2021-2022學年北京市大興區(qū)高一(上)期末數(shù)學試卷及答案

2021-2022學年北京市大興區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1．4分）已知a＞0，則a??=（

（

A．?2

1

）

C．a(chǎn)2

D．a(chǎn)3

B．?2

3

2．4分）已知集合A＝{x|x＝2k，kZ}，則（

（

）

C．2?

）

D．y＝x3

A．﹣1A

B．1A

D．2A

3．4分）下列函數(shù)中在定義域上為減函數(shù)的是（

（

A．y＝x

B．y＝lgx

C．y＝2﹣x

4．4分）當0＜x＜2時，x（2﹣x）的最大值為（

（

A．0

B．1

C．2

）

D．4

5．4分）化簡????+3????=（

（

A．2???(??)

6

）

C．2???(?+?)

6

D．2???(?+?)

3

B．2???(??)

3

6．4分）?=?"是"函數(shù)y＝sin（x+）為偶函數(shù)"的（

（

"

2

）

A．充分而不必要條件

C．充分必要條件

B．必要而不充分條件

D．既不充分也不必要條件

）

7．4分）已知函數(shù)?(?)=4???2?，下列區(qū)間中包含f（x）零點的區(qū)間是（

（

?

A．0，1）

（

B．1，2）

（

C．2，4）

（

D．4，5）

（

8．4分）在平面直角坐標系中，動點M在單位圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，每12

（

分鐘轉動一周．若M的初始位置坐標為（2，2）

，則運動到3分鐘時，M′的位置坐標

1

3

是（

）

B．(23，1)

2

C．(1，23)

2

D．(1，23)

2

A．(23，1)

2

9．4分）下列不等關系中正確的是（

（

A．??2+??3＞2??5

2

）

B．??3??2＞1

2

D．??2＜2

??3

3

C．ln2?ln3＜1

2??，?＜1

10．4分）若函數(shù)?(?)={

（

?(??)，?1

恰有2個零點，則a的取值范圍是（

）

學大教育傾情奉獻

A．

（﹣，1）

B．0，2）

（

C．0，+）

（

D．[1，2）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11．5分）函數(shù)y＝tanx的最小正周期是

（

12．5分）集合A＝{1，2}的非空子集是

（

?

．

．

的圖象，

的圖象．

13．5分）將函數(shù)y＝sinx的圖象先向右平移4個單位長度，得到函數(shù)y＝

（

再把圖象上各點橫坐標縮短到原來的2（縱坐標不變）

，得到函數(shù)y＝

1

14．5分）能說明命題"如果函數(shù)f（x）與g（x）的對應關系和值域都相同，那么函數(shù)f

（

（x）gx）

和（是同一函數(shù)"

為假命題的一組函數(shù)可以是（x）

f

＝

，（x）

g

＝

．

15．5分）已知任何一個正實數(shù)都可以表示成a×10n（1a＜10，nZ）

（

，則lga的取值范

圍是

；2100的位數(shù)是

．

（參考數(shù)據(jù)lg20.3010）

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16．14分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x＜4}．

（

（1）求集合AB，?RB；

（2）若關于x的不等式x2+ax+b＜0的解集為AB，求a，b的值．

17．14分）已知????=3，?(?，0)．

（

5

2

（1）求sin2，cos2的值；

（2）求???(2?+?)的值．

4

18．14分）已知函數(shù)f（x）＝2sin（x+）＞0，0＜＜）在一個周期內(nèi)的圖象如圖

（

（

所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）直接寫出f（x）在區(qū)間[0，]上的單調(diào)區(qū)間；

（3）已知xR，f（a﹣x）＝f（a+x）都成立，直接寫出一個滿足題意的a值．

2

學大教育傾情奉獻

19．14分）已知函數(shù)?(?)=???2(1?2)．

（

（1）求f（x）的定義域；

（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；

（3）設0＜x1＜x2＜1，證明：f（x1）＞f（x2）

．

20．14分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x，g（x）＝Acos2x．

（

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）令函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）

，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為

已知，求h（x）在區(qū)間[0，?]上的最大值及取得最大值時x的值．

2

條件①：A＝1，＝2；

條件②：A＝2，＝1．

21．15分）用水清洗一堆蔬菜上的農(nóng)藥，設用x個單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留

（

的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為f（x）

，且f（0）＝1．已知用1個單位量的

水清洗一次，可洗掉本次清洗前殘留農(nóng)藥量的2，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還

1

有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．

（1）根據(jù)題意，直接寫出函數(shù)f（x）應該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

1

（2）設?(?)=1+?2，現(xiàn)用a（a＞0）個單位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成

2份后清洗兩次，問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少，說明理由；

?

