上海松江區(qū)九亭中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析_第1頁(yè)
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上海松江區(qū)九亭中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“對(duì)任意的,都有”的否定為A.存在,使 B.對(duì)任意的,都有

C.存在,使

D.存在,使參考答案:C2.a是平面α外的一條直線,過(guò)a作平面β,使β∥α,這樣的平面β()A.只能作一個(gè) B.不存在C.至多可以作一個(gè) D.至少可以作一個(gè)參考答案:C【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論;平面與平面平行的性質(zhì).【分析】由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個(gè)【解答】解:當(dāng)a∥α?xí)r,過(guò)a作平面β,使得β∥α,由平面與平面平行的性質(zhì)得:這樣的平面β有且只有1個(gè).a(chǎn)與α相交時(shí),設(shè)平面為β,a與α交點(diǎn)為P,根據(jù)題意P∈β,P∈α,則α∩β=l且P∈l,這與α∥β矛盾,∴這樣的β不存在.綜上所述,過(guò)平面α外一條直線a與α平行的平面的個(gè)數(shù)為至多1個(gè).故選:C.3.已知復(fù)數(shù)z=-1+i,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第()象限。A.一

B.二

C.三

D.四參考答案:C略4.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,則橢圓的離心率(

) A. B. C. D.參考答案:B略5.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,,則(

)A.

B.

C.

D.參考答案:C把雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得,則,設(shè),由雙曲線定義可得,所以,所以,所以,所以選C.

6.已知兩定點(diǎn),如果動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于(

)A

B

C

D參考答案:C略7.設(shè)集合,.若,則實(shí)數(shù)必滿足().A.

B.

C.

D.

參考答案:D略8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A. B. C. D.參考答案:D【分析】求得,令,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù),則,令,即且,解得,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,若,,則的最大值為(

)A.1

B.

2

C.

4

D.

5參考答案:D10.若a、b、c∈R,a>b,則下列不等式成立的是()A. B.a(chǎn)2>b2

C. D.a(chǎn)|c|>b|c|參考答案:C【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.【分析】本選擇題利用取特殊值法解決,即取符合條件的特殊的a,b的值,可一一驗(yàn)證A,B,D不成立,而由不等式的基本性質(zhì)知C成立,從而解決問(wèn)題.【解答】解:對(duì)于A,取a=1,b=﹣1,即知不成立,故錯(cuò);對(duì)于B,取a=1,b=﹣1,即知不成立,故錯(cuò);對(duì)于D,取c=0,即知不成立,故錯(cuò);對(duì)于C,由于c2+1>0,由不等式基本性質(zhì)即知成立,故對(duì);故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線表示雙曲線,則的取值范圍是

。參考答案:

解析:12.拋擲骰子2次,每次結(jié)果用表示,其中,分別表示第一次、第二次骰子的點(diǎn)數(shù)。若設(shè),,則等于____參考答案:略13.在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓的方程為,類(lèi)比圓的方程,請(qǐng)寫(xiě)出在空間直角坐標(biāo)系中以點(diǎn)為球心,半徑為r的球的方程為

.參考答案:【分析】依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中圓的方程形式即可類(lèi)比出空間直角坐標(biāo)系中球的方程.【詳解】利用類(lèi)比推理,得空間直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)P(-1,1,3)為球心,r為半徑的球的方程為(x+1)2+(y-1)2+(z-3)2=r2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了類(lèi)比推理知識(shí),對(duì)比方程的形式即可得到答案,屬于基礎(chǔ)題.14.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同,若圓柱M與球O的體積相等,則它們的表面積之比______.(用數(shù)值作答)參考答案:【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等,可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關(guān)系,進(jìn)而求出圓柱和球的表面積后,即可得到S圓柱:S球的值.【詳解】∵設(shè)圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑均為R,M的高為h則球的表面積S球=4πR2又∵圓柱M與球O的體積相等即解得h=,4πR2=2πR2+2πR?h則S圓柱=2πR2+2πR?h=,S球,∴S圓柱:S球,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積和表面積,圓柱的體積和表面積,其中根據(jù)已知求出圓柱的高,是解答本題的關(guān)鍵.15.將曲線C按伸縮變換公式變換得曲線方程為,則曲線C的方程為_(kāi)_________________。參考答案:16.在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為a,b,c,若a=2,B=,c=2,則b=

