人教A版第8章8.68.6.3平面與平面垂直(1)課件（36張）

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直(1)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.了解二面角及其平面角的概念，能確定二面角的平面角．2.初步掌握面面垂直的定義．活動方案問題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？活動一了解二面角的概念【解析】

在平面幾何中，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角．問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”與“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？【解析】

若a與b是異面直線，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫作異面直線a與b所成的角．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫作這條直線與這個平面所成的角．共同特征：均是轉化為平面上直線與直線所成的角．思考1???觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．數(shù)學上，如何刻畫門所在的平面與墻面所在的平面所成的角？【解析】

略思考2???在日常生活中，我們常說“把門開大一些”，是指哪個角大一些？受此啟發(fā)，你認為應該怎樣刻畫二面角的大小呢？【解析】

略1.二面角及其平面角的概念．(1)二面角：①定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面．②畫法：

直立式

平臥式③記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角：①定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點

O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和

OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫作二面角的平面角．②表示方法：若O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角α的大小范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角．例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求：(1)二面角A1－AB－D的大??；(2)二面角D1－AB－D的大?。顒佣莆蘸唵螏缀误w中二面角的求解方法【解析】

(1)因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥AB，AD⊥AB，所以∠A1AD就是二面角A1－AB－D的平面角，則大小為90°.(2)因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面A1D1DA，D1A?平面A1D1DA，所以AB⊥D1A.又因為AB⊥AD，所以∠D1AD就是二面角D1－AB－D的平面角．又因為∠D1AD＝45°，

所以二面角D1－AB－D的大小為45°.根據二面角的平面角的定義，在圖形中先找到此平面角，然后放在三角形中解決．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角C1－BD－C的正切值．【解析】

連接AC交BD于點O，連接OC1.因為BC1＝DC1，BC＝DC，BO＝DO，所以C1O⊥BD，CO⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角．設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1.2.平面與平面垂直．(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β.活動三理解兩個平面垂直的定義例2如圖，邊長為2的正三角形ABC以它的高AD為折痕，折成一個二面角B′－AD－C.(1)指出這個二面角的面、棱、平面角；(2)若二面角B′－AD－C為直二面角，求B′，C兩點之間的距離；(3)求AB′與平面B′CD所成的角；(4)若二面角B′－AD－C的平面角為120°，求二面角A－B′C－D的正切值.【解析】

(1)面：平面AB′D和平面ACD；棱：AD；平面角：∠B′DC.(3)60°(4)由題意，得∠B′DC＝120°，取B′C的中點E，連接AE，DE.因為AB′＝AC，B′D＝CD，B′E＝CE，所以DE⊥B′C，AE⊥B′C，所以∠AED為二面角A－B′C－D的平面角．當圖形中不能直接找到二面角的平面角時，一般先找一個平面的垂線，再過垂足在另一個平面內作兩個平面交線的垂線，根據連線從而證得平面角．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD.(1)求證：BD⊥PC；(2)若∠BAD＝∠BPA＝60°，求二面角P－CD－A的余弦值．【解析】

(1)連接AC.因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA.因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又因為PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.(2)如圖，作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，連接PE.因為AE⊥CD，PA⊥CD，AE∩PA＝A，AE?平面PAE，PA?平面PAE，所以CD⊥平面PAE.因為PE?平面PAE，所以PE⊥CD.所以二面角P－CD－A的平面角是∠PEA.設PA＝1，檢測反饋245131.(2022·聊城期末)下列條件中，不能確定兩個平面垂直的是(

)A.兩個平面相交，所成二面角是直二面角B.一個平面垂直于另一個平面內的一條直線C.一個平面經過另一個平面的一條垂線D.平面α內的直線a與平面β內的直線b是垂直的24513【答案】

D【解析】

A，B，C可以確定兩個平面垂直；對于D，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD內的直線A1B1垂直于平面ABCD內的一條直線BC，但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直，故D錯誤．245132.在二面角α－l－β的一個平面α內有一條直線AB，若AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，則此二面角的大小是(

)A.30° B.30°或150°C.45° D.45°或135°24513【答案】

D24533.(多選)(2022·寧德期末)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列說法中正確的是(

)A.直線BD1⊥平面A1C1DC.三棱錐P－A1C1D的體積為定值124531【解析】

對于A，因為A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1?平面BB1D1，BB1?平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，因為A1C1∩DC1＝C1，A1C1?平面A1C1D，DC1?平面A1C1D，所以直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；對于B，由正方體可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B錯誤；對于C，因為A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，所以B1C∥平面

A1C1D，因為點P在線段B1C上運動，所以點P到平面A1C1D的距離為定值，又△A1C1D的面積是定值，所以三棱錐P－A1C1D的體積為定值，故C正確；對于D，當點P與線段B1C的端點重合時，

異面直線AP與A1D所2453【答案】

AC124534.在直角三角形ABC中，兩直角邊AC＝b，BC＝a，CD⊥AB，垂足為D，將△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B，則∠ACB的余弦值為________.124535.已知A為正三角形BCD所在平面外的一點，且點A到△BCD三個頂點的距離都等于正