04-統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)課件

統(tǒng)計學(xué)第四章統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)學(xué)習目標理解概率及概率分布的意義；掌握抽樣的基本概念以及抽樣分布的概念；本章內(nèi)容概率與概率分布隨機變量的數(shù)值特征與隨機向量大數(shù)定理與正態(tài)分布定理抽樣分布隨機事件與概率隨機現(xiàn)象的特點：

在基本條件不變的情況下，一系列的試驗或觀測會得到不同的結(jié)果，并且在試驗或觀測前不能預(yù)見何種結(jié)果將出現(xiàn)。了解隨機現(xiàn)象的方法：隨機試驗隨機實驗（簡稱實驗）的特點：

每次試驗的可能結(jié)果不是惟一的；每次試驗之前不能確定何種結(jié)果會出現(xiàn)；試驗在相同條件下重復(fù)進行隨機現(xiàn)象與確定現(xiàn)象隨機試驗與事件隨機事件：隨機試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，簡稱為事件簡單事件：也稱為基本事件，它是不可以再分解的事件，其也被稱為樣本點。復(fù)雜事件：也稱為復(fù)合事件，由簡單事件組合而成的事件?；臼录脖环Q為樣本點。設(shè)試驗有n個基本事件，分別記為i,(i=1,2,…,n)，集合={1,2,…,n}稱為樣本空間，中的元素就是樣本點。隨機事件與概率隨機試驗與事件例：投擲骰子的實驗基本事件：

出現(xiàn)點數(shù)為1，2，3，4，5或6的事件復(fù)雜事件：出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)的事件出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù)的事件我們常用A、B、……來表示隨機事件。設(shè)A表示“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，則A={1,3,5}隨機事件與概率隨機試驗與事件必然事件——必然出現(xiàn)的實驗結(jié)果

用樣本空間表示。不可能事件——不可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果

用空集表示。A發(fā)生或B發(fā)生事件記為A∪B；A與B同時發(fā)生事件記為A∩B，或AB；前面的例子中，A∪B=是必然事件；AB=是不可能事件。如果AB=

，稱為A與B不相容隨機事件與概率隨機試驗與事件定義：概率也稱為機率，是指隨機事件發(fā)生的可能性，或者說對隨機事件發(fā)生可能性的度量隨機事件與概率概率概率的計算：進行重復(fù)試驗，通過試驗的頻率來計算概率。例如，不斷重復(fù)地投擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的頻率會穩(wěn)定在0.5附近。歷史上，有人為此做過實驗，結(jié)果如下：表：頻率試驗結(jié)果實驗者投擲硬幣的次數(shù)（n）正面朝上的次數(shù)（m）頻率（=m/n）DemorganBuffonPearson(1)Pearson(2)204840401200024000106120486019120120.5180.50690.50160.5005隨機事件與概率概率概率的統(tǒng)計定義：進行n次重復(fù)試驗，隨機事件A發(fā)生的次數(shù)是m次，發(fā)生的頻率是m/n，當試驗的次數(shù)n很大時，如果頻率在某一數(shù)值p附近擺動時，而且隨著試驗次數(shù)n的不斷增加，頻率的擺動幅度越來越小，則稱p為事件A發(fā)生的概率，記為：

P(A)=p,0p1隨機事件與概率概率如果隨機試驗的樣本空間是有限集合，所有樣本點出現(xiàn)的可能性相同，則事件A的概率可根據(jù)以下公式計算：樣本點總數(shù)A包含的樣本點個數(shù)nmP(A)=—=——————————隨機事件與概率概率概率的性質(zhì)：性質(zhì)1（非負性）：P(A)0

性質(zhì)2（規(guī)范性）：P()=1

推論：不可能事件的概率為0，即：P()=0

性質(zhì)3（可加性）：若事件A與事件B互不相容，則有：P(A∪B)=P(A)+P(B)

