金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中文課件fe第4章之二

第4章均值——方差分析4.3

證券組合前沿4.3.1

投資的可行集由上一小節(jié)知道，不論投資者可以用于投資的W0有多少，只需要關(guān)心投資的期望回報(bào)率和回報(bào)率方差（標(biāo)準(zhǔn)差也一樣）即可。那么，個(gè)體（投資者）如何做最優(yōu)的選擇呢？先給出選擇的環(huán)境。假定：在一個(gè)經(jīng)濟(jì)中有N

(?2)只風(fēng)險(xiǎn)證券（也就是說(shuō)這N個(gè)證券的回報(bào)率都分別是取多個(gè)可能值，而且是隨機(jī)取值，而不是一個(gè)常數(shù)）。所有證券的未來(lái)回報(bào)率都具有彼此差異的期望回報(bào)率和有限的方差。投資者可以向其他投資者借證券賣(mài)，即允許賣(mài)空（被賣(mài)空的證券在投資者的證券組合中的權(quán)重為負(fù)數(shù)）。定義4.1

N個(gè)證券可以形成無(wú)窮多個(gè)組合，由N種證券所形成的所有期望回報(bào)率和方差（或者標(biāo)準(zhǔn)差）的組合的集合就是可行集。它包括了現(xiàn)實(shí)中所有可能的組合，也就是說(shuō)，所有可能的證券組合將位于可行集中，顯示投資者可能獲得的所有可能的期望回報(bào)率和方差（或者標(biāo)準(zhǔn)差）。兩個(gè)證券形成的組合的可行集例如有兩個(gè)證券，注：標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的開(kāi)方，它們都可以做為風(fēng)險(xiǎn)的衡量。證券期望回報(bào)率回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)16.2%12.1%B24.6%29.2%當(dāng)回報(bào)率的相關(guān)系數(shù)分別為-1，0，1時(shí)，組合的期望回報(bào)率與回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？組合w1w2期望回報(bào)率ρ=-1ρ=0ρ=1單證券E(r)單證券的σP1100.1620.120830.120830.1208316.20%12.10%P20.750.250.1830.017330.11640.16371P20.50.50.2040.085640.158110.20656P40.250.750.2250.188950.221250.2494P5010.2460.292230.292230.2922324.60%29.20%允許賣(mài)空，則投資比例可以大于1、小于零。在期望回報(bào)率——標(biāo)準(zhǔn)差平面表示證券組合標(biāo)準(zhǔn)差0.26期望回報(bào)率0.240.220.20.180.160.140.12ρ=-1ρ=0ρ=10

0.1

0.2

0.3

0.4注：一個(gè)證券組合對(duì)應(yīng)于期望回報(bào)率——標(biāo)準(zhǔn)差平面上唯一的一個(gè)點(diǎn)。所以一個(gè)證券組合既可以一個(gè)用權(quán)重向量，可以用一個(gè)點(diǎn)表示。如點(diǎn)(0.116,0.183)和向量(0.75,0.25)都可以表示一個(gè)證券組合?？尚屑谄谕貓?bào)率——標(biāo)準(zhǔn)差平面上，就是一些點(diǎn)的集合?？梢?jiàn)，兩個(gè)證券的可行集是一條有端點(diǎn)的曲線。兩端點(diǎn)分別代表證券A和證券B

。允許賣(mài)空的話，可行集是上述曲線及向兩端點(diǎn)外延伸，上延伸是賣(mài)空證券A買(mǎi)更多的證券B，下延伸是賣(mài)空證券B

買(mǎi)更多的證券A

。AB回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差期望回報(bào)率三種證券的可行集三種證券的可行集是一個(gè)區(qū)域。如何理解？期望回報(bào)率BCA回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差若允許賣(mài)空，則各曲線可以向端點(diǎn)外延伸。N種證券的可行集報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差21NN-1可以推出，N種證券的可行集是一個(gè)區(qū)域。期望回若允許賣(mài)空，則區(qū)域可以向端點(diǎn)外延伸。4.3.2

不具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效證券組合前沿本小節(jié)有三個(gè)重要概念：前沿證券組合、證券組合前沿、有效證券組合期望回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差21NN-1定義4.2

前沿證券組合：如果在所有具有相同期望回報(bào)率的證券組合中，有一只證券組合具有最小的方差值，則這只證券組合就定義為前沿證券組合。不論哪個(gè)個(gè)體，都不會(huì)選擇非前沿的證券組合去投資?？磮D，可行集中，哪些是前沿證券組合？由定義，證券組合p是一只前沿證券組合的充分必要條件是它的證券組合權(quán)重向量wp

是下面問(wèn)題的解?表示證券組合的期望回報(bào)率，1表示各元素為1的N維列向量。pwmin

s

2

=

wTVwp約束條件為

wT

r

=

E[r?