參考答案:217.已知實(shí)數(shù)條件,則的最大值是______參考答案:3三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD=2,CD=3,∠D=2∠B且cosB=(Ⅰ)求△ACD的面積;(Ⅱ)若∠ACB=60°,求AB的長(zhǎng).參考答案:【考點(diǎn)】正弦定理;余弦定理.【專(zhuān)題】方程思想;數(shù)形結(jié)合法;解三角形.【分析】(Ⅰ)由題意和二倍角公式可得cosD,進(jìn)而可得sinD,代入面積公式S=?AD?CD?sinD,計(jì)算可得;(II)在△ACD中,由余弦定理可得AC,進(jìn)而在△ABC中由正弦定理可得AB.【解答】解:(Ⅰ)∵∠D=2∠B,∴cosD=2cos2B﹣1=2×()2﹣1=﹣,∵∠D∈(0,π),∴sinD==,∵AD=2,CD=3,∴△ACD的面積S=?AD?CD?sinD=;(II)在△ACD中,由余弦定理可得AC===4在△ABC中,由正弦定理可得=,∴AB==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式,屬中檔題.19.(本題12分)如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且,,.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.參考答案:(1)如圖所示,取AB中點(diǎn)E,連PE、CE.則PE是等腰△PAB的底邊上的中線,所以PE⊥AB.PE=1,CE=,PC=2,即.Ks5u由勾股定理可得,PE⊥CE.又因?yàn)锳Bì平面ABCD,CEì平面ABCD,且AB∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD.Ks5u而PEì平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)(方法1)如圖1,在Rt△PEC中,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F,連AF.過(guò)A作平面PCD的垂線,垂足為H,連FH.因?yàn)锳E⊥EC,AE⊥PE,所以AE⊥平面PEC,于是AE⊥PC.又EF⊥PC,所以PC⊥平面AEF,故PC⊥AF.已有PC⊥AH,可得PC⊥平面AFH,所以PC⊥FH.故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角.由AB⊥平面PEC知EF⊥AB,又AB∥CD,所以EF⊥CD.而已有EF⊥PC,所以EF⊥平面PCD.又因?yàn)锳H⊥平面PCD,所以AH∥EF.由于AB∥平面PCD,所以A、E兩點(diǎn)到平面PCD的距離相等,故AH=EF.所以AEFH是矩形,∠AFH=∠EAF.在Rt△AEF中,AE=1,EF=,AF=,所以.即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是.(方法2)以AB中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EC所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,-1,0),C(,0,0),D(,-2,0),P(0,0,1),=(,1,0),=(,0,-1),=(0,2,0).設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量,則,即.取,可得,.設(shè)是平面PCD的一個(gè)法向量,則,即.取,可得,.故,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是.20.如圖,AB是圓O的直徑,C是圓O上除A、B外的一點(diǎn),DC⊥平面ABC,四邊形CBED為矩形,CD=1,AB=4.(1)求證:ED⊥平面ACD;(2)當(dāng)三棱錐E﹣ADC體積取最大值時(shí),求此刻點(diǎn)C到平面ADE的距離.參考答案:【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面垂直的判定.【分析】(1)先證明BC⊥平面ACD,再由BC∥ED,得出ED⊥平面ACD;(2)由V三棱錐C﹣ADE=V三棱錐E﹣ACD,利用基本不等式求出三棱錐C﹣ADE體積的最大值,再利用三棱錐的體積公式計(jì)算點(diǎn)C到平面ADE的距離.【解答】解:(1)證明:∵AB是圓O的直徑,∴AC⊥BC,又DC⊥平面ABC,BC?平面ACD,∴DC⊥BC,又AC∩DC=D,AC?平面ACD,DC?平面ACD,∴BC⊥平面ACD;又四邊形CBED為矩形,∴BC∥ED,∴ED⊥平面ACD;(2)解:由(1)知,V三棱錐C﹣ADE=V三棱錐E﹣ACD=S△ACD?DE=??AC?CD?DE=?AC?BC≤?(AC2+BC2)=?AB2=×42=,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2時(shí)等號(hào)成立;∴當(dāng)AC=BC=2時(shí),三棱錐C﹣ADE的體積最大,為;此時(shí),AD==3,S△ADE=?AD?DE=3,設(shè)點(diǎn)C到平面ADE的距離為h,則V三棱錐C﹣ADE=S△ADE?h=;∴h=÷(×3)=.21.已知函數(shù),();.(Ⅰ)若在定義域上有極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若對(duì),總,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(Ⅲ)對(duì),證明:

