第七節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性課件

第七節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1整體概述概述二點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容概述一點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容概述三點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容2定理1一、函數(shù)單調(diào)性的判定法3證應(yīng)用拉氏定理,得xyOabx1x2AB4xyOabx1x2AB容易發(fā)現(xiàn)，如果在上可導(dǎo)，那么在單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，即對(duì)可導(dǎo)函數(shù)，為了確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只要求出在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)．一般稱導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的零點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)5例1討論函數(shù)的單調(diào)性．確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：第一步求出函數(shù)在考察范圍(除指定范圍外，一般是指函數(shù)的定義域)內(nèi)部的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)（因?yàn)楹瘮?shù)在經(jīng)過不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)也會(huì)改變單調(diào)特性，如在經(jīng)過不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)，由單調(diào)減少變?yōu)閱握{(diào)增加）；第二步用這些駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)將分成若干個(gè)子區(qū)間第三步確定在各個(gè)子區(qū)間上的符號(hào)，從而利用定理3.4判定函數(shù)的單調(diào)性．為了清楚，常采用列表方式解題過程6例2討論函數(shù)的單調(diào)性．解題過程7例3證明當(dāng)時(shí)，解題過程(下面內(nèi)容)函數(shù)的極值8返回9返回10返回11例4解單調(diào)區(qū)間為12例5證注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,1314圖3-8xyOabx2x4Ax0x1x3x5x6x7BC15函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法二、最大值最小值問題16一、函數(shù)極值及其求法定義17定理1(必要條件)定義注意:函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).18定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)19證明從略20求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)212223例4求函數(shù)的極值．例5求函數(shù)的極值．例6求函數(shù)的極值．24(以下內(nèi)容)函數(shù)的最大值與最小值25二、最大值最小值問題圖3-8xyOabx2x4Ax0x1x3x5x6x7BC26步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)2設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)為x1,x2,…xn,則比較f(a),f(x1),…,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值．27例3解計(jì)算比較得求點(diǎn),求值,比較28例4把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁（圖3－17）.問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大.解由力學(xué)分析知道：矩形梁的抗彎截面模量為問題由圖3－17看出，b與h有下面的關(guān)系：因而圖3－1729解得由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，而且在（0，d）內(nèi)部取得；現(xiàn)在，在（0，d)內(nèi)只有一個(gè)根當(dāng)時(shí)，w的值最大，這時(shí)，30實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;(以下內(nèi)容)曲線的凹凸性與函數(shù)圖形的描繪3132二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3334定理235注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的概念

例2求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)3637問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)38定義39定理240例7解注意到,41注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的求法證拐點(diǎn)的概念42方法1:43例8解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)4445提問與解答環(huán)節(jié)Questionsandanswers46結(jié)束語

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