曲線曲面積分計(jì)算

1第十章曲線積分與曲面積分目錄下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課基本內(nèi)容例題選講一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分(2)確定積分上下限用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程第一類:下小上大第二類:下始上終2首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x

=

j

(t

),

y

=y

(t

)

(a

￡

t

￡

b

)ds

=

[j

￠(t

)]2

+[y

￠(t

)]2

dt①L為參數(shù)方程:③L為極坐標(biāo)方程：y

=

g(

x) (a

￡

x

￡

b)②L為直角坐標(biāo)方程：ds

=

1

+[

g￠(

x)]2

dxr

=

r(q)

q1

￡

q

￡

q2ds

=

r

2

+

(r

￠)2

dq對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題步驟：(1)寫(xiě)出曲線L方程及相應(yīng)弧微分公式ds3首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束L(2)將L的表達(dá)式及弧微分公式直接代入曲線積分式,化為定積分,定出積分限.(注:下限小于上限)baf

(

x,

y)ds

=

f

(j

(t

),y

(t

))

[j

￠(t

)]2

+[y

￠(t

)]2

dtbLaf

(

x,

y)ds

=

f

(

x,

g(

x))

1

+[

g￠(

x)]2

dxLq2q1r

2

+

(r￠)2

dqf

(

x,

y)ds

=

f

(r

cosq,

r

sinq)L為參數(shù)方程L為直角坐標(biāo)方程L為極坐標(biāo)方程4首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法：(1)直接化為對(duì)參變量的定積分L

:

x

=

j

(t

),y

=y

(t

)bL

Pdx

+

Qdy

={P[j

(t

),y

(t

)]j

￠(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

￠(t

)}dta注:下限對(duì)起點(diǎn),上限對(duì)終點(diǎn)B(t

=

b

)A(t

=

a

)5首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件若

?Q

=

?P

,

則積分只與L的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān),?x

?y故可選取便于計(jì)算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結(jié)合P、Q考慮).(3)利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.注:若曲線L不是封閉的,直接計(jì)算又困難,可考慮添加輔助曲線C,使L+C為封閉曲線,再利用格林公式.D

L?x

?y

(

?Q

-

?P

)dxdy

=

Pdx

+

Qdy6首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

基本技巧利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算;利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;對(duì)于曲線積分L

Pdx

+

Qdy

,下面四個(gè)條件等價(jià):①曲線積分與路徑無(wú)關(guān).②被積表達(dá)式是某個(gè)函數(shù)的全微分.③沿任何閉路線的曲線積分為零.④

?P

=

?Q

.?y

?x7首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(4)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.L

Pdx

+

Qdy

=

L

[P

cosa

+

Q

cos

b

]ds其中α,β為有向曲線L上點(diǎn)(x,y)處的切向量的方向角.(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);8首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、曲面積分的計(jì)算法1.

基本方法曲面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程第一類:始終非負(fù)積分元素投影第二類:有向投影確定積分區(qū)域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面9首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x

yDxyf

(

x,

y,

z)dS

=

f

(

x,

y,

z(

x,

y)) 1

+

z2

+

z2

dxdy

計(jì)算方法第一類(對(duì)面積的曲面積分)若曲面S：z

=z(x,y),則Dxy

是

在xoy面上的投影.如果積分曲面S由方程y

=y(z,x)或x

=x(y,z)給出,可類似地把對(duì)面積的曲面積分化為相應(yīng)的二重積分.10首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Dxy第二類(對(duì)坐標(biāo)的曲面積分)

P(

x,

y,

z)dydz+

Q(

x,

y,

z)dzdx

+

R(

x,

y,

z)dxdy1)若曲面S：z

=z(x,y),則

R(

x,

y,

z)dxdy

=

–

R(

x,

y,

z(

x,

y))dxdyDyzΣ前側(cè)取正號(hào)，后側(cè)取負(fù)號(hào).Σ上側(cè)取正號(hào),下側(cè)取負(fù)號(hào).2)若曲面S：x

=x(y,z),則

P(

x,

y,

z)dydz

=

–

P(

x(

y,

z),

y,

z)dydz11首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Dzx

Q(

x,

y,

z)dzdx

=

–

Q(

x,

y(z,

x),

z)dzdx3)若曲面S：y

=y(z,x),則Σ右側(cè)取正號(hào)，左側(cè)取負(fù)號(hào).注：對(duì)于封閉曲面,可考慮用高斯公式.12首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