]和

wT

1

=1的列向量，E[r?p

]其中：r

表示N只風(fēng)險(xiǎn)證券的期望回報(bào)率組成是以下函數(shù)式的解：是兩個(gè)正值的常數(shù)。）其中1?2TTTp{w,l,g}min

L

=

w

Vw

+l(E[r

]-

w

r

)+g(1-

w

1)構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，wp（其中，l

和求解可得gDCE[r?p

]

-

Al

=DB

-

AE[r?p

]g

=A

=1T

V

-1r

=

r

TV

-11B

=

r

TV

-1rC

=1T

V

-11D

=

BC

-

A2p-1-1w

=

l(Vr

)

+g(V

1)其中變換一下，可以得出期望回報(bào)率為E[r?p

]的前沿證券組合的權(quán)重wp

=

g

+

hE[r?p

]

(4.13)g

=1

D[B(V

-11)

-

A(V

-1r

)]h

=1

D[C(V

-1r

)

-

A(V

-11)]明顯有期望回報(bào)率取某一個(gè)值對(duì)應(yīng)有一個(gè)前沿證券組合.從（4.13）式可以看出性質(zhì)4.1：g是期望回報(bào)率為0的前沿證券組合的權(quán)重向量；g

+h是期望回報(bào)率為1的前沿證券組合的權(quán)重向量。例4.3.2.1：3個(gè)證券形成的前沿證券組合如何求3個(gè)證券形成的前沿證券組合，已知條件是這3個(gè)證券有如下特征：方法：先求出V-1

，再求出A、B、C、D、g、h，然后代入p

pw

=

g

+

hE[r?

]

1

6

.2

%

r

=

2

4

.6

%

2

2

.8

%

0.0146V

=

0.0187

0.01450.0187

0.01450.0854

0.01040.0104

0.028916.2%

22.8%

A

=1TV-1r

=

r

TV-1

24.6%

稱為A的伴隨矩陣.注：矩陣有逆要求原矩陣的行列式不為零。

A11

A21A22A*

=

A12

A

1n

2nnn

An1

An2

A

A余子式，矩陣中元素aij

的代數(shù)定義設(shè)Aij

是矩陣A

=(aij

)n·n矩陣V的逆怎么求？A

*，其中A*為伴隨矩陣。A1-

1一般地，有

A

=。

a b

例1

已知A

=

c d

解：|A|＝ad－bc≠0，故A可逆。且易得,且ad

-

bc

?

0.

求A－11

d

-b

.A-1

=a

ad

-bc

-c例2的逆矩陣.3

3

1

2

3

求方陣A

=

2

2 1

41

2

3解

A

=

2

2

13

4

3?

0,

\A-1存在.4

311A

=

2 1

=

2,3

312A

=

-

2 1

=

-3,同理可得A13

=

2,

A21

=

6,

A22

=

-6,

A23

=

2,A31

=

-4,

A32

=

5,

A33

=

-2,5

,

2-

2

2

6

-

4得

A*

=

-

3

-

62故*A1-1

2

6

-

4=

A

A

=

2

-

3

-

6

2

2

-

21

11-

1

3

-

2

5

=

-

3

2

-

3

5

2.1求逆------

A-1(EXCEL方法）Microsoft

Excel在矩陣運(yùn)算方面的使用方法：?jiǎn)?dòng)Excel，點(diǎn)擊工具欄上的“粘貼函數(shù)”如下圖選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”函數(shù)名功