推論：設(shè)A表示A的對立事件，則有：

P(A)=1-P(A)獨立事件：對事件A和B，若p(AB)=p(A)p(B)隨機變量隨機變量：產(chǎn)生于對隨機試驗的結(jié)果進行量化處理的需要。隨機變量X是定義在樣本空間上的一個函數(shù)，這個函數(shù)的取值隨試驗的結(jié)果不同而變化。對任意實數(shù)x，X<x是隨機事件，且概率存在。隨機變量離散型隨機變量的概率分布設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為x1,x2,…,xn,…,，相應(yīng)的概率為p(x1),p(x2),…,p(xn),…,稱為離散型隨機變量X的概率分布。簡記為：p(X=xi)=p(xi)(i=1,2,…)概率分布的性質(zhì)：0p(xi)1(i=1,2,…)，p(xi)=1Xx1x2…xn…Pp(x1)p(x2)…p(xn)…隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布分布函數(shù)：對任意實數(shù)x，X<x是一隨機事件，可求其概率。記F(x)=p(X<x)，該函數(shù)就是隨機變量的分布函數(shù)。密度函數(shù)：對分布函數(shù)求導(dǎo)，可得密度函數(shù)，記為f(x)通過對密度函數(shù)積分，可得到隨機變量X在點x附近或一個區(qū)間上取值的概率。注：連續(xù)型隨機變量取一個固定值的概率為0隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布密度函數(shù)的性質(zhì)：表示隨機變量X的取值在區(qū)間(a,b)內(nèi)的概率。隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布正態(tài)分布：如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為則稱隨機變量X服從均值為，方差為2的正態(tài)分布，記為X~N(,2)=0.6=1=2隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布標準正態(tài)分布：如果正態(tài)分布的密度函數(shù)中，=0,=1，則這樣的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)隨機變量在區(qū)間[-Z,Z]取值的概率F(Z)可通過查標準正態(tài)分布概率表獲得。隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布例：設(shè)隨機變量Z服從標準正態(tài)分布，求以下概率的大小：(1)p(-1<Z<1)(2)p(0<Z<1.25)(3)p(1<Z<1.25)(4)p(Z>1)隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布正態(tài)分布的標準化變換：設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(,2)，則隨機變量Z=(X-)/服從標準正態(tài)分布，即Z~N(0,1)例：假定學(xué)生某門學(xué)科的考試成績服從均值為60分，標準差為12分的正態(tài)分布，問某一學(xué)生的成績在60分到75分之間的概率應(yīng)為多少？解：隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率分布【例】

：設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(,2)，試分別求X落在以為中心，以，1.96，2，3為半徑的區(qū)間內(nèi)的。解：本章內(nèi)容概率與概率分布隨機變量的數(shù)值特征與隨機向量大數(shù)定理與正態(tài)分布定理抽樣分布隨機變量的數(shù)值特征分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，但實際上，一方面常常不知道隨機變量的分布函數(shù)，另一方面也可能不需要知道它，而只需要知道隨機變量的某些特征。討論隨機變量的數(shù)值特征對于了解隨機變量有重要意義。隨機變量的數(shù)值特征隨機變量的（數(shù)學(xué)）期望離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（也即均值）：

=E(X)=xip(xi)

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：如果Y=g(X)，則：隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)該性質(zhì)可推廣到多個隨機變量的情形貝努里試驗：只有兩種結(jié)果的試驗n重貝努里試驗：設(shè)A出現(xiàn)的概率為p，重復(fù)進行n次貝努里試驗二項分布以Bk表示n重貝努里試驗中事件A正好出現(xiàn)k次這一事件，則有：K012…nP(Bk)…隨機變量的數(shù)值特征隨機變量的（數(shù)學(xué)）期望離散型隨機變量的方差：

2=var(X)=E(X-)2=(xi-)2p(xi)連續(xù)型隨機變量的方差：方差的性質(zhì)：Var(X)=2Var(X)Var(X)=E(X2)-[E(X)]2隨機變量的數(shù)值特征隨機變量的方差與標準差方差開平方即為標準差。二元（維）隨機向量離散型隨機向量的概率分布連續(xù)型隨機向量的概率分布隨機向量的數(shù)值特征二元正態(tài)分布其他常用的連續(xù)型隨機變量的分布隨機變量與獨立性其它常用的連續(xù)型隨機變量的分布：2-分布：設(shè)X1,X2,…,Xn是相互獨立且服從標準正態(tài)分布的隨機變量，則稱隨機變量2=Xi2所服從的分布為自由度為n的2-分布。t-分布：設(shè)X服從標準正態(tài)分布，Y服從自由度為n的分布，且它們相互獨立，則隨機變量T=X/Y/n所服從的分布為自由度為n的t-分布。當n30時，t-分布與標準正態(tài)分布的差別非常小，可用標準正態(tài)分布代替。F-分布：設(shè)X和Y是相互獨立的分布，自由度分別是m和n，則稱隨機變量F=(X/Y).(n/m)所服從的分布為F-分布，稱為它的自由度。本章內(nèi)容概率與概率分布隨機變量的數(shù)值特征與隨機向量大數(shù)定理與正態(tài)分布定理抽樣分布大數(shù)定理與正態(tài)分布定理大數(shù)定理大數(shù)定理又稱作大數(shù)法則。人們在觀察個別事物時，是連同一切個別的特性來觀察的。個別現(xiàn)象受偶然因素影響，有各自不同的表現(xiàn)。但是，對總體的大量觀察后進行平均，就能使偶然因素的影響相互抵消，消除由個別偶然因素引起的極端性影響，從而使總體平均數(shù)穩(wěn)定下來，反映出事物變化的一般規(guī)律，這就是大數(shù)定理的意義。大數(shù)定理與正態(tài)分布定理大數(shù)定理大數(shù)定理：獨立同分布的隨機變量X1,X2,…,Xn,…設(shè)它們的平均數(shù)為，方差為2。則對任意正數(shù)，有：大數(shù)定理與正態(tài)分布定理中心極限定理與正態(tài)逼近