基本技巧(2)利用高斯公式(1)利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算注意公式使用條件添加輔助面的技巧W

?x

?y

?z(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)（

?P

+

?Q

+

?R

)dv

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy高斯公式反映的是空間閉區(qū)域Ω上三重積分與其邊界曲面Σ上的曲面積分之間的關(guān)系.13首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

[P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cos

g]dS

其中α,β,γ為有向曲面Σ上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向角.14首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、例題選講解利用極坐標(biāo),ds

=原式=Lr

2

+

r

￠2

dq

=

a

dqax

ds=

a

x

.x2

+

y2

ds

,

其中L為圓周x2

+

y2例1

計(jì)算

La

xoyrt說(shuō)明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則d

s

=

(

x￠)2

+

(

y￠)2

d

t15首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2

計(jì)算曲分I

=G2

y2

+z2

ds,其中G

為球面x2

+y2

+z2

=a2與平面x

=y相交的圓周.xozy解

因在L上有2

y2

+

z2

=

a2

,所以x

=

a

cos

t2y

=

a

cos

t(

0

￡

t

￡

2p

)2z

=

a

sin

t16首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束20t

sin

t

dt2p所以

原式=

a2p0=

a2

[-

t

cos

t

+

sin

ty

=

a(1

-

cos

t

)例3

計(jì)算L

(2a

-

y)

d

x

+

x

d

y,

其中L為擺線x

=

a(t-

sin

t

)

,上對(duì)應(yīng)t從0到2p的一段弧.解17首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束zox1

y解因在G上有故原式=例4

計(jì)算G

x

yzdz

,

其中G

由平面y

=

z截球面x2

+

y2

+

z2

=

1所得,

從z軸正向看沿逆時(shí)針?lè)较?18首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o A

xBI

=

AB

(

x

-

y)

d

x

+

(

y

-

x)dy2

22ax

dx-a=沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,a為半徑的上半圓周.解法1

令

P

=

x2

-

y,

Q

=

y2

-

x,

則yCL這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān),故例5

計(jì)算I

=

L

(

x

-

y)dx

+

(

y

-

x)d

y,

其中L是2

219首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法2yCo A

xBL0

dxdy=D22BA-

(

x-

y)dx

+

(

y

-

x)dya-aD(利用格林公式)3-

x2

d

x

=

-

2

a3L+BA

(

x2

-

y)dx

+

(

y2

-

x)dyI

=

添加輔助線段BA

,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,

則20首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束L

:

x

=

a

(1

+

cos

t

)

y

=

a

sin

tyDaLxoBAD=

02a0d

x0d

x

d

y-220p+2at

:

0

fi

p2sin

t

d

t

=

p

a+

AB-

AB

-2L

y

d

x=

L例6

計(jì)算I

=

L

(e

sin

y

-

2

y)

d

x

+

(e

cos

y

-

2)d

y,x

x其中L為上半圓周(

x-

a)2

+

y2

=

a2

,

y

?

0,沿逆時(shí)針?lè)较?提示:I

=

L

e

sin

y

d

x

+

(e

cos

y

-

2)d

y

-2

y

d

xx

xL21首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束B(niǎo)zyAxCo=

3AB

x

d

z10=

3(1

-

z)dz提示:

方法1利用對(duì)稱性=

3AB

y

d

x

+

z

d

y

+

xdz例7

求力F

=

(

y

,

z

,

x)沿有向閉曲線G

所作的功,其中G

為平面x+y

+z

=1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三角形的整個(gè)邊界,從z軸正向看去沿順時(shí)針?lè)较?22首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Szyxo原式=3=

3

2

p

R3

-0

=

2p

R30SS0-

x

dydz

+

ydzdx

+

zdxdyS例8

計(jì)算

x

d

y

d

z

+

y

d

z

d

x

+

z

d

x

d

y,

其中S

為半球面z

=

R2

-

x2

-

y2的上側(cè).提示:以半球底面S

0

為輔助面,且取下側(cè),記半球域?yàn)閃

,利用

高斯公式有23首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束24(常向量)則=

0=

(cosa

cosa

￠+

cos

b

cos

b

￠+

cosg

cos

g￠)d

SS=

cosa

￠dy

dz

+

cos

b

￠dz

dx

+

cos

g￠dx

dySn

a

dSS

Scos(

n

,a

)

d

S

=

0證

設(shè)

n=

(cosa

,

cos

b

,

cos

g)S

a為任意固定向量,n為S的單位外法向量,證明:

cos(