（3）若?(?)=1+????滿足題意，直接寫出一組參數(shù)k，c，r的值．

3

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2021-2022學年北京市大興區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1．

【解答】解：a＞0，則a??=a?a

故選：B．

2．

【解答】解：集合A＝{x|x＝2k，kZ}，

則集合A為偶數(shù)集，

1

2

=a

1+1

2

=a

3

2．

2屬于偶數(shù)，

故選：D．

3．

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，y＝x，是正比例函數(shù)，在定義域上為增函數(shù)，不符合題意；

對于B，y＝lgx，是對數(shù)函數(shù)，在定義域上為增函數(shù)，不符合題意；

對于C，y＝2﹣x＝（2）x，是指數(shù)函數(shù)，在定義域上為減函數(shù)，符合題意；

1

對于D，y＝x3，是冪函數(shù)，在定義域上為增函數(shù)，不符合題意；

故選：C．

4．

【解答】解：因為0＜x＜2，

所以x（2﹣x）（

?+2?2

2）＝1，當且僅當x＝2﹣x，即x＝1時取等號，此時x（2﹣x）

取得最大值1．

故選：B．

5．

【解答】解：????+3????

＝2×（2sin+23cos）

1

＝2（cos3sin+sin3cos）

＝2sin（?+?）

3．

?

?

故選：D．

6．

【解答】解：由=?，可得y＝sin（x+）＝sin（x+?）＝cosx為偶函數(shù)，故充分性成

2

2

立；

4

學大教育傾情奉獻

由函數(shù)y＝sin（x+）為偶函數(shù)，可得＝k+?，kZ，不能推出=?，故必要性不成

2

2

立，

故"?=?"是"函數(shù)y＝sin（x+）為偶函數(shù)"的充分而不必要條件，

2

故選：A．

7．

【解答】解：函數(shù)函數(shù)?(?)=4???2?是減函數(shù)，又f（2）＝2﹣1＝1＞0，

?

f（4）＝1﹣log24＝﹣1＜0，

可得f（2）f（4）＜0，由零點判定定理可知：函數(shù)?(?)=4???2?包含零點的區(qū)間是：

?

（2，4）

．

故選：C．

8．

【解答】解：每12分鐘轉動一周，

則運動到3分鐘時，轉過的角為12

3

×2?=

?

2，

設點M的初始位置坐標為（cos，sin）

，

則????=1，????=23，

2

運動到3分鐘時，M′的位置坐標是M'（cos（?+?）???(?+?)）

2

，

2

，即M'（23，）

2．

1

故選：A．

9．

【解答】解：對于A，ln2+ln3＝ln6＜2ln2=ln4，故A錯誤；

5

25

對于B，ln3﹣ln2＝ln2＜2=???，故B錯誤；

對于C，∵2

1

3

1

=??

?＜??2＜???3

4

6

=，

4

3

1＝lne＜ln3＜ln?5=1.2，

∴l(xiāng)n2?ln3＜1，故C正確；

對于D，由C得??2＞2，故D錯誤．

??3

3

故選：C．

10．

【解答】解：因為f（x）＝x（x﹣a）（x1）時至多有一個零點，單調(diào)函數(shù)f（x）＝2x

，

﹣a，x＜1至多一個零點，

2??，?＜1

而函數(shù)?(?)={

恰有2個零點，

?(??)，?1

5

學大教育傾情奉獻

所以需滿足f（x）＝x（x﹣a）（x1）有1個零點，f（x）＝2x﹣a，x＜1有1個零點，

，

所以{???2?＜1，解得1a＜2，

?1

故選：D．

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11．

【解答】解：函數(shù)y＝tanx的最小正周期是，

故答案為：．

12．

【解答】解：∵集合A＝{1，2}，

∴集合A＝{1，2}的非空子集是{1}，{2}，{1，2}，

故答案為：{1}，{2}，{1，2}．

13．

【解答】解：將函數(shù)y＝sinx的圖象先向右平移4個單位長度，得到函數(shù)?=???(??)的

4

圖象，再把圖象上各點橫坐標縮短到原來的2（縱坐標不變）得到函數(shù)?=???(2??)的

，

4

1

?

圖象．

故答案為：???(??)；???(2??)