正態(tài)分布的再生定理相互獨立的兩個正態(tài)隨機變量相加之和仍服從正態(tài)分布，這就是正態(tài)分布的再生性。因此，從服從正態(tài)分布的總體中抽出一個容量是n的樣本，則樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布。如果總體的平均是，標準差是(X)，則樣本平均數(shù)所服從的正態(tài)分布的中心仍是，標準差是抽樣平均誤差。

大數(shù)定理與正態(tài)分布定理中心極限定理：隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，且服從同一分布，該分布存在有限的期望和方差：E(Xi)=,Var(Xi)=2,(i=1,2,…)。令則中心極限定理與正態(tài)逼近大數(shù)定理與正態(tài)分布定理也就是說，當n趨于無窮大時，Yn近似服從標準正態(tài)分布。中心極限定理與正態(tài)逼近大數(shù)定理與正態(tài)分布定理推論1：均值的分布趨向于正態(tài)分布推論2：n項和的分布趨向于正態(tài)分布中心極限定理與正態(tài)逼近例：4-19（P107）本章內(nèi)容概率與概率分布隨機變量的數(shù)值特征與隨機向量大數(shù)定理與中心極限定理抽樣分布統(tǒng)計推斷與簡單隨機抽樣推斷統(tǒng)計：就是通過抽取樣本，并利用樣本信息來推斷總體的各種性質(zhì)或特征。推斷統(tǒng)計包括：參數(shù)估計和假設(shè)檢驗。推斷統(tǒng)計的基本內(nèi)容抽樣推斷涉及的基本概念：

1.總體與樣本

2.樣本容量與樣本個數(shù)

3.總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量

4.重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣統(tǒng)計推斷與簡單隨機抽樣推斷統(tǒng)計的基本內(nèi)容樣本容量：指樣本包含的總體單位數(shù)，一般用n表示。一般地說，樣本容量大，抽樣誤差會小，但調(diào)查費用會增加，反之，樣本容量過小，又將導(dǎo)致抽樣誤差增大，甚至失去抽樣推斷的價值。因此，在抽樣設(shè)計中應(yīng)根據(jù)調(diào)查目的和要求認真考慮合適的樣本容量。樣本個數(shù)：樣本個數(shù)又稱樣本可能數(shù)目，它是指從一個總體中可能抽取多少個樣本。樣本個數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。關(guān)于樣本個數(shù)的計算我們將在“重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣”中介紹。注意：

這個概念只是對有限總體有意義，對無限總體沒有意義！

若總體X的樣本X1,…,Xn滿足：Xi與X同分布，Xi與Xj相互獨立，則稱它為簡單隨機樣本。如果總體X的密度函數(shù)為f(x)，則簡單隨機樣本的聯(lián)合分布的密度函數(shù)為：統(tǒng)計推斷與簡單隨機抽樣簡單隨機樣本例：設(shè)Xi(i=1,…,n)是來自指數(shù)分布總體X的簡單隨機樣本。求它的聯(lián)合分布密度。解：指數(shù)分布密度為：故該樣本的聯(lián)合分布密度為：總體參數(shù)：總體分布的參數(shù)往往是總體的數(shù)量特征，也是統(tǒng)計推斷的對象。常見的總體參數(shù)有：總體平均數(shù)指標，總體成數(shù)(比率)指標，總體分布的方差、標準差，等等。它們都是反映總體分布特征的重要指標?？傮w成數(shù)(也稱總體比率)指標是指總體中具有某性質(zhì)的單位數(shù)目在總體中所占的比重，它反映了總體的結(jié)構(gòu)特征。統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量：通俗地說，樣本統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)。由于樣本是從總體中隨機地抽出來的，因此，樣本統(tǒng)計量也是隨機變量。我們利用樣本統(tǒng)計量來估計或推斷總體的參數(shù)和數(shù)量特征。設(shè)已有樣本(X1,X2,…,Xn)，常見的統(tǒng)計量有：樣本統(tǒng)計量統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布樣本統(tǒng)計量樣本平均數(shù)樣本成數(shù)樣本方差樣本標準差樣本極差統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布例：從一批瓷器中隨機抽取10件，測得其重量如下，求這組樣本值的均值和方差。123456789102.102.431.852.402.152.281.962.352.001.99解：重復(fù)抽樣(或重置抽樣)是指從總體中抽出一個樣本單位，記錄其標志值后，又將其放回總體中繼續(xù)參加下一輪抽樣。

