1矩陣初等變換

第一節(jié)矩陣的初等變換

一、消元法解線性方程組

二、矩陣的初等變換

三、初等矩陣本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法，再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．內(nèi)容豐富，難度較大.引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．解

其中x3可任意取值

①②③05②05③5②④3②①②③05②③④③②③③2①④3①于是，方程組的解為

注：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．下三種變換3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．①②①②顯然交換B的第1行與第2行即得B1

例如變換完全可以轉(zhuǎn)換為對方程組的增廣矩陣的變換

僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，因此，對方程組的增廣陣增廣陣③2③2顯然把B的第3行乘以(1/2)即得B2

例如增廣陣增廣陣①2②①2②顯然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3

例如

把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上就得到矩陣的三種初等變換增廣陣增廣陣定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換（對調(diào)i,j兩行，記為（2）以數(shù)k≠0乘以某一行的所有元素（第i行乘k，記為（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第j行的k倍加到的i行上記為（1）對調(diào)兩行定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”逆變換逆變換逆變換換成“c”)．初等變換．等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系．如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，矩陣A與B等價(jià)，（2）對稱性，（3）傳遞性，（1）反身性即若即若則則記為就稱~~~~~r3r4112140

111000

026112140

222005

5360

3343112142111223

1123

6979r42r3矩陣初等變換舉例

r1r2r2r3r32r1r43r1112140

11100

0

0

2600

013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行階梯形矩陣

行最簡形矩陣101040

11030

0

0

1300

00

000

00

00

0

0

13行階梯性矩陣特點(diǎn)：（1）可劃出一條階梯線，（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，即非零行的第一個(gè)非零元．臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，線的下方全為零；注意：（2）行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形．（1）對于任意矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形和行最簡形.行階梯形矩陣還稱為行最簡形矩陣，即非零行的第一非零元為1，且這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)型特點(diǎn)：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全為零.矩陣A總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行階梯形矩陣

行最簡形矩陣?yán)?/p>

標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換把矩陣化為行最簡型

練習(xí)

解

解線性方程組

方程組的解可表示為

(其中x3與x4為自由未知數(shù))

稱為初等矩陣.矩陣的三種初等變換為

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣（1）對調(diào)兩行或兩列；（2）以數(shù)k≠0乘某行或某列；（3）以數(shù)k乘某行（列）加到另一行（列）上去.三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣.（一）初等矩陣的概念對調(diào)E中第i,j兩行，得初等矩陣如2.以數(shù)k≠0乘某行或某列；以數(shù)k≠0乘單位矩陣E的第i行，得初等矩陣如3、以數(shù)k乘某行（列）加到另一行（列）上去.以數(shù)k乘E的第j行加到第i行上（或以數(shù)k乘E的第i行加到第j列上），得如初等矩陣都是可逆矩陣，且有用初等矩陣相當(dāng)于對矩陣A施行對調(diào)A的第i,j兩行.例如~r1r2（二）初等矩陣的應(yīng)用左乘第一種初等行變換:用n階初等矩陣右乘類似地相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等列變換:對調(diào)A的第i,j兩列.用m階初等矩陣左乘其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i列.用n階初等矩陣右乘其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i行.用初等矩陣左乘A其結(jié)果相當(dāng)于把A的第j行乘數(shù)k加到第i行上以初等矩陣右乘A，其結(jié)果相當(dāng)于把A的第i列乘數(shù)k加到第j列行上例如~c12c3

性質(zhì)1

設(shè)A是一個(gè)矩陣，對A施行一次初等相當(dāng)于在A的左邊乘m階初等矩陣；對A施相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的行變換，行一次初等列變換，n階初等矩陣.因此有

證明即充分性

設(shè)AP1P2

Pl

因?yàn)槌醯染仃嚳赡嬗邢迋€(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆故A可逆

必要性設(shè)A可逆，F(xiàn)是A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，則F=E.

方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等性質(zhì)2使方陣故E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳.即存在有限個(gè)初等方陣使推論1方陣A可逆的充要條件是推論2矩陣A與B等價(jià)的充要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階矩陣Q，使得PAQ=B定理1設(shè)矩陣A與B是矩陣，那么：(i)的充分必要條件是存在階可逆矩陣

使得.(ii)的充分必要條件是存在階可逆矩陣

使得.(iii)的充分必要條件是存在階可逆矩陣及階可逆矩陣

使得.證明(i)依據(jù)和初等矩陣的性質(zhì)有經(jīng)有限次初等行變換變成存在個(gè)初等矩陣.使得存在階可逆矩陣

使得.利用初等變換求逆陣的方法：當(dāng)時(shí)，有所以而又即對矩陣（A|E）施行初等行變換，當(dāng)把A變成E時(shí)，原來的E就變成

解例１設(shè)求于是得到

解

練習(xí)求由于即對矩陣（A|B）施行初等行變換，當(dāng)把A變原來的B就變成利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣成E時(shí)，初等行變換例２解求矩陣X，使AX=B，其中若A可逆，則練習(xí)求解矩陣方程AXAX

其中

把所給方程變形為(AE)XA解

~r所以結(jié)束列變換列變換三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換4.初等矩陣矩陣可逆的充要條件:

方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1P2

Pl

使AP1P2

Pl

初等矩陣在矩陣乘法中