第5章-離散傅里葉變換課件

第5章

離散時(shí)間傅立葉變換TheDiscrete-TimeFourierTransform基本內(nèi)容1.離散時(shí)間傅立葉變換；2.常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì);3.離散時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換；4.傅立葉變換的性質(zhì)；5.系統(tǒng)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)頻域分析方法；注釋:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):

連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):

離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):

連續(xù)時(shí)間傅立葉變換DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):

離散時(shí)間傅立葉變換DFT(TheDiscreteFourierTransform)

離散傅里葉變換

5.0

引言

Introduction本章將采用與討論CTFT完全相同的思想方法，來(lái)研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問(wèn)題。DFS與CFS之間既有許多類(lèi)似之處，也有一些重大差別：主要是DFS是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù),其系數(shù),具有周期性。

在采用相同方法研究如何從DFS引出離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域描述時(shí)，可以看到，DTFT與CTFT既有許多相類(lèi)似的地方，也同時(shí)存在一些重要的區(qū)別。抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對(duì)掌握和加深對(duì)頻域分析方法的理解具有重要意義。5.1

非周期信號(hào)的表示RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform

當(dāng)N→∞時(shí)，有ω0=(2π/N)→0，而從時(shí)域看，當(dāng)周期信號(hào)的周期N→∞時(shí)，就變成了一個(gè)非周期的序列。可以預(yù)見(jiàn)，對(duì)一個(gè)非周期序列，它的頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜。

一.從DFS到DTFT:

在討論離散時(shí)間周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜時(shí),我們看到：當(dāng)信號(hào)周期N增大時(shí)，頻譜的包絡(luò)形狀不變，幅度減小，而頻譜的譜線變密。當(dāng)時(shí),令對(duì)周期信號(hào)由DFS有即說(shuō)明:顯然對(duì)是以為周期的。DTFT有:將其與表達(dá)式比較有于是:

當(dāng)在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)，在 范圍變化，所以積分區(qū)間是。當(dāng)時(shí),

表明:離散時(shí)間序列可以分解為頻率在2π區(qū)間上分布的、幅度為的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。

DTFT對(duì)結(jié)論：得定義回顧一下CTFS的定義：

設(shè)x(t)是周期函數(shù)。周期是T0。另一種眼光看世界：

既然，連續(xù)時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)建立起了連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)與其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么借助同樣的映射關(guān)系，對(duì)于任意離散時(shí)間信號(hào)x[n]，可以把它看成是一個(gè)周期為2π

的連續(xù)變量函數(shù)X(ejω)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)。稱(chēng)其為DTFT變換對(duì)。通常是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示:

二.常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換1.時(shí)，低通特性,時(shí)，高通特性,單調(diào)指數(shù)衰減擺動(dòng)指數(shù)衰減由圖可以得到:2.可以得出結(jié)論:實(shí)偶序列實(shí)偶函數(shù)3.矩形脈沖:當(dāng)時(shí)，可得到:有同樣的結(jié)論:實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶函數(shù)兩點(diǎn)比較:1.與對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)比較顯然有關(guān)系成立2.與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較如圖所示:如圖所示:4.三.DTFT的收斂問(wèn)題

當(dāng)是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí)，由于的表達(dá)式是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題。收斂條件有兩組：則存在，且級(jí)數(shù)一致收斂于。則級(jí)數(shù)以均方誤差最小的準(zhǔn)則收斂于。5.2

離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)

DTFT也有很多與CTFT類(lèi)似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些明顯的差別。

通過(guò)對(duì)DTFT性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間的關(guān)系。PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform則若一、周期性(periodic):比較：這是與CTFT不同的。二.線性

(linearity):三.時(shí)移與頻移(shifiting):若則時(shí)移特性頻移特性若則四.時(shí)間反轉(zhuǎn)(reflaction):五.共軛對(duì)稱(chēng)性

(symmetryproperties):若則由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論:即1.若

是實(shí)信號(hào)，則2.若是實(shí)偶信號(hào)，則于是有:即是實(shí)偶函數(shù)。3.若是實(shí)奇信號(hào)，則于是有:表明是虛奇函數(shù)。4.若則有:說(shuō)明:這些結(jié)論與連續(xù)時(shí)間情況下完全一致。六.差分與求和

(DifferencingandAccumulation):說(shuō)明:在DTFT中對(duì)應(yīng)于CTFT中例:七.時(shí)域內(nèi)插

(Interplation):定義k為n的整數(shù)倍其他n信號(hào)時(shí)域與頻域特性間有一種相反的關(guān)系。八.頻域微分(DifferentioninFrequency):九.Parseval定理:稱(chēng)為的能量譜密度函數(shù)。比較:在DFS中,有稱(chēng)為周期信號(hào)的功率譜。5.3

卷積特性(TheConvolutionProperty)

若則即是系統(tǒng)的頻率特性。說(shuō)明：該特性提供了對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。例：一LTI系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)

輸入，求系統(tǒng)輸出y[n]。解：方法一：方法二：由于和都是以為周期的，因此上述卷積稱(chēng)為周期卷積。5.4相乘性質(zhì)（TheMultiplicationProperty)如果則5.5

周期信號(hào)的DTFT

考察下列ω的以2π為周期的周期函數(shù)的DTFT反變換：TheFourierTransformforPeriodicSignals由此得到DTFT變換對(duì)：對(duì)一般的周期序列x[n],設(shè)它的周期為N按照DFS我們有：因此，周期信號(hào)x[n]可用DTFT表示為我們得到一般離散時(shí)間周期信號(hào)的DTFT如下：比較:可以看出與連續(xù)時(shí)間傅立葉變換中相應(yīng)的形式是完全一致的。例1.它不一定是周期的。當(dāng)ω0=2πk/N時(shí)才具有周期性。如圖所示:例2.均勻脈沖串比較:與連續(xù)時(shí)間情況下對(duì)應(yīng)的一致。5.8由LCCDE表征的系統(tǒng)

相當(dāng)廣泛而有用的一類(lèi)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可由一個(gè)線性常系數(shù)差分方程LCCDE來(lái)表征:SystemsCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferenceEquations方法一:可以從求解x[n]=δ[n]時(shí)的差分方程得到h[n],進(jìn)而將h[n]作變換而求得H(ejω).一.由LCCDE描述的系統(tǒng)的頻率響應(yīng):方法二:可以通過(guò)求出x[n]=ejωn時(shí)方程的解得到H(ejω)，因?yàn)槭荓TI系統(tǒng)的特征函數(shù)，有：y[n]=H(ejω)ejωn方法三:對(duì)方程兩邊進(jìn)行DTFT變換，可得:

可見(jiàn)，H(ejω)是一個(gè)有理函數(shù)。當(dāng)需要求h[n]時(shí),往往是先從方程得H(ejω)到進(jìn)而通過(guò)反變換得到h[n]。

如果，則存在。即：穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)來(lái)描述。

由所表征的系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定系統(tǒng)。

二.系統(tǒng)的頻率響應(yīng):

H(ejω)刻畫(huà)了LTI系統(tǒng)的頻域特征，它是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。但并非所有的LTI系統(tǒng)都一定存在頻率響應(yīng)。例：考慮一因果LTI系統(tǒng)，其差分方程為：求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。三.