參考答案:(Ⅰ)的定義域?yàn)?,要在定義域內(nèi)有極值,則有兩不等正根,…(4分)(Ⅱ),要對(duì),總,使得則只需,由得函數(shù)在,所以函數(shù)在處有最大值; ……(6分);又在,故故有

……(9分)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,恒成立,故在定義域上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),即…………(12分)所以對(duì),總有,故有22.隨著智能手機(jī)等電子產(chǎn)品的普及,“低頭族”正成為現(xiàn)代社會(huì)的一個(gè)流行詞.在路上、在餐廳里、在公交車(chē)上,隨處可見(jiàn)低頭玩手機(jī)的人,這種“低頭族現(xiàn)象”沖擊了人們面對(duì)面交流的溫情,也對(duì)人們的健康構(gòu)成一定的影響.為此,某報(bào)社發(fā)起一項(xiàng)專(zhuān)題調(diào)查,記者隨機(jī)采訪了M名市民,得到這M名市民每人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間(單位:小時(shí)),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:分組頻數(shù)頻率[0,0.5)40.10[0.5,1)mp[1,1.5)10n[1.5,2)60.15[2,2.5)40.10[2.5,3)20.05合計(jì)M1(Ⅰ)求出表中的M,p及圖中a的值;(Ⅱ)試估計(jì)這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間(同一組的數(shù)據(jù)用該組的中間值作代表);(Ⅲ)在所取樣本中,從一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民中任取2人,求兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2,2.5)內(nèi)的概率.參考答案:【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率;頻率分布直方圖.【專(zhuān)題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì).【分析】(Ⅰ)由頻率=,利用頻率分布表頻率分布直方圖能求出表中的M,p及圖中a的值.(Ⅱ)先求出,由此利用頻率分布直方圖能估計(jì)這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間.(Ⅲ)所取樣本中,一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民共有6人,由此利用列舉法能求出兩人在一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間都在區(qū)間[2,2.5)內(nèi)的概率.【解答】解:(Ⅰ)∵分組[0,0.5)內(nèi)的頻數(shù)是4,頻率是0.10∴,得M=40…∵頻數(shù)之和為M=40∴4+m+10+6+4+2=40,得m=14∴分組[0.5,1)內(nèi)的頻率…∵a是分組[0.5,1)內(nèi)頻率與組距的商,∴…(Ⅱ),設(shè)這40名市民一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的平均時(shí)間為x,則x=0.25×0.1+0.75×0.35+1.25×0.25+1.75×0.15+2.25×0.1+2.75×0.05=1.225…(Ⅲ)所取樣本中,一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間不少于2小時(shí)的市民共有6人…設(shè)一天內(nèi)低頭玩手機(jī)的時(shí)間在區(qū)間[2,2.5)內(nèi)的人為a1,a2,a3,a4,在區(qū)間[2.5,3)內(nèi)的人為b1,b2,則任取2人有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1

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