能MINVERSE求逆矩陣MMULT計(jì)算兩矩陣相乘TRANSPOSE轉(zhuǎn)置例 求矩陣A的逆。2

1

2

3 4

2

3

1

1

1

1

-11

0

-2

-6A

=

1、選定A1：D4區(qū)域輸入矩陣的數(shù)據(jù)；2、選取某一區(qū)域如C6：F9存放逆矩陣，保持該區(qū)域?yàn)檫x中狀態(tài)在公式輸入欄輸入公式=MINVERSE（A1：D4），按下Ctrl+Shift+Enter

即可，注意，不能直接回車鍵；如何手算或者用EXCEL于本小節(jié)的例題？概念二：證券組合前沿證券組合前沿：經(jīng)濟(jì)中所有的前沿證券組合的集合，我們稱之為證券組合前沿。證券組合前沿有下面兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)4.2全部證券組合前沿上的證券組合都可以由兩個(gè)前沿證券組合

g和

g

+

h

組合得出。（對(duì)證明有興趣的同學(xué)可看書(shū)）性質(zhì)4.3整個(gè)證券組合前沿可以由任意兩個(gè)期望回報(bào)率不同的前沿證券組合得出。（對(duì)證明有興趣的同學(xué)可看書(shū)）性質(zhì)4.4

前沿證券組合p的期望回報(bào)率與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系式：下面是證明：先來(lái)看任意兩個(gè)證券組合p與q的回報(bào)率的協(xié)方差。其中，證券組合p、q的權(quán)重向量分別為(

)?

?p

qqcov

r

,

ri

=1

j

=1N

N=

w

p

wqs

=

wT

Vwi

j

ij

p1pNwwp

wp

=

qNw

wq

1

wq

=

(22?ppr1/

C D

/

C2s(E[r?

]-

A

/

C-

=1因?yàn)閜、q是前沿證券組合，所以p的權(quán)重向量滿足則前沿證券組合p、q的回報(bào)率的協(xié)方差?ppw1)]E[r

]-1

-1-1=

B

A[

(V

1)

-

A

(V

-1r

)]

+

CD

D[

(V

r

)

-

(VD

D?p

qqTTqq

pq

q

pp

qACADDDACA1

(V

V

)w

]E[r

][

1

(V

V

)wD

qDDD

D

D

DD

C

C

C(V

-11)]E[r?

]

VwT

-1T

-1-1-1cov

(r?

,

r?

=

wTVwp

q

BT=

[(V

-11)

-

(V

-1r

)]

+[(V

-1r

)

-

Dp

=

B-

r

(V

V

)w

]

+[

rD(V

V

)wq

-=

B

-

A

E[r?

]

+[

C

E[r?

]-

A

]E[r?

]=

C

(E[r?

]-

A)(E[r?]-

A)

+

1(4.14)代入（4.14）式到下式有：容易看到，期望回報(bào)率與回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差形成的是一條雙曲線（下頁(yè)蘭色的線）。p

pCs

2

(r?

)

=

cov(r?

,

r?

)

=

w

TVwp p p p

p=

C

E[r?

]-

A

E[r?

]-

A

+

1D

C

C

（注：橙色的是漸進(jìn)

線。）有一個(gè)特殊的前沿證券組合，它具有最小的方差，稱為最小方差組合（mvp），對(duì)應(yīng)坐標(biāo)如圖。投資者如何做選擇投到哪個(gè)證券組合呢？我們?cè)谄谕貓?bào)率與標(biāo)準(zhǔn)差坐標(biāo)軸平面上，引入一個(gè)投資者的無(wú)差異曲線族如下，無(wú)差異曲線族這樣彎曲的理由是回報(bào)率的期望越大越好，標(biāo)準(zhǔn)差越小越好。E(rp

)σ(rP

)無(wú)差異曲線位置越高，得到的期望效用越大。?概念三：有效證券組合定義4.3

有效證券組合：在整個(gè)證券組合前沿曲線中，所有那些期望回報(bào)率嚴(yán)格大于最小方差證券組合期望回報(bào)率A/C的證券組合稱之為有效證券組合。不論哪個(gè)個(gè)體，都只會(huì)在有效的證券組合中做選擇。無(wú)效證券組合：那些既不是有效證券組合，又不是最小方差組合的證券組合稱之為無(wú)效證券組合。對(duì)于每一個(gè)無(wú)效證券組合，存在一個(gè)具有相同方差但更高期望回報(bào)率的有效證券組合。有效證券組合形成的集合稱為有效證券組合前沿，也稱有效集。個(gè)體會(huì)選擇無(wú)差異曲線族和有效集的切點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的證券組合。不同的個(gè)體由于無(wú)差異曲線族不同，所以切點(diǎn)位置不同，相應(yīng)最優(yōu)的證券組合也就不同，但肯定都在有效集上面。性質(zhì)4.6