重復(fù)抽樣的特點：

n個單位構(gòu)成的樣本是n次試驗的結(jié)果；每次試驗是獨立的，即其試驗的結(jié)果與前次、后次的結(jié)果無關(guān)；每次試驗是在相同條件下進行的，每個單位在每次試驗中選中的機會(概率)是相同的。在重復(fù)試驗中，樣本可能的個數(shù)是Nn，N為總體單位數(shù)，n為樣本容量。抽樣分布統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布關(guān)于重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣亦稱為不重置抽樣，即每次從總體抽取一個單位，登記后不放回原總體，不參加下一輪抽樣。下一次繼續(xù)從總體中余下的單位抽取樣本。

不重復(fù)抽樣的特點：

n個單位的樣本由n次試驗結(jié)果構(gòu)成，但由于每次抽出不重復(fù)，所以實質(zhì)上相當于從總體中同時抽取n個樣本單位。如果考慮順序，其樣本可能個數(shù)為如果不考慮順序，其樣本可能個數(shù)為抽樣分布統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布關(guān)于重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣

一個統(tǒng)計量的抽樣分布就是該統(tǒng)計量的概率分布，尋求抽樣分布是統(tǒng)計學(xué)的基本任務(wù)之一。只有知道了統(tǒng)計量的抽樣分布，才能對該統(tǒng)計量做全面的了解和掌握。抽樣分布統(tǒng)計量與統(tǒng)計分布抽樣分布重復(fù)抽樣分布

設(shè)從總體中抽出的樣本為X1，X2，…,Xn，由于是重復(fù)抽樣，每個Xi，(i=1,2,…,n)都是從總體中隨機抽出的，都是與總體同分布的隨機變量，并且是相互獨立的。我們設(shè)總體的平均數(shù)為，方差為2，則樣本平均數(shù)的期望值與方差分別是：樣本平均數(shù)的抽樣分布抽樣分布重復(fù)抽樣分布

由概率論知，如果總體是正態(tài)分布的，則樣本平均數(shù)的抽樣分布是如下正態(tài)分布這是一個非常重要的結(jié)論，有廣泛的應(yīng)用。樣本樣本平均數(shù)樣本樣本平均數(shù)34,3434,3834,4234,4634,5038,3438,3838,4238,4638,5042,3442,3842,4242,4642,5034363840423638404244384042444646,3446,3846,4246,4646,5050,3450,3850,4250,4650,5040424446484244464850例：某班組5個工人的日工資為34、38、42、46、50元?，F(xiàn)用重置抽樣的方法從5人中隨機抽2個構(gòu)成樣本。共有52=25個樣本。樣本平均數(shù)頻數(shù)343638404244464850123454321合計25結(jié)論（重復(fù)抽樣）：

此指標(抽樣平均數(shù)的標準差)反映所有的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差，稱為抽樣平均誤差，用表示。抽樣分布重復(fù)抽樣分布

總體成數(shù)p是指具有某種特征的單位在總體中的比重。在前面我們已經(jīng)知道，成數(shù)是一個特殊平均數(shù)，設(shè)總體單位總數(shù)目是N，總體中有該特征的單位數(shù)是N1。設(shè)X是0、1變量，即：總體單位有該特征，則X取1，否則取0，則有：樣本成數(shù)的抽樣分布抽樣分布重復(fù)抽樣分布樣本成數(shù)的抽樣分布

現(xiàn)從總體中抽出n個單位，如果其中有相應(yīng)特征的單位數(shù)是n1，則樣本成數(shù)是：

P也是一個隨機變量，利用樣本平均數(shù)的分布性質(zhì)結(jié)論，即有：

E(P)=p抽樣分布不重復(fù)抽樣分布樣本平均數(shù)的抽樣分布

某班組5個工人的日工資為34、38、42、46、50元。

現(xiàn)