為__________（結(jié)果保留）.參考答案：略15.已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，對任意，有，則稱函數(shù)為函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④.

其中是函數(shù)的序號為____________.參考答案：②④略16.已知單位向量滿足：，且向量與的夾角為，則m的值等于________.參考答案：【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)可得，，再利用兩個向量數(shù)量積的定義和公式，求得的值．【詳解】解：單位向量滿足：，，，．向量與的夾角為，則，即，．故答案為：．【點睛】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積的定義和公式，求向量的模的方法，屬于中檔題．17.定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關于點（1，0）對稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值范圍是．參考答案：[﹣2，2]【考點】簡單線性規(guī)劃；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則可以將f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0轉(zhuǎn)化為f（x2﹣2x）＜f（b2﹣2b），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進一步可以轉(zhuǎn)化為|x﹣1|≥|b﹣1|，即可得或，建立如圖的坐標系：設z=x﹣b，借助線性規(guī)劃的性質(zhì)分析可得x﹣b的最大、最小值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關于點（1，0）對稱，則函數(shù)f（x）的圖象關于原點（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0?f（x2﹣2x）＜﹣f（2b﹣b2）?f（x2﹣2x）＜f（b2﹣2b），又由函數(shù)f（x）為減函數(shù)，則f（x2﹣2x）＜f（b2﹣2b）?x2﹣2x＞b2﹣2b?|x﹣1|≥|b﹣1|，又由0≤x≤2，則有或，建立如圖的坐標系：設z=x﹣b，分析可得對于直線b=x﹣z，當其過點（2，0）時，Z有最大值2，當其過點（0，2）時，Z有最小值﹣2，故x﹣b的取值范圍[﹣2，2]；故答案為：[﹣2，2]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在(0,+∞)上有零點，證明：.參考答案：（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求，進而根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）采用分離參數(shù)法，得，根據(jù)在上存在零點，可知有解，構(gòu)造，求導，知在上存在唯一零點，即零點k滿足，進而求得，再根據(jù)有解，得證【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，因為，所以．所以當時，，在上是增函數(shù)；當時，，在上是減函數(shù)．所以在上增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）證明：由題意可得，當時，有解，即有解．令，則．設函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．又，所以在上存在唯一的零點．故在上存在唯一的零點．設此零點為，則．當時，；當時，．所以在上的最小值為．又由，可得，所以，因為在上有解，所以，即．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導數(shù)證明不等式成立，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，涉及了求函數(shù)導數(shù)，函數(shù)零點存在性定理的應用等知識；從哪里入手，怎樣構(gòu)造，如何構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，是解決此類問題的關鍵一步.19.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，首項，前項和為，且成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．

參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：解：（I）設等比數(shù)列的公比為，由題意知，且，又因為、、成等差數(shù)列，所以，

………2分即，化簡得，從而，解得，又，故，

…………4分.

…………6分（II）由（I）知，，

則，

①

，

②

…………8分

①-②得：

，

所以.

…………12分.

略20.已知函數(shù)f（x）=x2+（lga+2）x+lgb滿足f（﹣1）=﹣2且對于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．參考答案：考點：一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)最值的應用．專題：綜合題．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函數(shù)解析式得到關于lga與lgb的等式記作①，化簡后得到關于a與b的等式記作②，又因為f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到關于lga與lgb的不等式，把①代入后得到關于lgb的不等式，根據(jù)平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a與b的值代入f（x）的解析式中即可確定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到關于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答： 解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，則有x2+x?lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，將①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集為{x|﹣4＜x＜1}．點評：此題考查學生掌握不等式恒成立時所滿足的條件，以及會求一元二次不等式的解集，是一道中檔題．21.（12分）

如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足

（I）證明：

（II）當取何值時，直線PN與平面ABC所成的角最大？并求該角最大值的正切值；

（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置。

參考答案：解析：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標系

則

2分

從而

所以

3分

（II）平面ABC的一個法向量為

則

（※）

5分

而

由（※）式，當

6分

（III）平面ABC的一個法向量為

設平面PMN的一個法向量為

由（I）得

由

7分

解得

9分

平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

解得

11分

故點P在B1A1的延長線上，且

12分22.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