有效證券組合的組合仍然是一支有效證券組合。例4.3.2.2:求3個(gè)證券形成的有效證券組合前沿?。

C

16

.2%

r

=

24

.6%

22

.8%

0.0146V

=

0.0187

0.01450.0187

0.01450.0854

0.01040.0104

0.0289(方法：先求出A、B、C、D，然后代入22?ppr1/

CD

/

C2s(E[r?

]-

A

/

C-

=1,1

A

有效集為雙曲線

開(kāi)始以上的一段。C

C

,1

A

線的雙曲線，最小方差組合為C

C

ppCDs

(r?

)為漸進(jìn)這是以

0,

A

為中心，E[r?

]

=

A

/

C

–4.3.4

具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效證券組合前沿引入一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券情況下(現(xiàn)在有N+1個(gè)證券)進(jìn)行討論?，F(xiàn)假定組合p

是一支由所有N＋1種證券組合而成的前沿證券組合，wp

表示這支前沿證券組合中的風(fēng)險(xiǎn)證券權(quán)重的N

維向量。這樣，wp

是以下問(wèn)題的解pwmin

s

2

=

wTVws.t.

wTr

+

(1-

wT

1)r

=

E[r?

]f

p其中

r

仍然表示N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的期望回報(bào)率的N維向量，rf

表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的回報(bào)率?？梢赃@樣寫(xiě)的原因是，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券不影響組合的風(fēng)險(xiǎn)。是以下函數(shù)式的解：是正值的常數(shù)。）1?2TT

Tp

f{w,l}min

L

=

w

Vw

+l(E[r

]-

w r

-

(1-

w

1)r

)構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，wp（其中，l求解可得f

fffr

+

Cr

2H

=(r

-r

1)

VT

-1(r-r

1)=B-2AH[E[r?

]

-

r

]2p

fp回報(bào)率的方差為

s

2

(r?

)

=

w

TVw

=p

p

p?pfpfE[rH-1]-

rw

=

V其中(r

-

r

1)即(4.22)pfp

fHpHE[r?p

]-rfE[r?p

]-rfs

(r?

)

={if

E[r?

]?r-

if

E[r?

]<rH也即是，在s

(r?p)與E[r?p

]坐標(biāo)平面上，包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿H和-是以

(0,

rf

)

為頂點(diǎn)，斜率分別為的兩條射線。分三種情形。<

A

C情形1：rf藍(lán)色的實(shí)線是不包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的證券的證券組合前沿；橙色的線是包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿。?這是圖4－6表示的圖形。（圖見(jiàn)上頁(yè)）在圖中與風(fēng)險(xiǎn)證券的組合前沿相切的切點(diǎn)。的投資行為。如果經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，證券投資組合的有rf

<

A

Ce

點(diǎn)是射線rf

+

Hs

(r?p

)線段rf

e

上任意一支證券組合都是風(fēng)險(xiǎn)證券組合e和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的組合。在線段rf

e

之外的射線rfHs

(r?p

)

上證券組合都+涉及賣(mài)空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券并運(yùn)用回報(bào)買(mǎi)入風(fēng)險(xiǎn)證券組合e券組合

e

，同時(shí)以其回報(bào)買(mǎi)入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的投資行為。在射線rf-Hs

(r?p

)上的證券組合涉及賣(mài)空風(fēng)險(xiǎn)證效集位于射線rf+Hs

(r?p

)。投資者會(huì)選擇無(wú)差異曲線族和有效集的切點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的證券組合。不同的個(gè)體由于

無(wú)差異曲線族不

同，所以切點(diǎn)位

置不同，相應(yīng)最

優(yōu)的證券組合也

就不同，但肯定

都在有效集上面。>

A

C情形2：rf情形2：這是圖4－7表