4

4

14．

【解答】解：如果兩個函數(shù)的對應關系和值域都相同，那么這兩個函數(shù)不一定是同一函

數(shù)，

如：f（x）＝x2，x（﹣1，1）g（x）＝x2，x[0，1）

，

，它們的定義域不同，不是同一

函數(shù)．

（答案為不唯一）

故答案為：x2，x（﹣1，1）x2，x[0，1）

；

．

15．

【解答】解：∵1a＜10，∴0＝lg1lga＜lg10＝1，即0lga＜1，

∵lg2100＝100lg2100×0.3010＝30+0.10，

∴2100＝1030+0.10＝a×1030，共有31位．

故答案為：[0，1）31．

；

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16．

【解答】解：1）因為B＝{x|2x＜4}，

（

所以B＝{x|x＜2}，

因為A＝{x|1＜x＜3}，

所以AB＝{x|x＜3}，

6

學大教育傾情奉獻

?RB＝{x|x2}，

（2）因為AB＝{x|1＜x＜2}，

所以x2+ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，

所以x2+ax+b＝0的解為1，2，

所以{1+?+?=0，

4+2?+?=0.

解得a＝﹣3，b＝2．

17．

【解答】解：1）sin2+cos2＝1，

（

∵?(?，0)，∴cos＞0．

2

∵????=3，∴????=1???2?=4．

5

5

∴sin2＝2sincos=2×(3)×4=24，

5

5

25

cos2＝1﹣2sin2=12×(3)2=25；

7

5

（2）由（1）知???2?=24，???2?=25，

7

25

∴???2?=???2?=24×25=24．

???2?

25

7

7

?)=???2?+????=24+1=17．

則???(2?+4

4

7

1???2????4

?

1+24

31

7

18．

【解答】解：1）如圖可知，2=12(12)=2，所以T＝．

（

2?

因為?=|?|，且＞0，所以＝2．

?

因為圖象過點(12，2)，

?

5?

?

?

所以，2???(2×(12)+?)=2，即???(?+?)=1，∴?+?=2??+?，??，

?

6

6

2

即?=2??+2?，??．

3

因為0＜＜，所以，?=2?，?(?)=2???(2?+2?)．

3

3

（2）在區(qū)間[0，]上，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[5?，11?]，減區(qū)間為[0，5?]，[11?，?]．

12

12

12

12

（3）∵xR，f（a﹣x）＝f（a+x）都成立，故函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝a對稱，

結合圖象可得函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=5?，即a=5?．

12

12

19．

【解答】解：1）根據(jù)題意，函數(shù)?(?)=???2(1?2)，

（

7

學大教育傾情奉獻

必有1﹣x2＞0，解可得﹣1＜x＜1，

所以函數(shù)?(?)=???2(1?2)的定義域是（﹣1，1）

．

（2）函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

證明：因為x（﹣1，1）

，都有﹣x（﹣1，1）

，

且?(?)=???2(1(?)2)=???2(1?2)=?(?)，

所以函數(shù)?(?)=???2(1?2)為偶函數(shù)．

（3）證明：因為0＜x1＜x2＜1，

所以0＜?12＜?22＜1．

所以1＜?22＜?12＜0．

所以0＜1?22＜1?12＜1．

因為y＝log2x是增函數(shù)，

所以???2(1?12)＞???2(1?22)．

因為?(?1)=???2(1?12)，?(?2)=???2(1?22)，

所以f（x1）＞f（x2）

．

20．

【解答】解：1）函數(shù)y＝sinx的單調(diào)增區(qū)間為[?+2??，?+2??]（kZ）

（

，

2

2

由?+2??2??+2??，kZ，

2

2

解得?+????+??，kZ，

4

4

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[?+??，?+??]，kZ．

4

4

（2）選擇條件①：A＝1，＝2．h（x）＝sin2x﹣cos22x＝sin2x﹣（1﹣sin22x）＝sin22x+sin2x

﹣1，

令u＝sin2x，

因為?[0，?]，

2

所以2x[0，]，

所以u[0，1]，

所以y＝u2+u﹣1，u[0，1]，

因為y＝u2+u﹣1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，

所以當u＝1時，y＝u2+u﹣1取得最大值1，

所以當?=?時，h（x）取得最大值1；

4

8

學大教育傾情奉獻

選擇條件②：＝2，＝1．（x）sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1=2???(2??)1，

A

h

＝

4

令?=2??，

4

因為?[0，?]，

2

所以?[?，3?]，

4

4

所以當?=?時，即?=3?時，h（x）取